Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy MB104 ­ 9. demonstrovaná cvičení Pravděpodobnost a střípek ze statistiky Masarykova univerzita Fakulta informatiky 30.4. 2007 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení písemky 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne 3 Návodné úlohy Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. V lineárním (6, 3)-kódu nad Z2 zadaném maticí 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 byla přijata zpráva 110100. Dekódujte ji (tj. nalezněte odesílanou zprávu) za předpokladu, že při přenosu došlo k nejmenšímu možnému počtu chyb. Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. V lineárním (6, 3)-kódu nad Z2 zadaném maticí 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 byla přijata zpráva 110100. Dekódujte ji (tj. nalezněte odesílanou zprávu) za předpokladu, že při přenosu došlo k nejmenšímu možnému počtu chyb. Řešení. 101 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Stanovte hodnotu parametru a R tak, aby funkce f (x) = 0 pro x 0 ax2 pro 0 < x < 2 0 pro x 2 zadávala hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X a spočtěte její střední hodnotu. Řešení. 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Nechť náhodné veličiny U, V mají diskrétní rozdělení určené následující tabulkou (U může nabývat hodnot 1, 2, veličina V potom hodnot 1, 2 a 3): V U 1 2 3 1 0,1 0,2 0,2 2 0,2 0,1 0,2 . Najděte marginální rozdělení obou náhodných veličin, jejich střední hodnoty, rozptyly a korelační koeficient. Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení písemky 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne 3 Návodné úlohy Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. V lese, jehož hranice tvoří na mapě pravidelný šestiúhelník se ztratilo dítě. Předpokládejme, že pravděpodobnost toho, že dítě je v určíté části lesa, je úměrná pouze velikosti této části, nikoliv jejímu umístění. Jaké je rozdělení pravděpodobnosti vzdálenosti dítěte od zvolené strany (přímky) lesa Jaké je rozdělení pravděpodobnosti vzdálenosti dítěte od nejbližší strany lesa Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Řešení. Nechť a je strana šestiúhelníka. Pak rozdělení pravděpodobnosti je f (x) = 0 pro x 0 4 9a2 x + 2 3 3a pro 0 < x 1 2 3a - 4 9a2 x + 2 3a pro 1 2 3a x 3a 0 pro x > 3a , pro část a. Část b byla spočítána na demo cvičení jako část a stejného příkladu pro trojúhelník. 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Tři dorostenci kopou po jednom pokutovém kopu. První bude úspěšný s pravděpodobností 0, 8, druhý s pravděpodobností 0, 7 a třetí s pravděpodobností 0, 9. Určete rozdělení pravděpodobnosti celkového počtu vstřelených branek a jeho střední hodnotu. Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. Tři dorostenci kopou po jednom pokutovém kopu. První bude úspěšný s pravděpodobností 0, 8, druhý s pravděpodobností 0, 7 a třetí s pravděpodobností 0, 9. Určete rozdělení pravděpodobnosti celkového počtu vstřelených branek a jeho střední hodnotu. Řešení. To je snad zřejmé. 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Nechť náhodné veličiny U, V mají diskrétní rozdělení určené následující tabulkou (U může nabývat hodnot 1, 2, veličina V potom hodnot 1, 2 a 3): V U 1 2 3 1 0,1 0,2 0,3 2 0,2 0,1 0,1 . Najděte marginální rozdělení obou náhodných veličin, jejich střední hodnoty, rozptyly a korelační koeficient. Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Nechť náhodné veličiny U, V mají diskrétní rozdělení určené následující tabulkou (U může nabývat hodnot 1, 2, veličina V potom hodnot 1, 2 a 3): V U 1 2 3 1 0,1 0,2 0,3 2 0,2 0,1 0,1 . Najděte marginální rozdělení obou náhodných veličin, jejich střední hodnoty, rozptyly a korelační koeficient. Řešení. EU = 1 0, 6 + 2 0, 4 = 1, 4, EU2 = 0, 4 + 4 0, 6 = 2, 8 EV = 0, 4 + 0, 6 + 1, 2 = 2, 1, EV 2 = 0, 3 + 1, 2 + 3, 6 = 5, 1, E(UV ) = 2, 8, var(U) = 2, 8 - 1, 42 = 2, 8 - 1, 96 = 0, 84, var(V ) = 5, 1 - 4, 41 = 0, 69, cov(UV ) = 2, 8 - 1, 4 2, 1 = -0, 14, U,V = -0,14 0,840,69 . 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 1. Pro náhodnou veličinu s hustotou f (x) = 3x2 pro 0 x 1 0 jinak najděte distribuční funkci a pravděpodobnost P[1/3 < x < 2/3]. Řešení. 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 2. V loterii je mi výher s hodnotou qi , i = 1, . . . , k. Má být vydáno N losů. Určete cenu losu tak, aby střední hodnota výhry na jeden los byla rovna polovině jeho ceny. Řešení. 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Dvojice součástek má dobu života popsánu sdruženou hustotou fX,Y (x, y) = 1 2 e-x- y 2 pro x > 0, y > 0, 0 jinak. Určete pravděpodobnost toho, že druhá součástka přežije první. Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Příklad 3. Dvojice součástek má dobu života popsánu sdruženou hustotou fX,Y (x, y) = 1 2 e-x- y 2 pro x > 0, y > 0, 0 jinak. Určete pravděpodobnost toho, že druhá součástka přežije první. Řešení. 1 2 - x e-x- y 2 dy dx = 2 3 2 Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy 1 Řešení písemky 2 Řešení domácích úloh z minulého týdne 3 Návodné úlohy Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Agentura pro výzkum veřejného mínění pořádá průzkum volebních preferencí pěti vybraných politických stran. Kolik náhodně vybraných respondentů se musí výzkumu zúčastnit, aby byly s pravděpodobností 0, 95 výsledky průzkumu v rozmezí 2% od skutečných preferencí? Řešení písemky Řešení domácích úloh z minulého týdne Návodné úlohy Kritické hodnoty normovaného normálního rozdělení N(0, 1) 0, 5 0, 10 0, 05 0, 025 0, 01 0, 005 0, 001 z() 0 1, 282 1, 645 1, 960 2, 326 2, 576 3, 090