11. Euklidovské vektorové prostory
Jan Paseka
Masarykova Univerzita Brno
11. Euklidovské prostory ­ p.1/18

Abstrakt přednášky I
Při našich dosavadních úvahách o vektorových
prostorech jsme pomocí operací sčítání vektorů
a násobení čísla s vektorem vyšetřovali pojmy
jako byla lineární závislost a nezávislost vektorů,
generovatelnost, souřadnice vektoru, atd.
Prozatím jsme však neměli možnost ve
vektorových prostorech ,,měřit", tzn. zjišt'ovat a
porovnávat délky vektorů, resp. odchylky (tj.
velikosti úhlů), což jsou pojmy, které hrají
podstatnou roli např. v geometrii.
11. Euklidovské prostory ­ p.2/18

Abstrakt přednášky II
Definice délky vektorů, resp. odchylky jsou
založeny na pojmu skalárního součinu, který
nyní zavedeme.
Omezíme se přitom však pouze na vektorové
prostory nad tělesem reálných čísel.
Všude v dalším v této kapitole budeme
vektorovým prostorem rozumět reálný vektorový
prostor, tj. (konečnědimenzionální) vektorový
prostor nad tělesem R reálných čísel.
11. Euklidovské prostory ­ p.3/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
Norma a vzdálenost
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
Norma a vzdálenost
Ortogonalita a ortonormalita
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
Norma a vzdálenost
Ortogonalita a ortonormalita
Gram-Schmidtův ortogonalizační proces
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
Norma a vzdálenost
Ortogonalita a ortonormalita
Gram-Schmidtův ortogonalizační proces
Ortogonální doplněk
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Obsah přednášky
Euklidovský prostor
Skalární součin
Norma a vzdálenost
Ortogonalita a ortonormalita
Gram-Schmidtův ortogonalizační proces
Ortogonální doplněk
Ortogonální projekce
11. Euklidovské prostory ­ p.4/18

Euklidovské prostory I
3.1 Skalární součin
Necht' V je vektorový prostor (nad R) a necht'
každé dvojici vektorů u, v  V je přiřazeno reálné
číslo u  v tak, že pro libovolné u, v, w  V , r  R
platí:
1. u  v = v  u,
2. (u + v)  w = (u  w) + (v  w),
3. (r  u)  v = r  (u  v),
4. je-li u = o, pak u  u > 0.
Č íslo u  v se nazývá skalární součin vektorů
u, v. 11. Euklidovské prostory ­ p.5/18

Euklidovské prostory II
Vektorový prostor, v němž je definován skalární
součin, se nazývá euklidovský vektorový prostor
nebo krátce euklidovský prostor.
11. Euklidovské prostory ­ p.6/18

Euklidovské prostory II
Vektorový prostor, v němž je definován skalární
součin, se nazývá euklidovský vektorový prostor
nebo krátce euklidovský prostor.
Z definice plyne, že euklidovský prostor je
vlastně uspořádaná dvojice (V, ) sestávající
z vektorového prostoru V a ze skalárního
součinu  definovaného ve V . Z důvodů
stručnosti však budeme obvykle říkat pouze
,,euklidovský prostor V ".
11. Euklidovské prostory ­ p.6/18

Euklidovské prostory III
Každý podprostor vektorového prostoru V nad T
je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li
specielně V euklidovským prostorem, tzn. je
reálný s definovaným skalárním součinem, pak
zřejmě axiomy skalárního součinu budou jistě
splněny i v jeho libovolném (vektorovém)
podprostoru.
To znamená, že každý (vektorový) podprostor
euklidovského prostoru V je sám euklidovským
prostorem. Budeme jej stručně nazývat
podprostor euklidovského prostoru.
11. Euklidovské prostory ­ p.7/18

Euklidovské prostory III
Každý podprostor vektorového prostoru V nad T
je sám vektorovým prostorem nad T. Je-li
specielně V euklidovským prostorem, tzn. je
reálný s definovaným skalárním součinem, pak
zřejmě axiomy skalárního součinu budou jistě
splněny i v jeho libovolném (vektorovém)
podprostoru.
To znamená, že každý (vektorový) podprostor
euklidovského prostoru V je sám euklidovským
prostorem. Budeme jej stručně nazývat
podprostor euklidovského prostoru.
11. Euklidovské prostory ­ p.7/18

Euklidovské prostory IV
Předchozí definice nic neříká o tom, zda
v libovolném vektorovém prostoru (nad R) lze
definovat skalární součin, resp. kolika způsoby.
Odpověd' na tyto otázky nám dá následující
příklad a věta.
11. Euklidovské prostory ­ p.8/18

Euklidovské prostory IV
Předchozí definice nic neříká o tom, zda
v libovolném vektorovém prostoru (nad R) lze
definovat skalární součin, resp. kolika způsoby.
Odpověd' na tyto otázky nám dá následující
příklad a věta.
Příklad 3.1.1 Necht' V = R2
a necht' u = (u1, u2),
v = (v1, v2)  R2
.
Položíme-li
u  v = u1v1 + u2v2,
jsou zřejmě splněny axiomy skalárního součinu a
R2
s tímto skalárním součinem je euklidovským
prostorem. 11. Euklidovské prostory ­ p.8/18

Euklidovské prostory IV
Předchozí definice nic neříká o tom, zda
v libovolném vektorovém prostoru (nad R) lze
definovat skalární součin, resp. kolika způsoby.
Odpověd' na tyto otázky nám dá následující
příklad a věta.
Příklad 3.1.1 Necht' V = R2
a necht' u = (u1, u2),
v = (v1, v2)  R2
.
Položíme-li
u  v = u1v1 + u2v2,
jsou zřejmě splněny axiomy skalárního součinu a
R2
s tímto skalárním součinem je euklidovským
prostorem. 11. Euklidovské prostory ­ p.8/18

Euklidovské prostory V
Položíme-li
u  v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2,
pak jsou opět splněny axiomy skalárního
součinu, tzn. R2
s tímto skalárním součinem je
euklidovským prostorem.
11. Euklidovské prostory ­ p.9/18

Euklidovské prostory V
Položíme-li
u  v = 4u1v1 + 2u1v2 + 2u2v1 + 3u2v2,
pak jsou opět splněny axiomy skalárního
součinu, tzn. R2
s tímto skalárním součinem je
euklidovským prostorem.
Je vidět, že i když se v obou případech jedná
o tentýž vektorový prostor R2
, jsou definované
skalární součiny různé, a tedy různé jsou pak i
pomocí nich získané euklidovské prostory.
11. Euklidovské prostory ­ p.9/18

Euklidovské prostory VI
Příklad 3.1.2 Necht' V = Rn[x] a necht'
f = f(x), g = g(x)  Rn[x] jsou libovolné vektory
­ polynomy. Položíme-li
f  g =
1
0 f(x)  g(x) dx,
pak rozepsáním (užitím základních vět
o integrování známých z analýzy) se ověří
platnost axiomů skalárního součinu.
Tedy Rn[x] s tímto skalárním součinem je
euklidovský prostor.
11. Euklidovské prostory ­ p.10/18

Euklidovské prostory VII
Věta 3.1.3 V každém reálném vektorovém
prostoru V lze definovat skalární součin.
11. Euklidovské prostory ­ p.11/18

Euklidovské prostory VII
Věta 3.1.3 V každém reálném vektorovém
prostoru V lze definovat skalární součin.
Můžeme tedy prohlásit, že z každého reálného
vektorového prostoru lze utvořit euklidovský
prostor, obecně však nikoliv jediným způsobem.
11. Euklidovské prostory ­ p.11/18

Euklidovské prostory VIII
Věta 3.1.4 Necht' V je euklidovský vektorový
prostor. Pak platí:
1. u  (v + w) = (u  v) + (u  w),
2. u  (r  v) = r  (u  v),
3.
mi
=1
pi  ui
 nj
=1
rj  vj
= mi
=1
nj
=1
pirj  (ui  vj),
4. o  u = u  o = 0,
5. u  u = 0  u = o
pro u, v, w, ui, vj  V , r, pi, rj  R libovolná.
11. Euklidovské prostory ­ p.12/18

Euklidovské prostory IX
Definice 3.1.5 Necht' V je euklidovský prostor,
u  V . Pak nezáporné reálné číslo:
u =

u  u
se nazývá délka nebo též velikost vektoru u.
11. Euklidovské prostory ­ p.13/18

Euklidovské prostory IX
Definice 3.1.5 Necht' V je euklidovský prostor,
u  V . Pak nezáporné reálné číslo:
u =

u  u
se nazývá délka nebo též velikost vektoru u.
Je-li u = 1, pak říkáme, že vektor u je
normovaný.
11. Euklidovské prostory ­ p.13/18

Euklidovské prostory X
Věta 3.1.6 (Schwarzova nerovnost) Necht' V je
euklidovský prostor, u, v  V libovolné. Pak platí:
|u  v|  u  v ,(1)
tzn. absolutní hodnota skalárního součinu dvou
vektorů je menší nebo rovna součinu velikostí
těchto vektorů.
11. Euklidovské prostory ­ p.14/18

Euklidovské prostory X
Věta 3.1.6 (Schwarzova nerovnost) Necht' V je
euklidovský prostor, u, v  V libovolné. Pak platí:
|u  v|  u  v ,(1)
tzn. absolutní hodnota skalárního součinu dvou
vektorů je menší nebo rovna součinu velikostí
těchto vektorů.
Ve Schwarzově nerovnosti (1) nastane rovnost,
právě když vektory u, v jsou lineárně závislé.
11. Euklidovské prostory ­ p.14/18

Euklidovské prostory XI
Schwarzovu nerovnost (1) často zapisujeme
v ekvivalentním tvaru:
(u  v)2
 u 2  v 2.
11. Euklidovské prostory ­ p.15/18

Euklidovské prostory XI
Schwarzovu nerovnost (1) často zapisujeme
v ekvivalentním tvaru:
(u  v)2
 u 2  v 2.
Poznamenejme ještě, že pro nerovnost (1) se
v literatuře používá též pojmenování ,,Cauchyova
nerovnost", resp. ,,Cauchy-Bunjakovského
nerovnost", event. ,,Cauchy-Schwarzova
nerovnost".
11. Euklidovské prostory ­ p.15/18

Euklidovské prostory XII
Věta 3.1.7 Necht' V je euklidovský prostor,
u, v  V , r  R. Pak platí:
1. u  0, přičemž u = 0, právě když u = o,
2. r  u = |r|  u ,
3. u + v  u + v ,
4. je-li u = o, pak 1
u  u je normovaný vektor.
11. Euklidovské prostory ­ p.16/18

Euklidovské prostory XII
Věta 3.1.7 Necht' V je euklidovský prostor,
u, v  V , r  R. Pak platí:
1. u  0, přičemž u = 0, právě když u = o,
2. r  u = |r|  u ,
3. u + v  u + v ,
4. je-li u = o, pak 1
u  u je normovaný vektor.
Nerovnost uvedená ve 3. části věty se obvykle
nazývá ,,trojúhelníková nerovnost".
11. Euklidovské prostory ­ p.16/18

Euklidovské prostory XIII
Použijeme-li obratu provedeného ve 4. části věty
(tzn. vektor u násobíme číslem 1
u ), pak říkáme,
že jsme vektor u ,,normovali".
11. Euklidovské prostory ­ p.17/18

Euklidovské prostory XIII
Použijeme-li obratu provedeného ve 4. části věty
(tzn. vektor u násobíme číslem 1
u ), pak říkáme,
že jsme vektor u ,,normovali".
Definice 3.1.8 Necht' u, v jsou nenulové vektory
z euklidovského prostoru V . Pak reálné číslo 
splňující vztahy:
cos  =
u  v
u  v 
0    (2)
se nazývá odchylka vektorů u, v.
11. Euklidovské prostory ­ p.17/18

Euklidovské prostory XIV
Uvedená definice odchylky je korektní, tzn. že
číslo  splňující (2) existuje, a to jediné.
11. Euklidovské prostory ­ p.18/18

Euklidovské prostory XIV
Uvedená definice odchylky je korektní, tzn. že
číslo  splňující (2) existuje, a to jediné.
Schwarzovu nerovnost můžeme pro nenulové
vektory u, v přepsat ve tvaru:
|uv|
u  v  1, tzn.
u
v
u  v

1, odkud
-1  uv
u  v  1.
11. Euklidovské prostory ­ p.18/18

Euklidovské prostory XIV
Uvedená definice odchylky je korektní, tzn. že
číslo  splňující (2) existuje, a to jediné.
Schwarzovu nerovnost můžeme pro nenulové
vektory u, v přepsat ve tvaru:
|uv|
u  v  1, tzn.
u
v
u  v

1, odkud
-1  uv
u  v  1.
Odchylka vektorů není definována pro případ,
kdy některý z těchto vektorů je nulovým
vektorem.
11. Euklidovské prostory ­ p.18/18