Matematika IV - 13. přednáška Bodové a intervalové odhady
Michal Bulant
Masarykova univerzita Fakulta informatiky
12. 5. 2008
=
A Náhodný výběr
Q Bodové a intervalové odhady
•  Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text.
•  Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1.
•  Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Popisná statistika, Masarykova univerzita, 3. vydání, 2002, 48 stran, ISBN 80-210-1831-3.
•  Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4.
Náhodný výběr

□          g           -           =          -E-OQ^O"
Nechť Xl,... ,Xn je náhodný výběr. (Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených
náhodných veličin X\,.. .,Xn ~ Fx(x)).
Nechť Xl,... , X„ je náhodný výběr. (Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených
náhodných veličin X\,.. . ,X„ ~ Fx(x)).
Statistiku M = ^ 5Z,"=1X,- nazýváme výběrový průměr, statistiku
S2 = ^r Eľ=i(x'' - M)2 výběrový rozptyl a statistiku S = VŠ* výběrová směrodatná odchylka. Analogicky se definují i výběrová kovariance, příp. výběrový korelační koeficient pro dvourozměrný náhodný výběr.
Nechť Xl,... , X„ je náhodný výběr. (Náhodným výběrem rozsahu n   rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených
náhodných veličin X\,.. . ,X„ ~ Fx(x)).
Statistiku M = ^ 5Z,"=1X,- nazýváme výběrový průměr, statistiku
S2 = ^r Eľ=i(x'' - M)2 výběrový rozptyl a statistiku S = VŠ* výběrová směrodatná odchylka. Analogicky se definují i výběrová kovariance, příp. výběrový korelační koeficient pro dvourozměrný náhodný výběr.
B				
Necht Xi,..	., Xn je náhodný výběr rozsc	ihu n	z rozdělení se	střední
hodnotou ß	a rozptylem a2 . Pak platí:			
• E(M) =	= H,			
• D(M) --	= var(/W) = a2/n,			
• E (S2) =	= a2.			
.^      -0 0,0
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
9 M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
□      g      -      =
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
•   M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
•  M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - ß)/{a/y/n) ~ A/(0,1).
□       s        -        =
Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
B                                                           ft						
»	M	a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.				
•	M	~A/(/í,	a2/n), a tedy U =	(M-	-Ai)/(<r/0i)~A/(O,l).	
•	T --	= (M-	M)/(S/0í) ~ t(„	-!)•		
Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
B                                                           ft						
»	M	a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.				
•	M	~ N(fi	, a2/n), a tedy U =	--{M-	-ß)/(a/Vn-)~N(0,l).	
•	T -	= (M-	-ß)/(S/yrü)~t(r	'"!)•		
9	K -	= (n-	l)S2/a2 ~ x2(n -	!)■		
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
•  M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
•  M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - ß)/{a/y/n) ~ A/(0,1). . 7 = (M-/i)/(S/0i)~t(n-l).
•  K = (n - 1)S2/(T2 - X2(n - 1). •E(^/-^)>2~X2(n).
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
•  M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
•  M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - ß)/{a/y/n) ~ A/(0,1). . 7 = (M-/i)/(S/0i)~t(n-l).
•  K = (n - 1)S2/(T2 - X2(n - 1). •E(^/-^)>2~X2(n).
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
•  M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
•  M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - ß)/{a/y/n) ~ A/(0,1). . 7 = (M-/i)/(S/0i)~t(n-l).
•  K = (n - 1)S2/(T2 - X2(n - 1). •E(^/-^)>2~X2(n).
Poznámka
K odhadu ß, neznáme-li a2, slouží T, v opačném případě U.
ooooooooooooo
Naho
Uvažme nyní speciální případ, kdy je X\,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2).
•  M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
•  M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - ß)/{a/y/n) ~ A/(0,1). . 7 = (M-/i)/(S/0i)~t(n-l).
•  K = (n - 1)S2/(T2 - X2(n - 1). •E(^/-^)>2~X2(n).
Poznámka
K odhadu ß, neznáme-li a2, slouží T, v opačném případě U. K odhadu a2, neznáme-li //, slouží K, v opačném případě následující (bezejmenná?) statistika, která je vlastně statistikou K, v níž místo odhadu M použijeme přímo ß.
Důkaz.
Položme Z; = (X; — /x)/<7, což jsou zřejmě nezávislé náhodné veličiny s normovaným normálním rozdělením. Zřejmě je X = a + crEnZ, kde a = (ß,..., ß) je vektor samých /x, a proto má X podle věty z předchozí přednášky mnohorozměrné normální rozdělení. Je-li dále d vektor ze samých 1/n, pak má náhodná veličina M = d1X (jednorozměrné) normální rozdělení se střední hodnotou dTa = /ia rozptylem dTu2End = u2/n.
Důkaz.
Položme Z; = (X; — /x)/<7, což jsou zřejmě nezávislé náhodné
veličiny s normovaným normálním rozdělením. Zřejmě je
X = a + crEnZ, kde a = (ß,..., ß) je vektor samých /x, a proto má
X podle věty z předchozí přednášky mnohorozměrné normální
rozdělení. Je-li dále d vektor ze samých 1/n, pak má náhodná
veličina M = d1X (jednorozměrné) normální rozdělení se střední
hodnotou dTa = /ia rozptylem dTu2End = u2/n.
Ostatní tvrzení se dokážou obdobně.                                                     D
Příklad
V roce 1951 bylo rozsáhlým statistickým průzkumem zjištěno, že střední hodnota výšky desetiletých chlapců je 136,1 cm se směrodatnou odchylkou cr = 6,4 cm.
Příklad
V  roce 1951 bylo rozsáhlým statistickým průzkumem zjištěno, že střední hodnota výšky desetiletých chlapců je 136,1 cm se směrodatnou odchylkou a = 6,4 cm.
V  roce 1961 byla zjištěna výška pouze u 15 náhodně vybraných chlapců:
130	140	136	141	139	133	149	151
139	136	138	142	127	139	147	
Otázkou je, zda se v porovnání s rokem 1951 změnila střední výška chlapců, pokud předpokládáme, že variabilita výšek se v různých generacích příliš nemění.
Řešení
Vzhledem k tomu, že základní soubor všech desetiletých chlapců je rozsáhlý, lze zmíněná data považovat za náhodný výběr3. Zjistíme, že výběrový průměr M = 139,133, n = 15 a s využitím statistiky U dostáváme, že s 95% pravděpodobností leží hodnota ß v intervalu
(M - 1, 96(7/y/ň; M + l, 96a/y/ň) = (135, 9; 142,4).
Protože i střední hodnota výšek z roku 1951 leží v tomto intervalu, nemáme vážný důvod tvrdit, že se střední výška změnila.
Řešení
Vzhledem k tomu, že základní soubor všech desetiletých chlapců je rozsáhlý, lze zmíněná data považovat za náhodný výběr3. Zjistíme, že výběrový průměr M = 139,133, n = 15 a s využitím statistiky U dostáváme, že s 95% pravděpodobností leží hodnota ß v intervalu
(M - 1, 96(7/y/ň; M + l, 96a/y/ň) = (135, 9; 142,4).
Protože i střední hodnota výšek z roku 1951 leží v tomto intervalu, nemáme vážný důvod tvrdit, že se střední výška změnila. Pokud bychom ovšem připustili vyšší možnost omylu a stanovili interval se spolehlivostí pouze 90%, pak bychom na této hladině hypotézu, že střední výška se změnila, přijali - interval je nyní (136,41;141,85).
Řešení
Vzhledem k tomu, že základní soubor všech desetiletých chlapců je rozsáhlý, lze zmíněná data považovat za náhodný výběr3. Zjistíme, že výběrový průměr M = 139,133, n = 15 a s využitím statistiky U dostáváme, že s 95% pravděpodobností leží hodnota ß v intervalu
(M - 1, 96(7/y/ň; M + l, 96a/y/ň) = (135, 9; 142,4).
Protože i střední hodnota výšek z roku 1951 leží v tomto intervalu, nemáme vážný důvod tvrdit, že se střední výška změnila. Pokud bychom ovšem připustili vyšší možnost omylu a stanovili interval se spolehlivostí pouze 90%, pak bychom na této hladině hypotézu, že střední výška se změnila, přijali - interval je nyní (136,41;141,85). Podobně, pokud nás zajímá pouze dolní odhad střední hodnoty výšek chlapců (a vůbec tedy nepřipouštíme možnost, že by se střední výška snížila), pak s 95% pravděpodobností je střední výška větší než 136,41, a tedy nyní opět přijímáme hypotézu, že se střední výška zvýšila.
ooooooooooooo
Necht je Xu,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení N{ß, g\) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, <t2), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a Si,S2 výběrové rozptyly. Dále necht je
52_(m-l)512 + (n-l)522 *               m + n-2
vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí:
ooooooooooooo
Necht je Xu,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení N{ß, g\) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, u^), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a Si,S2 výběrové rozptyly. Dále necht je
(m - 1)S2 + (n
1)S|
m + n-2
vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: 9 M\ — M2 a S^ jsou stochasticky nezávislé,
ooooooooooooo
Necht je Xu,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení N{ß, g\) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, u^), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a Si,S2 výběrové rozptyly. Dále necht je
(m - 1)S2 + (n
1)S|
m + n - 2
vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí:
•  M\ — M2 a S^ jsou stochasticky nezávislé,
•  M1-M2~ N(ßl -ß2,d + U)t
ooooooooooooo
Necht je Xu,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení N{ß, g\) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, u^), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a Si,S2 výběrové rozptyly. Dále necht je
(m - 1)S2 + (n
1)S|
m + n - 2
vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí:
•  M\ — M2 a S^ jsou stochasticky nezávislé,
•  M1-M2~ N(ßl -ß2,d + U)t
r2
• je-li af = a\
pak
K = {m + n- 2)Sl/u2 ~ X2(m + n - 2)
ooooooooooooo
Necht je Xu,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení N{ß, g\) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, u^), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a Si,S2 výběrové rozptyly. Dále necht je
(m - 1)S2 + (n
1)S|
m + n - 2
vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: 9 M\ — M2 a S^ jsou stochasticky nezávislé,
• M1-M2~ N(ßl - ß2, ^ + ^) ,
r2
• je-li af = a\
pak
K • F
(m + n- 2)Si/a<
syst
o\lo\
F{m — 1, n
X2(m + n -!)■
2)
Užití
ooooooooooooo
• Statistika U, vzniklá normováním Mi — Mi, se používá pro odhad rozdílu ßi — ß2, známe-li rozptyly v\,o\.
•  Statistika U, vzniklá normováním Mi — Mi, se používá pro odhad rozdílu ßi — ß2, známe-li rozptyly a2,a2.
•  Je-li a\ = a2 = a2, pak statistika T (vzniklá z U nahrazením teoretického společného rozptylu a2 váženým průměrem výběrových rozptylů S2) slouží pro odhad rozdílu ßi — ßi, neznáme-li rozptyl a2.
•  Statistika U, vzniklá normováním Mi — Mi, se používá pro odhad rozdílu ßi — ß2, známe-li rozptyly a2,a2.
•  Je-li a\ = a2 = a2, pak statistika T (vzniklá z U nahrazením teoretického společného rozptylu a2 váženým průměrem výběrových rozptylů S2) slouží pro odhad rozdílu ßi — ßi, neznáme-li rozptyl a2.
•  Statistika K = (m + n — 2)S2/a2 slouží k odhadu společného rozptylu a2.
ooooooooooooo
Statistika U, vzniklá normováním Mi — M2, se používá pro odhad rozdílu ßi — ß2, známe-li rozptyly a2,a2.
Je-li a\ = a2 = o1, pak statistika T (vzniklá z U nahrazením teoretického společného rozptylu a2 váženým průměrem výběrových rozptylů S2) slouží pro odhad rozdílu ßi — ß2, neznáme-li rozptyl a2.
Statistika K = (m + n — 2)S2/a2 slouží k odhadu společného rozptylu a2.
c2 /c2
Statistika F =   \, \ slouží k odhadu podílu rozptylů o\ja\.
<Jl/<J2
Příklad
Mějme dva nezávislé náhodné výběry; první rozsahu 10 z rozdělení A/(2; 1,5) a druhý rozsahu 5 z rozdělení A/(3,4). Určete pravděpodobnost, že výběrový průměr prvního výběru bude menší než výběrový průměr druhého výběru.
Příklad
Mějme dva nezávislé náhodné výběry; první rozsahu 10 z rozdělení A/(2; 1,5) a druhý rozsahu 5 z rozdělení A/(3,4). Určete pravděpodobnost, že výběrový průměr prvního výběru bude menší než výběrový průměr druhého výběru.
Řešení
P(Mi < M2) = P(Mi - M2 < 0)
p | {Mi - M2) - {fii - fi2) < 0 - (mi - /í2)
2                2
2             2
m  "^   n
P\ U <
-2 + 3
M   i   4
10  "r" 5,
P(L/< 1,05)
<D(1,05) = 0,853.
Plán
Q Bodové a intervalové odhady
□       s        -        =
Náhodný výběr je n-tice nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením, které záleží na jednom nebo více parametrech. Obvykle přitom hodnotu těchto parametrů neznáme, ale můžeme tuto hodnotu nebo hodnotu nějaké jeho funkce (tzv. parametrické funkce) z náhodného výběru odhadnout.
Náhodný výběr je n-tice nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením, které záleží na jednom nebo více parametrech. Obvykle přitom hodnotu těchto parametrů neznáme, ale můžeme tuto hodnotu nebo hodnotu nějaké jeho funkce (tzv. parametrické funkce) z náhodného výběru odhadnout.
Definice
Mějme náhodný výběr X\,... ,Xn, které závisí na (obecně vektorovém) parametru 9. Bodovým odhadem parametru 9 rozumíme statistiku T((X\,... ,Xn), která je v nějakém smyslu blízko parametru 9. Rozdíl (příp. vektorový) E(T) — 9 nazveme vychýlení, je-li E(T) = 9, pak odhad T nazveme nestranným.
■   OQ.O-
Náhodný výběr je n-tice nezávislých náhodných veličin se stejným rozdělením, které záleží na jednom nebo více parametrech. Obvykle přitom hodnotu těchto parametrů neznáme, ale můžeme tuto hodnotu nebo hodnotu nějaké jeho funkce (tzv. parametrické funkce) z náhodného výběru odhadnout.
Definice
Mějme náhodný výběr Xl,... ,Xn, které závisí na (obecně vektorovém) parametru 9. Bodovým odhadem parametru 9 rozumíme statistiku T((X\,... ,Xn), která je v nějakém smyslu blízko parametru 9. Rozdíl (příp. vektorový) E(T) — 9 nazveme vychýlení, je-li E(T) = 9, pak odhad T nazveme nestranným. Intervalovým odhadem parametru 9 rozumíme (obecně vícerozměrný) interval (Ti, Ty), kde Ti(X\,... ,Xn) a Tu(Xi,..., Xn) jsou statistiky výběru (Xi,..., Xn). Platí-li
P(TL<9< Tu) = l-a,
říkáme, že (Ti, Ty) je interval spolehlivosti 1 — a pro parametr 9
Definice
Jsou-li 7~i, 7~2 nestranné odhady parametru 9, říkáme, že odhad 7~i
je lepší než odhad T2, pokud D{Ti) < D{T2), příp.
var 7"i < var T2 (tj. matice var T2 — var 7"i je pozitivně definitivní).
Definice
Jsou-li 7~i, 7~2 nestranné odhady parametru 9, říkáme, že odhad 7~i je lepší než odhad T2, pokud D{Ti) < D{T2), příp. var 7"i < var T2 (tj. matice var 7~2 — var 7"i je pozitivně definitivní). 0 posloupnosti Tn odhadů 9 říkáme, zeje asymptoticky nestranná , pokud lim^oo E(Tn) = 9.
Definice
Jsou-li 7~i, 7~2 nestranné odhady parametru 9, říkáme, že odhad 7~i
je lepší než odhad T2, pokud D{Ti) < D{T2), příp.
var 7"i < var T2 (tj. matice var 7~2 — var 7"i je pozitivně definitivní).
0 posloupnosti Tn odhadů 9 říkáme, zeje asymptoticky
nestranná , pokud lim^oo E(Tn) = 9.
O posloupnosti Tn odhadů 9 říkáme, zeje konzistentní, pokud
limr
P(\Tn - 9\ < e) = 1.
Je-li posloupnost Tn odhadů parametru 6 asymptoticky nestranná a platí-li limn^oo D{Tn) = O, pak Tn je konzistentním odhadem 9.
Je-li posloupnost Tn odhadů parametru 6 asymptoticky nestranná a platí-li limn^oo D{Tn) = O, pak Tn je konzistentním odhadem 9.
Buď e > O libovolné. Z Cebyševovy nerovnosti máme P(\Tn - E(Tn)\< 6/2) > 1 - D(T„)/(e/2)2.
□        s        -        =
Je-li posloupnost Tn odhadů parametru 9 asymptoticky nestranná a platí-li limn^oo D{Tn) = O, pak Tn je konzistentním odhadem 9.
Buď e > O libovolné. Z Čebyševovy nerovnosti máme P{\T„- E{Tn)\ < e/2) > 1 - D(T„)/(e/2)2. Zároveň pro dostatečně velké n máme \E(Tn) — 9\ < e/2. Proto
P(\ Tn-9\<e)> P{\ Tn - E{Tn)\ < e/2, \E(Tn) - 9\ < e/2) = P(\Tn-E(Tn)\<e/2),
která konverguje k 1, což znamená, že Tn konverguje podle pravděpodobnosti k 9 .
D
=
Příklad
Uvažujme opakovaná nezávislá měření určité konstanty /x, popsaná náhodným výběrem Xi,..., X„ z rozdělení se střední hodnotou E(X,) =/ja rozptylem D(X,) = a2. Dokažte, že statistiky M = jj Yl X; a L = \{X\ + Xn) jsou nestrannými odhady ß a rozhodněte, který z odhadů je lepší.
Příklad
Uvažujme opakovaná nezávislá měření určité konstanty /x, popsaná náhodným výběrem Xi,..., X„ z rozdělení se střední hodnotou E(Xj) =/ta rozptylem D(X,) = a2. Dokažte, že statistiky M = jj Yl X; a L = \{X\ + Xn) jsou nestrannými odhady ß a rozhodněte, který z odhadů je lepší.
Řešení
E(M) = -nY,E(X;) = -nnß = ß
E(L)
n Xi+X„
-E(X1+Xn) = -(n + p) = p
D(/W) = ^ED(X') = ^2^S
a n
D{Ľ) = D(l/2(Xi + X„)) = l/4D(Xi + Xn)
Poznámka
Odpověď na otázku z minulé přednášky je, že výběrová směrodatná odchylka S není nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Kdyby totiž E(S) = a, pak by
D(S) = E(S2) — E(S)2 = a2 — a2 = 0, což by znamenalo, že S je konstanta, a to je spor, protože rozptyl S je nenulový.
Poznámka
Odpověď na otázku z minulé přednášky je, že výběrová směrodatná odchylka S není nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Kdyby totiž E(S) = a, pak by
D(S) = E(S2) — E(S)2 = a2 — a2 = 0, což by znamenalo, že S je konstanta, a to je spor, protože rozptyl S je nenulový.
Poznámka
Jak jsme viděli dříve, není statistika s2 = ^ Yľi=ii^i ~ M)2 náhodného výběru z normálního rozdělení nestranným odhadem rozptylu a2 -je totiž E(s2) = E^^S2) = ^o2. Zřejmě je ale
limr
E(s2n)
a
Poznámka
Odpověď na otázku z minulé přednášky je, že výběrová směrodatná odchylka S není nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Kdyby totiž E(S) = a, pak by
D(S) = E(S2) — E(S)2 = a2 — a2 = 0, což by znamenalo, že S je konstanta, a to je spor, protože rozptyl S je nenulový.
Poznámka
Jak jsme viděli dříve, není statistika s2 = ^ Yľi=ii^i ~ M)2 náhodného výběru z normálního rozdělení nestranným odhadem
rozptylu a2 -je totiž E(s2) = Ei^S2) lim^oo E(s2) = a2 a protože
n-l
a . Zřejmě je ale
D(S2)
2a2
je i lim^oo D(s2) = lim^^ D((n - l)S2/n) = 0, a je tedy posloupnost s2 konzistentním odhadem rozptylu a2.
Náhodný vyber oooooooo				Bodové a intervalové odhady OOOOO0OOOOOOO
Intervaly spoler	ilivosti {confi	dence inte	wals)	
Připomeňme, že pro náhodný výběr X\,... ,Xn závislý na parametru 9 jsme definovali intervalový odhad parametru 9 pomocí statistik Ti, Tu výběru tak, ze P(Ti < 9 < Tu) = 1 — a. Jde o tzv. oboustranný interval spolehlivosti pro 9 .
Připomeňme, že pro náhodný výběr X\,... ,Xn závislý na parametru 9 jsme definovali intervalový odhad parametru 6 pomocí statistik Ti, Tu výběru tak, ze P(Ti < 6 < Tu) = 1 — a. Jde o tzv. oboustranný interval spolehlivosti pro 6 . Podobně definujeme levostranný interval spolehlivosti {Ti, co) pomocí P{ Ti < 6) = 1 — a, analogicky pravostranný interval spolehlivosti.
Připomeňme, že pro náhodný výběr X\,... ,Xn závislý na parametru 9 jsme definovali intervalový odhad parametru 6 pomocí statistik Ti, Tu výběru tak, ze P(Ti < 6 < Tu) = 1 — a. Jde o tzv. oboustranný interval spolehlivosti pro 6 . Podobně definujeme levostranný interval spolehlivosti {Ti, co) pomocí P{ Ti < 6) = 1 — a, analogicky pravostranný interval spolehlivosti. Číslo a se nazývá riziko (obvykle se používá a = 0,05), číslo 1 — a spolehlivost.
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
O Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 6.
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
O Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 6.
Q Najdeme tzv. pivotovou statistiku, která je transformací V se známým rozdělením, nezávisící na neznámé hodnotě 9 (např. M,K,T,F).
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
O Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 6.
Q Najdeme tzv. pivotovou statistiku, která je transformací V se známým rozdělením, nezávisící na neznámé hodnotě 9 (např. M,K,T,F).
O Najdeme příslušné kvantily rozdělení statistiky W tak, že
P(wa/2 <W< w/i_a/2) = 1 - a.
=
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
O Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 9.
Q Najdeme tzv. pivotovou statistiku, která je transformací V se známým rozdělením, nezávisící na neznámé hodnotě 9 (např. M,K,T,F).
O Najdeme příslušné kvantily rozdělení statistiky W tak, že
P(wa/2 <W< wx_a/2) = 1 - a.
O Nerovnost wa/2 < W < wi_a/2 převedeme ekvivalentními úpravami na nerovnost Ti < 9 < Tu-
=
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
O Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 9.
Q Najdeme tzv. pivotovou statistiku, která je transformací V se známým rozdělením, nezávisící na neznámé hodnotě 9 (např. M,K,T,F).
O Najdeme příslušné kvantily rozdělení statistiky W tak, že
P(wa/2 <W< Wl_a/2) = 1
a.
O Nerovnost wa/2 < W < wi_a/2 převedeme ekvivalentními úpravami na nerovnost Ti < 9 < Tu-
9 Z daného výběru zjistíme konkrétní číselné realizace statistik Ti, Ty a dostaneme tak intervalový odhad požadované spolehlivosti 1 — a.
li (známe a2)    I (M - ^Ui_a/2,M + ^ui-Q/2) /x (neznáme a2)     (M - ^tl_a/2,M + gfo  a/2)
a2 (neznáme /x)  ~     (   ^g!^, ^gggy)
□         S         -         =         -š      -f)<\o
Příklad
Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozdělení A/(/x; 0,1). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby velikost 95% intervalu spolehlivosti pro fi nepřesáhla číslo 0,03?
Příklad
Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozdělení A/(/x; 0,1). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby velikost 95% intervalu spolehlivosti pro fi nepřesáhla číslo 0,03?
Řešení				
Podle	předchozí tabulky dostá^	/áme	(pro	a = 0,05)
	0,03> M + -^=U!_ V"	a/2 -	-(/W	- ^l-a/2) =
	0 o-— 2-—j=u\-al'l-V"			
Příklad
Nechť Xi,..., Xn je náhodný výběr z rozdělení A/(/x; 0,1). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby velikost 95% intervalu spolehlivosti pro fi nepřesáhla číslo 0,03?
Podle předchozí tabulky dostáváme (pro a = 0,05)
a
0,03>M + ^u1_a/2-(M
v n
— 2-—j=u\-al'l-V"
:"l-a/2)
Proto
n >
4a2 u\     ,0
1—a/2
170,7
0,032 a rozsah výběru tedy musí splňovat n > 171.
fii - [12 (známe a\, a\)            Mx-M2± \Jg- + %ui-a/2
Mi - ^2 (neznámé o-f = df)        Mx- M2± S*^± + ^r!_a/2
,   3    .            73      2                7     (m+n-2)S2           (m+n-2)S2   \
společný rozptyl a                í g^+gg' ggg^=tj j
podíl rozptylů crí/c?            (-p------f^i-----ť\, t—Hi—tt )
Interv
ooooooooo«ooo
ilních rozdělení
ßi — ß2 (známe a2, a2)	M1-M2±^ + ŽUl_a/2
Mi ~~ ß2 (neznámé a\ = a2)	Ml-M2±S^± + \tl_a/2
společný rozptyl a2	í     {m+n-2)Sl          {m+n-2)Sl   \ \xl_a/2(m+n-2)' xl/2(m+n-2) J
podíl rozptylů (T2/a2	/            Si/Si                       Si/Si          \
	\Fi-a/2(m-l,n-l)> Fa/2(m-l,n-l) )
Poznámka
Pokud a priori nevíme, jestli jsou rozptyly shodné, můžeme to ověřit tak, že nejprve sestrojíme interval spolehlivosti pro (T2/a2. Obsahuje-li 1, lze (s pravděpodobností 1 — a) považovat rozptyly za shodné a tento rozptyl odhadovat pomocí statistiky K jak je uvedeno v tabulce.
Nechť (Xl, Vi),..., (Xn, Yn) je výběr z rozdělení
□         S         -         =         .=      -f)<\o
oooooooooo«oo
íého rozdělení
Nechť (Xi, Ví),..., (Xn, Yn) je výběr z rozdělení
A/2
(7Í
(712
(712 (71
- /í2 a zavedeme rozdílový výběr Z; = X\ — Y,. g/~r výběru Z má ř-rozdělení s n — 1 stupni volnosti, proto jsou hranice intervalu spolehlivosti 1 — a pro /x rovny
Označíme ß = ßi Pak statistika 7 =
M±
-7=h-a/2(n - !)•
Příklad
U šesti nových automobilů bylo testováno, nakolik se sjíždějí pneumatiky na předních kolech. Byly naměřeny tyto hodnoty (v mm):
číslo auta	1	2	3	4	5	6
sjetí pravé pneu	1,8	1,0	2,2	0,9	1,5	1,6
sjetí levé pneu	1,5	1,1	2,0	1,1	1,4	1,4
Předpokládejte, že jde o realizaci náhodného výběru z dvourozměrného normálního rozdělení a rozhodněte, jestli nedochází k výraznějšímu nesymetrickému sjíždění pneumatik (tj. sestrojte 95% interval spolehlivosti pro ß = ßi — ßi)-
Řešení
Postupně vypočteme: Z = (0, 3; M = 0,0833, S = 0,1941.
-0,1; 0,2;-0,2; 0,1; 0,2),
□         s         -         =         ■€.     -o<\(y
Řešení			
Postupně vypočteme: Z = (0, 3; —0, M = 0,0833, S = 0,1941. Pak jsou intervalu spolehlivosti M±^ř1_a/2(n-l) = 0,0833±0 (-0,12; 0,29).	1;0,2;-0,2;0,1;0 krajními body hledá 1941-2,5706/^6,	2), iného tj-	95%
Řešení
Postupně vypočteme: Z = (0, 3; -0,1; 0, 2; -0, 2; 0,1; 0, 2),
M = 0,0833, S = 0,1941. Pak jsou krajními body hledaného 95%
intervalu spolehlivosti
M ± ^ri_«/2(n - 1) = 0,0833 ± 0,1941 • 2,5706/vU tj.
(-0,12; 0,29).
Poznamenejme, že snadno odvodíme i míru rizika, se kterou
bychom mohli tvrdit, že je ß\ > ß2> tj. že pravé pneumatiky se
sjíždějí více než levé. Je to takové číslo a, aby příslušný interval
spolehlivosti neobsahoval číslo 0 - v našem případě je a = 0, 34,
což je riziko příliš vysoké.