Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
MB102 ­ 5. demonstrovaná cvičení
Řady a mocninné řady
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
18.3. 2008
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete definiční obor a zderivujte následující funkce:
1 xx ,
2 xxx
,
3 ex
x ,
4 x2 arc cos(2
x ),
u první funkce určete intervaly monotónnosti.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 1. Určete definiční obor a zderivujte následující funkce:
1 xx ,
2 xxx
,
3 ex
x ,
4 x2 arc cos(2
x ),
u první funkce určete intervaly monotónnosti.
Řešení.
1 xx (ln x + 1),
2 xxx
x(x-1) + ln x [xx (ln x + 1)] ,
3 ex
x - ex
x2 ,
4 2x arc cos(2
x ) + 1
x2-4
.
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 2. Určete první a druhé derivace následujících funkcí:
1 e-x ln(x),
2 e-2x sin(3x).
Řešení.
1 e-x ln(x) - 2e-x
x - e-x
x2 ,
2 -5e-2x sin(3x) - 12e-2x cos(3x).
2
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3.
Udejte příklad funkce f : R  R, která je na celém R hladká,
pouze v jednom bodě je jenom dvakrát diferencovatelná.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad 3.
Udejte příklad funkce f : R  R, která je na celém R hladká,
pouze v jednom bodě je jenom dvakrát diferencovatelná.
Udejte příklad hladké funkce f : R  R, která je globálně
invertovatelná a přitom f -1 není všude na svém definičním
oboru diferencovatelná.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Plán přednášky
1 Domácí úlohy z minulého týdne
2 Návodné úlohy
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Kriteria konvergence řad.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Kriteria konvergence řad.
Harmonická řada a řada

n=1
1
n2 .
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Leibnitzovo kriterium konvergence. Nechť {an}
n=1 je nerostoucí
posloupnost kladných čísel taková, že lim
n
an = 0. Pak alternující
řada

n=1
(-1)n+1an konverguje.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Leibnitzovo kriterium konvergence. Nechť {an}
n=1 je nerostoucí
posloupnost kladných čísel taková, že lim
n
an = 0. Pak alternující
řada

n=1
(-1)n+1an konverguje.
Důsledek. Alternující harmonická řada

n=1
(-1)n+1 1
n konverguje.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Leibnitzovo kriterium konvergence. Nechť {an}
n=1 je nerostoucí
posloupnost kladných čísel taková, že lim
n
an = 0. Pak alternující
řada

n=1
(-1)n+1an konverguje.
Důsledek. Alternující harmonická řada

n=1
(-1)n+1 1
n konverguje.
ĽHospitalovo pravidlo
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či
divergují:
1

n=1
2n
n2 ,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či
divergují:
1

n=1
2n
n2 ,
2

n=1
1
n
,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či
divergují:
1

n=1
2n
n2 ,
2

n=1
1
n
,
3

n=1
1
n2100000 ,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Rozhodněte o následujících řadách, jestli konvergují či
divergují:
1

n=1
2n
n2 ,
2

n=1
1
n
,
3

n=1
1
n2100000 ,
4

n=1
1
(2+i)n .
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete poloměr konvergence následujících mocninných
řad:
1

n=1
1
n xn,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete poloměr konvergence následujících mocninných
řad:
1

n=1
1
n xn,
2

n=1
2n
n2 xn,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete poloměr konvergence následujících mocninných
řad:
1

n=1
1
n xn,
2

n=1
2n
n2 xn,
3

n=1
xn,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Příklad Určete poloměr konvergence následujících mocninných
řad:
1

n=1
1
n xn,
2

n=1
2n
n2 xn,
3

n=1
xn,
4

n=1
1
(2+i)n xn.
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete všechna x  R, pro které konvergují následující mocninné
řady:
1

n=1
xn!,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete všechna x  R, pro které konvergují následující mocninné
řady:
1

n=1
xn!,
2

n=1
(-1)n
2n+1 x2n+1,
Domácí úlohy z minulého týdne Návodné úlohy
Určete všechna x  R, pro které konvergují následující mocninné
řady:
1

n=1
xn!,
2

n=1
(-1)n
2n+1 x2n+1,
3

n=1
2n
n xn.