Matematika 4 A
26. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Každá normální podgrupa dané grupy je nutně komutativní.
(b) ano -- ne Pro libovolná m, n  N platí (mn) = (m)  (n) ( označuje Eulerovu funkci).
(c) ano -- ne Okruh polynomů nad oborem integrity je oborem integrity.
(d) ano -- ne Každá lichá permutace je transpozicí.
(e) ano -- ne Pravděpodobnost, že při čtyřech hodech běžnou kostkou padnou čtyři různá čísla,
je větší než 1
4
.
(f) ano -- ne Hustota libovolné spojité náhodné veličiny je monotónní funkce.
Příklady:
1. Jistý výrobce úsporných automobilů tvrdí, že jeho výrobky ujedou na 1 litr benzínu 31 km.
Byl vybrán vzorek 6 aut, u kterých se zjistilo, že průměrně dojela 29,5 km s (výběrovou)
směrodatnou odchylkou 3 km. Co je možné říci o tvrzení výrobce (je možné tvrzení zamítnout
nebo jsme nuceni jej připustit) na hladině významnosti 0,05? Nulovou hypotézu  = 31
testujte oproti jednostranné alternativě  < 31.
2. Určete konstantu c tak, aby byla funkce
(x) =
cx2
(1 - x) pro 0  x < 1
0 jinak
hustotou pravděpodobnosti spojité náhodné veličiny X. Najděte její distribuční funkci a
vypočtěte pravděpodobnost, že realizace X bude ležet mezi hodnotami 0,2 a 0,8.
3. (a) Uvažme zobrazení f : C  Mat2,2(R) definované předpisem f(a + bi) = ( a b
b a ). Rozhodněte
(a zdůvodněte), je-li f homomorfismus okruhu (C, +, ) do okruhu (Mat2,2(R), +, )
matic typu 2x2 nad R.
(b) Uvažme zobrazení g : Mat2,2(Q)  Q definované předpisem g (( a b
c d )) = ad - bc. Rozhodněte
(a zdůvodněte), je-li g homomorfismus okruhu (Mat2,2(Q), +, ) matic typu 2x2
nad Q do okruhu (Q, +, ).
4. Najděte všechny kořeny polynomu x4
+ 4x2
- x + 6  C[x] a určete jejich násobnost, víte-li,
že jedním z kořenů je -1+i

11
2
.
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) ,
kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n - 1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413
u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600
Matematika 4 B
26. června 2008 (UČO: )
Hodnocení:
Bonus Teorie 1. 2. 3. 4.
Potřebné minimum (včetně bonusu) je 15 bodů.
Na práci máte cca 100 minut.
Teorie: (6krát 1 bod: tj. správně 1 bod, chybně -1 bod, bez odpovědi 0)
Odpovězte (škrtnutím nehodícího se ano nebo ne na patřičném řádku), zda jsou pravdivá následující
tvrzení (čtěte velmi pozorně!), ani zde nemůžete celkově získat záporný počet bodů:
(a) ano -- ne Pro polynomy nad libovolným okruhem platí, že stupeň součinu dvou polynomů
je součtem stupňů těchto polynomů.
(b) ano -- ne Existuje nekonečně mnoho grup, které jsou po dvou neizomorfní a přitom má
každá právě 2 podgrupy.
(c) ano -- ne Neexistuje žádný surjektivní homomorfismus (Z30, +)  (Z6, +).
(d) ano -- ne Injektivní homomorfismus okruhů ma jednoprvkové jádro.
(e) ano -- ne Pravděpodobnost, že při hodu dvěma kostkami padl součet menší než 7, víme-li,
že součet byl lichý, je větší než 1/3.
(f) ano -- ne Funkce F(x) = x
x+1
pro x  0 a nulová pro x < 0 je distibuční funkce.
Příklady:
1. Volejbalový trenér tvrdí, že volejbalistky mají větší objem plic než průměr ženské populace
stejné věkové skupiny, který činí 3,4 litru. Během tréninkového kempu byla uskutečněna
měření s následujícími výsledky:
3, 4 3, 6 3, 8 3, 3 3, 4 3, 5 3, 7 3, 6 3, 7 3, 4 3, 6.
Se spolehlivostí 95% rozhodněte, zda je tvrzení trenéra opodstatněné (tj. testujte nulovou
hypotézu oproti jím zmiňované jednostranné alternativě). Sestrojte příslušný jednostranný
interval spolehlivosti a pro porovnání i 95% oboustranný interval spolehlivosti.
2. Náhodná veličina X má rovnoměrné rozdělení na intervalu 0, r . Určete distribuční funkci a
hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X.
3. Uvažte grupu (Z×
221, ) invertibilních zbytkových tříd modulo složené číslo 221. Určete
(a) řád grupy,
(b) inverzní prvek k [5]221,
(c) řád prvku [5]221 (Nápověda: určete řád 5 modulo prvočísla dělící 221 a odtud odvodťe
řád modulo 221).
4. Určete všechny kořeny polynomu 8x6
- 12x5
+ 10x4
- 9x3
+ 13x2
- 9x + 2  C[x], víte-li, že
má dvojnásobný kořen 1
2
a jednoduchý kořen -1
2
+

3
2
i.
Nápověda:
X1, . . . , Xn je náhodný výběr z normálního rozdělení se střední hodnotou  a rozptylem 2
:
M = 1
n
n
i=1 Xi výběrový průměr . . . . . . . . . . . . . . . E(M) = , D(M) = 2
/n, M  N(, 2
/n)
S2
= 1
n-1
n
i=1(Xi - M)2
výběrový rozptyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . E(S2
) = 2
U = (M - )/(/

n)  N(0, 1)
T = (M - )/(S/

n)  t(n - 1)
K = (n - 1)S2
/2
 2
(n - 1)
(Xi - )2
/2
 2
(n)
M1 - M2  N(1 - 2,
2
1
m
+
2
2
n
)
je-li 2
1 = 2
2 = 2
, pak K = (m + n - 2)S2
/2
 2
(m + n - 2) ,
kde S2
 = ((m - 1)S2
1 + (n - 1)S2
2)/(m + n - 2)
F =
S2
1 /S2
2
2
1/2
2
 F(m - 1, n - 1).
Intervaly spolehlivosti:
 (známe 2
) (M - 
n
u1-/2,M + 
n
u1-/2)
 (neznáme 2
) (M - S
n
t1-/2(n - 1),M + S
n
t1-/2(n - 1))
2
(neznáme ) (n-1)S2
2
1-/2
(n-1)
, (n-1)S2
2
/2
(n-1)
2
(známe )
P
(Xi-)2
2
1-/2
(n)
,
P
(Xi-)2
2
/2
(n)
1 - 2 (známe 2
1, 2
2) M1 - M2 
2
1
m
+
2
2
n
 u1-/2
1 - 2 (neznámé 2
1 = 2
2) M1 - M2  S
1
m
+ 1
n
 t1-/2(m + n - 2)
podíl rozptylů 2
1/2
2
S2
1 /S2
2
F1-/2(m-1,n-1)
,
S2
1 /S2
2
F/2(m-1,n-1)
Distribuční funkce normovaného normálního rozdělení:
(-u) = 1 - (u), (0, 05)  0, 52, (1, 65)  0, 95, (1, 96)  0, 975.
u 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
(u) 0,5398 0,5793 0,6179 0,6554 0,6915 0,7258 0,7580 0,7881 0,8159 0,8413
u 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0
(u) 0,8643 0,8849 0,9032 0,9192 0,9332 0,9452 0,9554 0,9641 0,9713 0,9773
Kvantily Pearsonova rozdělení 2
:
volnost 0,025 0,05 0,95 0,975
1 0,001 0,004 3,841 5,024
2 0,051 0,103 5,991 7,378
3 0,216 0,352 7,815 9,348
5 0,831 1,145 11,070 12,833
10 3,247 3,940 18,307 20,483
20 9,591 10,851 31,410 34,710
50 32,357 34,764 67,505 71,420
100 74,222 77,929 124,342 129,561
Kvantily Studentova t-rozdělení (t() = -t1-()):
volnost  0,95 0,975
1 6,3138 12,7062
2 2,9200 4,3027
3 2,3534 3,1824
4 2,1318 2,7764
5 2,0150 2,5706
10 1,8125 2,2281
20 1,7247 2,0860
30 1,6973 2,0423
 1,6449 1,9600