8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZOBRAZENÍ Jan Paseka Masarykova Univerzita Brno 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A bstrakt přednášky této kapitole zavedeme takový pojem odprostoru, který by např. v E3 zahrnoval šechny přímky a roviny, tj. nejen ty pocházející počátkem. !avedeme tedy definici pojmu afinního )odprostoru nebo též lineární variety a pojmu afinního zobrazení. Těžištěm kapitoly bude klasifikace vzájemné dony lineárních variet ve vektorovém prostoru. ' celé kapitole K označuje pevné těleso, V označuje nějaký pevný, ale jinak libovolný, vektorový prostor nad tělesem K, m, n jsou v r v r ■ 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZOBRA: nnrnTöno pic o bsah přednášky Afinní pod prostory ^ 8.1 Body a vektory........... 4 8.2 Afinní podprostory......... 8 8.3 Průnik a spojení afinních podprostoru 25 8.4 Vzájemná poloha afinních podprostoru 39 8.5 Afinní zobrazení.......... '" 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A ody a vektory I Afinní podprostory a afinní zobrazení i Body a vektory Ja vektory se díváme jako na orientované úsečky Dočátkem v bodě 0. Celý prostor chápeme jako omogenní, t.j. všechny body považujeme za ovnocenné a nevyčleňujeme v něm žádný prh vileqovaný bod za počátek1.1100111103™1« a a PODPROSTORY A A ody a vektory II finním prostorem nad tělesem K rozumíme ektorový prostor V nad tímto tělesem (prvky sa vektorů staly opět body a počátek, t.j. nulový ektor, ztratil svoje výsadní postavení - stal se : něho bod jako každý jiný), 'resneji: 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A ody a vektory III fin n im prostorem A se zaměřením V ozumíme množinu P spolu se zobrazením f:Pxl/^P daným (p, v) •->• p + v tak, že latí. vektory v,w eV,p e P . pro každé dva body p,qeP existuje právě jeden vektor v e P takový, že p + v = q. vnačíme jej p"q nebo q — ~ 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A ody a vektory IV ěžně budeme užívat značení p e A místo > e P, tj. nebudeme rozlišovat mezi afinním irostorem a jeho nosnou množinou. Jvědomme si, že mezi vektory z V a body z P listuje vzájemně jednoznačná korespondence, lůžeme tedy bez újmy na obecnosti ztotožnit V P. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory I .2 Afinní podprostory ísmeny p, q, r budeme (i s indexy) značit ýlučně body, u, v, w označují zase výlučně 'ektory, x, y, z mohou podle potřeby označovat >ody i vektory. ovněž se dohodneme, že rozdíl dvou bodů »úderne chápat jako vektor a součet bodu a 'ektoru jako bod. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory II Jechť p,qeKp/q. Přímkou procházející lebo též určenou body p,q rozumíme množinu (p,q), kterou dostaneme tak, že do bodu p imístíme všechny možné skalární násobky ektoru q - p. ypický bod přímky £(p} q) má tedy tvar \eteK, tj. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory III ěnto výraz má smysl i pro p = q, tehdy však ejde o přímku ale o jednobodovou množinu (p,p) = {p}- '. uvedeného tvaru ihned vidíme, že ro libovolné p,qeľ. q, p 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFIN finní podprostory IV odmnožinu M vektorového prostoru V i azýváme jeho afinním podprostorem nebo též Ineární varietou ve V, pokud M/(3a pre všechna p, q e M platí £(p, q) c M. .ineární kombinaci, t. j. výraz tvaru ^OPo + hPl + • • • + tnpn = Yľi=0 ^iPň :de n e N, p0,..., pn G y, ŕ0, h,..., tn e K, jazýváme afinní kombinací bodů p0, pl3..., pn, )okud platí to + íi + ... + tn = 1. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory V tfinní kombinací bodů budeme chápat jako bod; iné lineární kombinace bodů než afinní se ' našich úvahách nevyskytují, iaždá afinní kombinace je neprázdná, t.j. )bsahuje alespoň jeden člen. Tvrzení 8.2.1 Pro libovolnou neprázdnou množinu M c v jsou následující podmínky kvivalentní: 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A ünni podprostory VI (i) M je afinní podprostor ve V; ji) pro libovolné p, q e M, s e K platí ) pro každé n e N a libovolné p0, p1?..., pn g M, to, ti..., tn G K takové, ČOPO + ílPl + • • • + tnPn e M' 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory VII fěta 8.2.2 Nechť M c V. Potom M je afinní )odprostor ve V právě tehdy když existuje bod e V a lineární podprostor S c V tak, že tomto případě pro všechny q, r e M, u e S q + u G M, 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory VIII )ůsledek 8.2.3 Každý lineární podprostor S /ektorového prostoru V je jeho afinním oodprostorem. Afinní podprostor M vektorového )rostoru V je jeho lineárním podprostorem právě ehdy, když 0 e M. 'aměřením nebo též směrovým oodprostorem afinního pod prostoru M CV lazýváme lineární podprostor 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory IX )irM je jediný lineární podprostor ve V takový, e M = p + DirM pro nějaké (pro každé) p g M •ro každé p g M platí ejména je tedy každý afinní podprostor afinním rostorem ve smyslu odstavce 1. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A ünni podprostory X ro libovolnou uspořádanou (n + l)-tici bodů p0,..., pn), vektorového prostom V, případně to jeho konečnou podmnožinu {p0,..., pn} ^ značme inožinu všech afinních kombinací bodů 'O' • • • i Pn- 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XI právě dokázaného tvrzení vyplývá, že (Po> ■ ■ ■ j pJ Je nejmenší afinní podprostor ve V, ;terý obsahuje všechy body p0,..., pn; lazýváme ho afinní obal bodů nebo i afinní )odprostor generovaný body p0,..., pn. 5ro každou neprázdnou množinu X c V nůžeme definovat její afinní obal £(X), lazývaný též afinní podprostor generovaný nnožinou X, jako množinu všech (konečných) ifinních kombinací bodů z X. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XII )pět platí, že £(X) je nejmenší afinní podprostor e V tak, žeX c£(X). 'vržení 8.2.4 Nechťp0, p1?..., pn e V. Potom ^(Po3Pl>--->Pn) = P0 + [Pl-P0?---5Pn- Dn^(Po,Pi,---,pJ = [Pi-Po5---5Pn-Pol- 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XIII Vimenzí nebo též rozměrem afinního odprostoru M c V, píšeme dimM, nazýváme imenzi jeho zaměření, tedy ody Po,Pi,•• •,Pn vektorového prostoru V azýváme afinně nezávislé, pokud vektory i — Po, • • •, Pn — Po Jsou lineárně nezávislé. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XIV následujícího očividného tvrzení vyplývá, že ody p0, Pi,..., pn £ V jsou afinně nezávislé rávě tehdy, když pro nějaké (pro každé) < k rávě všechny body p e V (přesněji, všechny ednobodové podmnožiny ve V). Tyto afinní )odprostory nazýváme též triviální. Jednorozměrné afinní podprostory ve V nazýváme přímkami. Každá přímka má skutečně tvar £(p, q) pro nějaké afinně nezávislé {.j. různé) body p,qeľ. Dvojrozměrné afinní podprostory ve V nazýváme novinami. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XVI amotný prostor V je svým nevlastním afinním >od prostorem. 5okud diml/ = n, tak (n - l)-rozměrné afinní »odprostory ve V nazýváme nadrovinami. 5ojmy „bod", „přímka" a „rovina" jsou absolutní ' tom smyslu, že závisí jen na dimenzi »říslušného afinního podprostoru. 5ojem nadroviny je relativní, protože závisí na ztahu dimenzí afinního podprostoru a celého »rostoru. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní podprostory XVII iřímka), tak každý bod ve V je zároveň ladrovinou. Jadrovinami v dvojrozměrném prostoru (t.j. / rovině) jsou zase všechny přímky. f trojrozměrném prostoru V pojmy roviny a ladroviny splývají. ' čtyřrozměrném prostoru jsou nadrovinami rojrozměrné podprostory; atd. f O-rozměrném (t.j. jednobodovem) prostoru V lejsou přímky, roviny ani nadroviny. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AI růnik a spojení AP I ;.3 Průnik a spojení afinních podprostorů "vržení 8.3.1 Nechť M, N c V jsou afinní ^odprostory. Potom M n N je afinní podprostor 'e V právě tehdy, když M n N ^ 0. V tomto Případě Neprázdnost průniku M n N můžeme zaručit za předpokladu, že lineární prostor DirM + DiriV je i._j__j__V__V II ' 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZOBRAZENÍ - p.25/61 \ i£S I IxW růnik a spojení AP II vržení 8.3.2 Nechť M, N c V jsou afinní todprostory. Potom ĽirM + ĽirN = V => MniV^Ö. pojením afinních pod prostorů M, N c V, )íšeme M u N, nazýváme afinní obal jejich ijednocení. Tedy 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP III Iřejmě M u N je nejmenší afinní podprostor ve /, který obsahuje M i N, a pro lineární odprostory S, T c V platí SuT = S + T. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP IV vržení 8.3.3 Nechť M, N c V jsou afinní )odprostory. (a) Pokud M n TV ^ 0, ŕa/c Dir(M UAT) = DirM + DirTV, DirM). 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP V oznámka Obě rovnosti z (b) jsou splněné i za >ředpokladu MniV^0. ' tomto případě však pro libovolné reMíliV latí akže vektor q - p můžeme vynechat. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP VI íůsledek 8.3.4 Nechť M, N c V jsou konečně vzměrné afinní podprostory. Potom dim(M U N) = dimM + dimN - dim(M D Af), pro M n N / 0, dimM + dimTV - dim(DirM D DirTV) + 1, pro M n N = 0. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP VII 'říklad 8.3.5 Ve vektorovém prostoru V ivažujme konečně rozměrné afinní podprostory 'otom p + [ui,..., um, ví,..., vn_, pro M n N ^ 0, - ' r"-p,ui,...,um,vi,...,v. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spoj lení AP VIII dim[ui,...,um,vi,...,vn], pro M n N ^ 0, dim[q - p, ui, ., um, ví,..., v. pro M n A^ = 0. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP IX Pokud předpokládáme, že jak vektory 11], . . . , UTO :ak vektory ví,..., vn jsou lineárně nezávislé, pak ' m + n-k, pro M n N ^ 0, m + n-fc + 1, proMniV = 0, 8. AFINNÍ PODPROSTORY A růnik a spojení AP X riklad 8.3.6 v sloupcovém prostom k1 jsou lané vektory x = (1,2,3,4)T, y = (0, -3,1, -ľ)T, odprostory v R4. !ajdeme dimenze lineárních podprostoru S -i n T a afinních podprostoru M n N, MuN ' závislosti na p, q. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP XI ineární podprostor S + T je generovaný sloupci lokové matice o i -3 1 1 0 -1 0 0 2 0 -2 6 0 4 2 1 3 5 1 »řičemž sloupce levého bloku generují lineární »odprostor S a sloupce pravého bloku lineární »odprostor T. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP XII ato matice je řádkově ekvivalentní s následující lokovou maticí i o i 0 1 -3 0 0 3 0 0 0 4-4 0 -3 3 1 0 0 1 e stupňovitém tvaru, jejíž řádky mají vedoucí rvky ve sloupcích 1, 2, 3 a 6. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP XIII /idíme, že vektory x, y, z tvoří bázi S a vektory :, y, z, w bázi S + T. Doupravením pravého loku na řádkově ekvivalentní stupňovitý tvar -4 \ 2 0 0 1 0 0 / e můžeme přesvědčit, že i vektory u, v, w jsou neárně nezávislé, tedy tvoří bázi T. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A růnik a spojení AP XIV >dtud dle věty o dimenzi součtu a průniku yplývá áim(S n T) = 3 + 3-4 = 2. "edy S + T = M4. Odtud pak M n N ^ 0. im 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP I .4 Vzájemná poloha afinních podprostorů 'olohu netriviálních vlastních afinních odprostoru (lineárních variet) M, N c v udeme klasifikovat na základě dvou kritérií 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP II A) Pokud platí DirM C DirAÍ V DivN C DirM, I říkáme, že M, N jsou rovnoběžné a píšeme M || N. V opačném případě, t. j. pokud platí DirM £ DivN & DivN % DirM, říkáme, Že M, N nejsou rovnoběžné, a píšeme M \j{ N. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP III B) Pokud platí MniV^fl, říkáme, že M, N i protínají. V opačném případě, t. j. pokud MniV = 0, říkáme, že M, N se neprotínají, neboli, že jsou disjunktní. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP IV elkově tedy dostáváme čtyři možnosti: 1) M || NkMnN^Q, tj. M, N\sou I rovnoběžné a protínají se. V tomto případě platí DirM C DiriV <& M C N a DiriV C DirM o N CM. Tedy M c N nebo M c N. Říkáme, že jedna z lineárních variet M, N je podvarietou druhé, neboli, že M, N jsou ve vztahu inkluze. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP V rovnoběžné a neprotínají se. Tento případ nazýváme vztahem pravé rovnobežnosti. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP VI zájemná poloha AP VII rovnoběžné a neprotínají se. V tomto případě ještě rozlišujeme dvě další možnosti: v. -^ jsou mimoběžné. b) Pokud DirM n DiriV ^ {0}, říkáme, že M, N jsou částečně rovnoběžné. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A zájem n á poloha AP VIII vržení 8.4.1 Nechť M, N c V jsou částečně ovnoběžné lineární variety. Potom dimM > 2, MmN > 2 a dim V > 4. Ja druhé straně v libovolném vektorovém prostoru V dimenze > 4 není těžké najít příklady :ástečne rovnobežných lineárních variet. Např. sou částečně rovnoběžné roviny v K4. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení I .5 Afinní zobrazení lechť U, V jsou vektorové prostory nad tímž slesem K. Tkáme, že / V ->> U je afinní zobrazení, pokud ro libovolné body p,qeVa skalár s eV platí 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení II vržení 8.5.1 Nechť U, V jsou vektorové prostory nad tělesem K. Potom zobrazení V^Uje afinní právě tehdy, když pro každé G N, všechny body p0,..., pn e V a skaláry i,..., tn G K takové, že í0 + • • • + tn = 1, platí /(*oPo + • • • + tnp. • • • tnf(p. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení III osunutím neboli translací vektorového prostoru V o vektor u e V nazýváme zobrazení /" ->• V dané předpisem x h> x + u. [řejrně kompozicí posunutí o vektor ue^a )osunutí o vektor v e V je posunutí o vektor i + v. Každé posunutí je bijektivní zobrazení; nverzní zobrazení k posunutí o vektor u je )osunutí o opačný vektor -u. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení IV /ěta 8.5.2 Nechť U, V jsou vektorové prostory lad tělesem K. Potom zobrazení f :V ->• U je afinní právě tehdy, když existuje vektoru e U a ineární zobrazení (p :V ->> U takové, že pro Uje lineární právě tehdy, když /(O) = 0. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení VI !řejmě vektor u e U a lineární zobrazení (p jsou odmínkou věty určené jednoznačně. Zobrazení > = / — /(O) nazývame lineární částí a vektor i = /(O) absolutním členem afinního zobrazení ďinní zobrazení jsou zevšeobecněním funkcí ' : K ->• K tvaru f (x) = ax + b, kde a,b e K, teré (v případě iť = R) v matematické analý2 azýváme lineárními. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení VII vržení 8.5.4 Nechť U, V, W jsou vektorové wostory nad tělesem Kag:W^V,f:V^l sou afinní zobrazení. Potom i jejich kompozice f o g : W ->• U je afinní zobrazení. 'ro lineární zobrazení ý : W ->> V, ip : V ektory v g V, u g U platí u o 8. AFINNÍ PODPROSTORY A finní zobrazení VIII vržení 8.5.5 Nechť U, V jsou vektorové )rostory nad tělesem K, f :V ->• U je afinní obražení a M c v, N c u jsou afinní oodprostory. Potom f (M) je afinní podprostor /U a f'1 {N) je afinní podprostor ve V nebo rázdná množina. rotože každé posunutí je bijekce, afinní obražení f = (p + u:V^Us lineární částí (p je njektivní právě tehdy, když

> V. 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení X ůsledek 8.5.7 Nechť f -.V^Vje afinní 'ansformace konečně rozměrného vektorového rostoru V. Potom f je injektívní právě tehdy, dyžje surjektivní. ľvrzení 8.5.8 Nechť f -.V^Uje afinní lobrazení s lineární částí ^ a u = /(O). Potom f e bijektivní právě tehdy, když ip je bijektívní. / tomto případě i inverzní zobrazení f~x: U ->• \ e afinní a platí f~x = p~x - <^_1(u)- ědy f~l je kompozicí lineárního zobrazení ip 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AI finní zobrazení XI lechť U, V jsou konečně rozměrné vektorové rostory a a, ß jsou báze v U resp. ve V. rozšířenou maticí afinního zobrazení : V ->• U s lineární částí ip a absolutním členem i vzhledem na báze ß, a nazýváme blokovou natici 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení XII okud dimt/ = m, dim V = n, A = yp)a,ß Je natice lineárního zobrazení cp v bazích ? = (v1;..., vn), ot a a = (u)a je vektor souřadnic ektoru u v bázi a, tak rozšířenou maticí afinního obražení / v bazích ß, a je bloková matice f)ccß = ((^(Vl)) OĽ) • • • 5 n/ ya: 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení XIII ouřadnice bodu x e y v bázi ß a souřadnice eho obrazu /(x) e U v bázi a jsou tak spojené ovností aß ■ (x)/3 = 0, nemá význam rozšiřovat matici nulový sloupec. a,ß 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A finní zobrazení XIV vržení 8.5.9 Nechť U, V, W jsou konečně 'ozměrné vektorové prostory nad tělesem K a o., ?, 7 jsou nějaké báze prostorů U, V, resp. W. Jsou-li g :W ->• V, / : V -)• U afinní zobrazení, které mají v příslušných bazích rozšířené matice (q)n^ = (B I b), / o g :W ->• U má v bazích j, a rozšířenou matici 8. AFINNÍ PODPROSTORY A AFINNÍ ZO finní zobrazení XV Je-li f :V ->> U afinní bijekce s rozšířenou maticí (f)a,ß = (A | a) v bazích ß, ex, tak k ní inverzní zobrazení je afinní bijekce f~x: U ->• V, která má v bazích o., ß rozšířenou matici (/ /3,a a . 8. AFINNÍ PODPROSTORY A A