Matematika 4
27. května 2008
A
(UČO:
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4. E
Na každý příklad získáte nezáporný počet bodů.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte 90 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně --1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!):
(a) ano -- ne Množina Q* s operací x o y = \x ˇ y\ tvoří grupu.
(b) ano -- ne Grupa o prvočíselném počtu prvků má vždy právě dvě podgrupy.
(c) ano -- ne Každý konečný obor intergrity je těleso.
(d) ano -- ne Grupa pravidelného pětiúhelníka má 10 prvků a je komutativní.
(e) ano -- ne Je-li střední hodnota náhodné veličiny X i náhodné veličiny Y rovna 0, pak je
(bez ohledu na rozdělení veličin X a,Y) střední hodnota veličiny X + Y rovna 0.
(f) ano -- ne Pravděpodobnost hodu alespoň jedné šestky při čtyřech hodech kostkou je větší
než 1/2.
Příklady:
1. (6 bodů) Zapište vhodným způsobem grupu symetrií čtverce, všechny její podgrupy a rozhodněte,
které z nich jsou normální. Určete strukturu příslušných faktorgrup.
2. (6 bodů) Určete všechny racionální kořeny polynomu 4x5
-- 4x4
-- 3x3
-- 6x2
-- 7x -- 2.
3. (6 bodů) Na jistém pracovišti bylo náhodně vybráno 5 mužů a 5 žen, jejichž roční příjem
(v tis. Kč) činil u mužů: 320, 380, 240, 220, 440, zatímco u žen: 180, 240, 160, 200, 320.
Předpokládejte, že jde o realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z normálních rozdělení
a sestrojte 95% interval spolehlivosti pro podíl rozptylů příjmů mužů a žen. V případě, že
interrval obsahuje 1, testujte nulovou hypotézu: střední hodnota platů mužů a žen se neliší
oproti oboustranné alternativě.
4. (6 bodů) Tyč dlouhá 200 mm je náhodně rozřezána na tři části (každý z řezů je v každém
místě tyče stejně pravděpodobný). Jaká je pravděpodobnost, že některá z těchto částí je kratší
než 10 mm.