Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy MB101 2. demonstrovaná cvičení Motivační příklady Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27.2. 2007 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč? (státní příspěvek se připisuje vždy až 1.května následujícího roku) Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Kolik peněz naspořím na stavebním spoření za pět let, vkládám-li 3000 Kč měsíčně (vždy k 1. v měsíci), vklad je úročen roční úrokovou mírou 3% (úročení probíhá jednou za rok) a od státu obdržím ročně příspěvek 1500 Kč? (státní příspěvek se připisuje vždy až 1.května následujícího roku) Řešení. Označme množství naspořených peněz po n-tém roce jako xn. Potom dostáváme (pro n > 2) následující rekurentní formuli (navíc předpokládáme, že každý měsíc je přesně dvanáctina roku) xn+1 = 1, 03(xn) + 36000 + 1500 + 0, 03 3000 1 + 11 12 + + 1 12 + +0, 03 2 3 1500 = = 1, 03(xn) + 38115 Tedy xn = 38115 n-2 i=0 (1, 03)i + (1, 03)n-1 x1 + 1500, přičemž x = 36000 + 3000 1 + 11 + + 1 = 36585, celkem Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Na kolik nejvýše částí dělí rovinu n kružnic? Řešení. Pro počet xn, na který nejvýše dělí rovinu n kružnic odvodíme rekurentní vztah xn = xn-1 + 2(n - 1). Tedy xn = 2( n-1 i=1 ) + x1 = n(n - 1) + 2. 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Odvoďte vzorec pro součet n i=1 i4 Řešení. S4(n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n2 + 3n - 1) 30 . 2 Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Plán přednášky 1 Domácí úlohy z minulého týdne 2 Návodné úlohy Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný Eukleidovský prostor n rovin? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Na kolik nejvýše částí dělí třírozměrný Eukleidovský prostor n rovin? Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Příklad Zjednodušený model chování národního produktu. yk+2 - a(1 + b)yk+1 + abyk = 1, kde yk je národní produkt v roce k, konstanta a je takzvaný mezní sklon ke spotřebě, což je makroekonomický ukazatel, který udává jaký zlomek peněz, které mají obyvatelé k dispozici, utratí a konstanta b popisuje jak závisí míra investic soukromého sektoru na mezním sklonu ke spotřebě. Předpokládáme dále, že velikost národního produktru je normována tak, aby na pravé straně rovnice vyšlo číslo 1. Spočítejte konkrétní hodnoty pro a = 3 4 , b = 1 3 , y0 = 1, y1 = 1. Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Binomická věta Buď a, b R, n N, pak (a+b)n = an + n 1 an-1 b+ n 2 an-2 b2 + + n n - 1 abn-1 +bn Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Binomická věta Buď a, b R, n N, pak (a+b)n = an + n 1 an-1 b+ n 2 an-2 b2 + + n n - 1 abn-1 +bn Sečtěte n i=0 n i Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Binomická věta Buď a, b R, n N, pak (a+b)n = an + n 1 an-1 b+ n 2 an-2 b2 + + n n - 1 abn-1 +bn Sečtěte n i=0 n i Sečtěte n i=0 (-1)n n i Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy Určete součet koeficientů mnohočlenu P(x) = (1 + x2 - x3 )1000 .