Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
MB104 ­ 3. demonstrovaná cvičení
Grupy a faktorgrupy
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
5.3. 2007
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
1 Řešení domácích úloh z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Homomorfismy grup
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Doplňte následující tabulku operace na množině
{a, b, c} tak, aby zadávala pologrupu.
a b c
a b a a
b
c
Je toto doplnění jednoznačné? Kolik jich existuje?
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
bb = (aa)b = a(ba) = aa = b,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
bb = (aa)b = a(ba) = aa = b,
bc = (aa)c = a(ac) = aa = b,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
bb = (aa)b = a(ba) = aa = b,
bc = (aa)c = a(ac) = aa = b,
a(ca) = (ac)a = aa = b, tedy (ca) = a.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
bb = (aa)b = a(ba) = aa = b,
bc = (aa)c = a(ac) = aa = b,
a(ca) = (ac)a = aa = b, tedy (ca) = a.
Dále cb = c(aa) = (ca)a = aa = b.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řešení. Existují dvě různá doplnění:
a b c
a b a a
b a b b
c a b [b,c]
ba = (aa)a = a(aa) = ab = a,
bb = (aa)b = a(ba) = aa = b,
bc = (aa)c = a(ac) = aa = b,
a(ca) = (ac)a = aa = b, tedy (ca) = a.
Dále cb = c(aa) = (ca)a = aa = b.
Na cc dostáváme omezení (díky acc = ac) cc = b, nebo cc = c.
Obě možnosti jsou možné. 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Kolik existuje čtyřprvkovkých grup?
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Kolik existuje čtyřprvkovkých grup?
Řešení. Nejlépe odvodíme pomocí řádů prvků v grupě. 2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5)
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12 =
5  (17 - 12) - 2  12
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12 =
5  (17 - 12) - 2  12 = 5  17 - 7  12
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12 =
5  (17 - 12) - 2  12 = 5  17 - 7  12 =
= 5  17 - 7  (131 - 7  17)
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12 =
5  (17 - 12) - 2  12 = 5  17 - 7  12 =
= 5  17 - 7  (131 - 7  17) = 54  17 - 7  131,
inverze k 17 je 54.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3. Určete inverze prvků 17, 18 a 19 v Z+
131.
Řešení. Nalezneme pomocí Eukleidova algoritmu:
131 = 7  17 + 12,
17 = 12 + 5,
12 = 2  5 + 2,
5 = 2  2 + 1,
je tedy 1 = 5 - 2  2 = 5 - 2(12 - 2  5) = 5  5 - 2  12 =
5  (17 - 12) - 2  12 = 5  17 - 7  12 =
= 5  17 - 7  (131 - 7  17) = 54  17 - 7  131,
inverze k 17 je 54.
Obdobně [18]-1
Z+
131
= 51 a [19]Z+
131
= 69.
2
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
1 Řešení domácích úloh z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Homomorfismy grup
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řekneme, že podgrupa H grupy G je generovaná prvky a1, a2,
. . . an  G, jestliže je to nejmenší (vzhledem k uspořádání inkluzí)
podgrupa v G obsahující všechny dané prvky.
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řekneme, že podgrupa H grupy G je generovaná prvky a1, a2,
. . . an  G, jestliže je to nejmenší (vzhledem k uspořádání inkluzí)
podgrupa v G obsahující všechny dané prvky.
V (Z20, +) určete podgrupu H generovanou prvky [4]Z20 a [10]Z20 .
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řekneme, že podgrupa H grupy G je generovaná prvky a1, a2,
. . . an  G, jestliže je to nejmenší (vzhledem k uspořádání inkluzí)
podgrupa v G obsahující všechny dané prvky.
V (Z20, +) určete podgrupu H generovanou prvky [4]Z20 a [10]Z20 .
V S4 určete podgrupu H generovanou permutacemi (123) a (234).
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Řekneme, že podgrupa H grupy G je generovaná prvky a1, a2,
. . . an  G, jestliže je to nejmenší (vzhledem k uspořádání inkluzí)
podgrupa v G obsahující všechny dané prvky.
V (Z20, +) určete podgrupu H generovanou prvky [4]Z20 a [10]Z20 .
V S4 určete podgrupu H generovanou permutacemi (123) a (234).
V S4 určete podgrupu H generovanou permutacemi
(12)(34), (13)(24).
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících předpisech, jestli jsou to zobrazení a
pokud ano, zda jsou homomorfismy či isomorfismy grup:
f : (Z8, +)  (Z8, ), f ([a]Z8 ) = [a + 3]Z8
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Rozhodněte o následujících předpisech, jestli jsou to zobrazení a
pokud ano, zda jsou homomorfismy či isomorfismy grup:
f : (Z8, +)  (Z8, ), f ([a]Z8 ) = [a + 3]Z8
f : (Z
5, ) × (Z
3)  Z
15, f ([a]Z
5
× [b]Z
3
) = [ab]Z
15
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Ukažte, že zobrazení f : Z
n  Z
n, [x]Zn  [x2]Zn je
homomorfismem grup. Co je jeho jádrem? Jak vypadá příslušná
faktorová grupa podle jádra?
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Ukažte, že zobrazení f : Z
n  Z
n, [x]Zn  [x2]Zn je
homomorfismem grup. Co je jeho jádrem? Jak vypadá příslušná
faktorová grupa podle jádra?
Uvažme zobrazení det : GL(n, R)  R. Je toto zobrazení
homomorfismem? Co je jeho jádrem K, jak vypadá příslušná
faktorová podgrupa GL(n, R)/K?
Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy
Ukažte, že pro libovolný cyklus  v Sn je -1 opět cyklus stejné
délky (pro libovolné   Sn).