Příklady na cvičení k přednášce Matematika I
k odevzdání v týdnu 17. ­ 21. dubna 2006
Příklad 1. Uvažujme komplexní polynomy stupně nejvýše k (tj. funkce tvaru
akxk
+    + a1x + a0, ai  C, i = 0 . . . k) s operací sčítání funkcí. Ukažte, že
jde o vektorový prostor nad reálnými čísly a napište nějakou jeho bazi. Jaká je
jeho dimenze?
Příklad 2. Rozhodněte o následujících tvrzeních, jestli jsou pravdivá, či neprav-
divá. Buď je dokažte nebo vyvraťte protipříkladem.
1. Každá čtvercová matice n×n nad R má právě n reálných vlastních hodnot
(každá je počítána tolikrát, jaká je její násobnost).
2. Reálná čtvercová matice n×n nad R může mít komplexní vlastní hodnotu.
3. Komplexní čtvercová matice n×n může mít pouze reálné vlastní hodnoty.
Příklad 3. Hráč rulety má následující strategii: přišel hrát se 100 Kč. Vždy
všechno, co aktuálně má. Sází vždy na černou (v ruletě je 37 čísel, z toho je 18
černých, 18 červených a nula). Hráč skončí, pokud nic nemá, nebo pokud získá
800 Kč. Zformulujte tuto úlohu jako Markovův proces a napište jeho matici.
Příklad 4. Uvažujme situaci z předchozího případu a předpokládejme, že prav-
děpodobnost výhry i prohry je 1/2. Označme matici procesu A. Bez použití
výpočetního software určete A100
.
1