MB101 Matematika I - 8. demonstrované cvičení
Jan Herman
7. dubna 2009
□        3
►      -=     -f)<\(>
Q Vektorové prostory
•F) <\Q»
Definice                                                                                     ^			
Nechť IK je pole. Množinu V s pólu s	operacemi +	Vx	V -»■ V
a •: K x V —► V nazveme vektorový	m prostorem nad K		pokud
platí:			
i) (V, +) je komutativní grupa			
ii) Vr, s g IK, y v g 1/ : (r + s) • 1/ = r ■	v + s- v		
iii) Vr g K, y u, v g V : r-(u+v) = r	■ u+ r ■ v		
iv) Vr, s g K, y v g 1/ : r • (s • v) = (r •	s) ■ v		
V) Vi/ G V : 1 • V = V.			
jstory
Příklad 1			
Dokažte:			
a) a • tv = 0, |	Dravě když a	=	0 nebo u =
b)(-1)-í7 =	-u		
c) a- (u- v)	= a-u - a-	v	
6){a-b)u	= a- u - b	u	
e) (E"=i a/)	(££i vi) =	E	/=1 2_,y=1 al


D ^+i .*-

;e3,
uO.
jstory
Příklad 1                                                                                 ^				
Dokažte:				
a) a • tv = 0, |	Dravě když s	=	0 nebo u =	0
b)(-1)-í7 =	-u			
c) a- (u- v)	= a-u - a-	v		
ó){a-b)u	= a- u- £>	u		
e) (E"=i a/)	(££i «o-) =	E	/=1 2_,y=1 a/	vi
Příklad 2
Dokažte, že následující množiny tvoří vektorové prostory nad R:
a) množina všech polynomů nad R,
b) množina všech polynomů nad R stupně nejvýše 3,
c) množina všech spojitých funkcí R —► R,
d) množina všech funkcí R —► R, které mají v 0 honotu 0,
QQ.O
»závislost vektoru
Příklad 3                                                                                 ^	
Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů	
a) (1,5, 7), (0,4,	-1), (0,2, 1),
b) (1,0, 3), (0,2,	1), (1,2,-2),
c) (2, 2, 3), (4,-1,	3), (5,2,-1), (-1,6,-1).
ax2 + x + 2; -2x2 + ax + 3; x2 + 2x + a lir vektorovém prostoru Po polynomů stupně

□      a
"O Q-C^
»závislost vektoru
Příklad 3                                                                                 ^	
Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů	
a) (1,5, 7), (0,4,	-1), (0,2, 1),
b) (1,0, 3), (0,2,	1), (1,2,-2),
c) (2, 2, 3), (4,-1,	3), (5,2,-1), (-1,6,-1).
Příklad 4
Pro jaká čísla a e R jsou polynomy
ax2 + x + 2; -2x2 + ax + 3; x2 + 2x + a lineárně závislé ve
vektorovém prostoru P2 polynomů stupně nejvýše 2?
•F) <\Q»
Jprostory
Příklad 5
Stanovte lineární obal vektorů u\ = (-1; 3; -2; 1), u2 = (2;-1;-1;2),í73 = (-4; 7; -3; 0), UA = (1; 5;-5; 4) vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů u-,. Poté zjistěte, které z vektorů
U5 = (0;5;-5;4);í76 = (0; -3; 2; -1); u7 = (0;0;0;1) patří do tohoto lineárního obalu.
Dazi veKioroveno
Jprostory
Příklad 5
Stanovte lineární obal vektorů u\ = (-1; 3; -2; 1), u2 = (2;-1;-1;2),í73 = (-4; 7; -3; 0), UA = (1; 5;-5; 4) vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů u-,. Poté zjistěte, které z vektorů
U5 = (0;5;-5;4);í76 = (0; -3; 2; -1); u7 = (0;0;0;1) patří do tohoto lineárního obalu.
Příklad 6
Ukažte, že polynomy 1, x, x2,..., xn tvoří bázi vektorového prostoru P„ polynomů stupně nejvýše n.
•F) <\Q»
Jprostory
Příklad 7
Nechť U, V jsou podprostory R4 s bázemi
u: = (1,2, -1,0), u2 = (2, -1,0,1), resp.
v-\ = (1,1,0,1), i/2 = (1,-1,-1,-1). Určete bázi a dimenzi
podprostorů UnV a U + V.
		
každé n g N vyhovují re oimsnzs c..	kurenci an+2 =	ran+i + san tvoří iálných posloupností
□       S1
►      -š     -f)<\0
Jprostory
Příklad 7
Nechť U, V jsou podprostory R4 s bázemi
u: = (1,2, -1,0), u2 = (2, -1,0,1), resp.
v-\ = (1,1,0,1), i/2 = (1,-1,-1,-1). Určete bázi a dimenzi
podprostorů UnV a U + V.
Příklad 8 ('
Dokažte, že množina posloupností reálných čísel, které pro každé n g N vyhovují rekurenci an+2 = ran+1 + san tvoří vektorový podprostor prostoru všech reálných posloupností dimenze 2.
•F) <\Q»