Matematika II — jaro 2005 — 2. opravný termín — A — 15.6.2005
1. (10 bodů) Definujte pojem lineární nezávislost vektorů. Definujte pojem báze vektorového prostoru.
Definujte pojem souřadnice vektoru v dané bázi. Dejte příklad dvou různých bazí vektorového
prostoru R2[x] a určete souřadnice vektoru x2
v obou bazích.
2. (10krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se
ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne (Z, +, ·) je těleso.
(b) ano — ne Okruh polynomů nad tělesem C je okruh s jednoznačným rozkladem.
(c) ano — ne Každý polynom nad R lichého stupně má reálný kořen.
(d) ano — ne Sčítání matic je asociativní operace.
(e) ano — ne Elementární řádkové úpravy nemění determinant matice.
(f) ano — ne Průnik dvou podprostorů vektorového prostoru je vektorový podprostor.
(g) ano — ne Vektorový prostor (C, +, ·) nad tělesem R má dimenzi 2.
(h) ano — ne Každý n-dimenzionální vektorový prostor nad tělesem T je izomorfní vektorovému
prostoru Tn
.
(i) ano — ne Je-li hodnost čtvercové matice typu n × n nad tělesem T rovna n, pak má
homogenní soustava Ax = 0 právě jedno řešení v Tn
.
(j) ano — ne Jádro lineárního zobrazení obsahuje nulový vektor.
3. (10 bodů) Určete všechna a, b ∈ R tak, aby čísla 1 i 2 byla kořeny polynomu
f = x5
− 2x4
− x3
+ ax2
+ bx − 4 ∈ C[x].
Pro tyto dvojice a, b nalezněte všechny racionální kořeny polynomu f (včetně násobností) a rozložte
polynom f na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C.
4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci
x4
(x2 − 1)2
na součet parciálních zlomků nad R.
5. (10 bodů) Určete determinant následující matice






1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70






.
6. (10 bodů) V R řešte soustavu lineárních rovnic
x1 + x2 + x3 − x4 = a
x1 + x2 − x3 + x4 = b
x1 − x2 + x3 + x4 = c
−x1 + x2 + x3 + x4 = d
v závislosti na parametrech a, b, c, d ∈ R.
Pro které čtveřice a, b, c, d ∈ R má soustava nekonečně mnoho řešení?
Pro které čtveřice a, b, c, d ∈ R má soustava řešení tvaru x1 = x2 = x3 = x4?
7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány podprostory
U = {f ∈ R3[x] | f(1) = f(0) = 0}, V = x2
+ 2x − 2, x3
− x2
− x + 2, x3
+ x2
+ 3x − 2, x3
+ 1 .
Určete báze a dimenze podprostorů U, V a U ∩ V.
8. (10 bodů) Nalezněte předpis f(x, y, z) = (. . . , . . . , . . .) lineárního zobrazení f : R3
→ R3
takového,
že f((1, 1, 2)) = (−1, 3, −1), f((0, 1, −1)) = (−2, 0, 2), f((1, 0, 2)) = (1, 2, 0).
Matematika II — jaro 2005 — 2. opravný termín — B — 15.6.2005
1. (10 bodů) Definujte pojem podprostor vektorového prostoru nad tělesem T. Definujte pojem lineární
kombinace vektorů a pomocí něj popište podprostor vektorového prostoru generovaný danou
množinou vektorů (tzv. lineární obal). Definujte pojem dimenze vektorového prostoru. Dejte příklad
trojice vektorů v prostoru R2[x], která v R2[x] generuje podprostor dimenze 2.
2. (10krát ±1 bod (správně 1 bod, chybně −1, bez odpovědi 0)) Odpovězte (škrtnutím nehodícího se
ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano — ne Každý obor integrity je těleso.
(b) ano — ne Hodnota polynomu v 0 je rovna absolutnímu členu tohoto polynomu.
(c) ano — ne Okruh polynomů nad tělesem je těleso.
(d) ano — ne Transponovaná matice k matici symetrické je symetrická matice.
(e) ano — ne Determinant matice v horním trojúhelníkovém tvaru je roven součinu prvků na
diagonále.
(f) ano — ne Každá matice přechodu je regulární matice.
(g) ano — ne Každé dvě báze vektorového prostoru mají stejný počet prvků.
(h) ano — ne Ve vektorovém prostoru R2
nad tělesem R existuje nekonečně mnoho bazí.
(i) ano — ne Dimenze podprostoru všech řešení homogenní soustavy Ax = 0 je rovna hodnosti
matice A.
(j) ano — ne Jádro lineárního zobrazení je vždy neprázdné.
3. (10 bodů) Určete všechna a, b ∈ R tak, aby čísla 1 i 2 byla kořeny polynomu
f = x5
− 3x4
+ ax3
+ 2x2
+ bx − 8 ∈ C[x].
Pro tyto dvojice a, b nalezněte všechny racionální kořeny polynomu f (včetně násobností) a rozložte
polynom f na ireducibilní faktory postupně nad Q, R, C.
4. (10 bodů) Rozložte racionální lomenou funkci
x5
(x2 − 1)2
na součet parciálních zlomků nad R.
5. (10 bodů) Určete determinant následující matice






2 2 2 2 2
−2 0 2 4 6
−2 −2 0 4 10
−2 −4 −4 0 10
−2 −6 −10 −10 0






.
6. (10 bodů) V R řešte soustavu lineárních rovnic
x2 + x3 + x4 = a
x1 + x3 + x4 = b
x1 + x2 + x4 = c
x1 + x2 + x3 = d
v závislosti na parametrech a, b, c, d ∈ R.
Pro které čtveřice a, b, c, d ∈ R má soustava nekonečně mnoho řešení?
Pro které čtveřice a, b, c, d ∈ R má soustava řešení tvaru x1 = x2 = x3 = x4?
7. (10 bodů) Ve vektorovém prostoru R3[x] jsou dány podprostory
U = x3
− x2
+ x − 2, x2
+ 1, 2x3
+ x − 2, 3x3
+ x2
+ x − 2 , V = {f ∈ R3[x] | f(1) = f(2) = 0}.
Určete báze a dimenze podprostorů U, V a U ∩ V.
8. (10 bodů) Nalezněte předpis f(x, y, z) = (. . . , . . . , . . .) lineárního zobrazení f : R3
→ R3
takového,
že f((0, 2, 1)) = (2, 1, 0), f((1, 2, 1)) = (3, −1, −1), f((−1, 1, 1)) = (0, −2, 2).