4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Drsná matematika I ­ Demonstrované cvičení
10. Báze, souřadnice, lineární zobrazení
Jaroslav Hrdina
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
24. 4. 2007
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Obsah cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Báze a souřadnice vektorů v bázi
3 Lineární zobrazení
4 Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Báze a souřadnice vektorů v bázi
3 Lineární zobrazení
4 Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Vektorový prostor
Dokažte, že prostor R2[x] všech reálných polynomů stupně nejvýše
2 (se standardními operacemi) tvoří vektorový prostor. Dokažte, že
množina {f  R2[x] | -f (x) = f (-x)} všech lichých polynomů
tvoří jeho podprostor.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Vektorový podprostor
V prostoru Mat2(R) reálných čtvercových matic řádu 2:
1 Rozhodněte, zda množina a b
c d | a + b + c + d = 0 tvoří
jeho podprostor.
2 Rozhodněte, zda vektor ( 1 2
3 4 ) náleží do ( 3 3
2 2 ) , 2 1
-1 -2 .
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Přímý součet
Necht' S, T jsou podprostory vektorového prostoru R3.
Rozhodněte, zda je součet S + T přímý:
S = {(x, y, z)T | x + y = 0}, T = {(x, y, z)T | x + z = 0}
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Báze a souřadnice vektorů v bázi
3 Lineární zobrazení
4 Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
Ověřte, zda následující množiny vektorů z R2[x] jsou nebo nejsou
bází R2[x]
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
Ověřte, zda následující množiny vektorů z R2[x] jsou nebo nejsou
bází R2[x]
M = {1, x, x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
Ověřte, zda následující množiny vektorů z R2[x] jsou nebo nejsou
bází R2[x]
M = {1, x, x2}.
M = {1 + x, x + x2, x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
Ověřte, zda následující množiny vektorů z R2[x] jsou nebo nejsou
bází R2[x]
M = {1, x, x2}.
M = {1 + x, x + x2, x2}.
M = {1 + x, x, 1}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Báze
Definition
Podmnožina M  V se nazývá báze vektorového prostoru V
jestliže M = V a M je lineárně nezávislá.
Ověřte, zda následující množiny vektorů z R2[x] jsou nebo nejsou
bází R2[x]
M = {1, x, x2}.
M = {1 + x, x + x2, x2}.
M = {1 + x, x, 1}.
M = {1 + x, x, x + x2, x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Souřadnice vektorů
Definition
Když je množina {v1, . . . , xn}  V báze, můžeme každý vektor
v  V vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci
v = a1v1 +    anvn. Koeficienty této jediné lineární kombinace
vyjadřující daný vektor v  V ve zvolené bázi se nazývají
souřadnice vektoru v v této bázi.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Souřadnice vektorů
Definition
Když je množina {v1, . . . , xn}  V báze, můžeme každý vektor
v  V vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci
v = a1v1 +    anvn. Koeficienty této jediné lineární kombinace
vyjadřující daný vektor v  V ve zvolené bázi se nazývají
souřadnice vektoru v v této bázi.
Napište souřadnice vektoru 1 + x + x2  R2[x] v bázi:
M = {1, x, x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Souřadnice vektorů
Definition
Když je množina {v1, . . . , xn}  V báze, můžeme každý vektor
v  V vyjádřit jednoznačně jako lineární kombinaci
v = a1v1 +    anvn. Koeficienty této jediné lineární kombinace
vyjadřující daný vektor v  V ve zvolené bázi se nazývají
souřadnice vektoru v v této bázi.
Napište souřadnice vektoru 1 + x + x2  R2[x] v bázi:
M = {1, x, x2}.
M = {1 + x, x + x2, x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Výběr báze
Najděte bázi a určete dimenzi lineárního obalu množiny:
M = {(1, 1, 0), (1, 2, 3, ), (2, 3, 3), (4, 6, 6), (6, 9, 9)}  R3
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Báze a souřadnice vektorů v bázi
3 Lineární zobrazení
4 Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Lineární zobrazení
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení se nazýva lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže
platí
f (u + v) = f (u) + f (v), u, v  V (1)
f (a  v) = a  f (v), a  K, u  V (2)
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Lineární zobrazení
Nechť V a W jsou vektorové prostory nad týmž polem skalárů K.
Zobrazení se nazýva lineární zobrazení (homomorfismus) jestliže
platí
f (u + v) = f (u) + f (v), u, v  V (1)
f (a  v) = a  f (v), a  K, u  V (2)
Ověřte zda zobarazení derivace na polynomech třetího stupně, tj.
zobrazení f : R3[x]  R2[x] přiřazující prvku z R3[x] jeho derivaci
je, nebo není lineární zobrazení.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Plán cvičení
1 4. sada úloh - řešení
2 Báze a souřadnice vektorů v bázi
3 Lineární zobrazení
4 Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice přechodu
Theorem
Matici přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice
vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice přechodu
Theorem
Matici přechodu (od báze u k bázi v) získáme tak, že souřadnice
vektorů báze u v bázi v napíšeme do sloupců matice.
Napište matici přechodu od báze {1, x + x2, x2} k bázi
{1, 1 + x + x2, 1 + x2}.
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice lineárního zobrazení
Napište matici lineárního zobrazení derivace f : R3[x]  R2[x] v
bázi {1 + x, x + x2, x2}
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice Mat2×2
Je množina  =
1 1
0 0
0 1
1 0
0 0
1 1
1 0
0 0
báze ?
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice Mat2×2
Je množina  =
1 1
0 0
0 1
1 0
0 0
1 1
1 0
0 0
báze ?
Je zobrazen tr : Mat2×2  R lineární zobrazení?
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Matice Mat2×2
Je množina  =
1 1
0 0
0 1
1 0
0 0
1 1
1 0
0 0
báze ?
Je zobrazen tr : Mat2×2  R lineární zobrazení?
Jak vypadá matice lineárního zobrazení tr v bázi  ?
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Polynomy R4[x]
Je množina  = 1, x2, 1 + x2, x2 + x3, x4 báze ?
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Polynomy R4[x]
Je množina  = 1, x2, 1 + x2, x2 + x3, x4 báze ?
Je zobrazen int : R4[x]  R5[x] lineární zobrazení?
4. sada úloh - řešení Báze a souřadnice vektorů v bázi Lineární zobrazení Matice přechodu a matice lineárního zobrazení
Polynomy R4[x]
Je množina  = 1, x2, 1 + x2, x2 + x3, x4 báze ?
Je zobrazen int : R4[x]  R5[x] lineární zobrazení?
Jak vypadá matice lineárního zobrazení int v bázi  ?