1. zápočtová písemka
9vtatematika W,jaro 2008, skupina f
Jméno, UCO:
1. 2. 3. 4. 5. 6. celkem
Příklad 1. (6 bodů: +1 za správnou odpověď, -- 1 za špatnou odpověď, 0 bez odpovědi, lze získat pouze nezáporný
počet bodů)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se A N O nebo N E na patřičném řádku), zda jsou
následující tvrzení pravdivá:
1. ANO NE Je-li H podgrupa grupy G a, K podgrupa grupy H, potom je K podgrupa
grupy G.
2. ANO NE Každá komutativní grupa je cyklická.
3. ANO NE Každý konečný okruh je těleso.
4. ANO NE Libovolné dvě nekonečné komutativní grupy jsou izomorfní.
5. ANO NE Má-li libovolný normovaný polynom s celočíselnými koeficienty racionální
kořen, potom je tento kořen celočíselný.
6. ANO NE Existuje konečně mnoho polynomů s reálnými koeficienty a
dvojnásobným kořenem 5.
Příklad 2. (4 body, 1 bod za každou část)
1. Uveďte příklad nekonečné grupy a její konečné podgrupy.
2. Uveďte příklad dvou konečných grup, které nejsou izomorfní.
3. Uveďte příklad konečného okruhu, který není oborem integrity.
4. Uveďte příklad polynomu druhého stupně s celočíselnými koeficienty, který nemá
komplexní kořen.
Příklad 3. (5 bodů)
M , , . ,, A 2 3 4 5 6 7\ A 2 3 4 5 6 7\
Necht M e Se,  = ^ 5 4 x 6 7 2 3 J , t = ^ 2 x 4 6 5 7J ˇ
1. Napište permutace s a ŕ jako součin nezávislých cyklů,
2. Rozložte permutaci s o í na součin nezávislých cyklů,
3. Rozložte permutaci s_1
na součin nezávislých cyklů,
4. Rozložte permutaci (s144
o í~7
)48
na součin nezávislých cyklů,
5. Rozložte permutaci t na součin transpozic a určete paritu této permutace.
Příklad 4. (5 bodů)
Nechť / : (Zi5, +) --ˇ (Z30, +) dané předpisem f (a) = [2 ˇ a]30. Rozhodněte, zda předpis
/ zadává zobrazení, homomornsmus, izomorfismus, nalezněte jádro a obraz /.
Příklad 5. (5 bodů) Určete řády všech prvků grupy (Z2 x Z5,+). Vyberte generátory této
grupy.
Příklad 6. (5 bodů)
Určete všechny racionální kořeny a jejich násobnost polynomu f(x) = 12x4
+ 8x3
--
9 x 2
- 3 x + 2 eZ[x].
Hodně štěstí!