Demonstrativní cvičení MB101 (Pozměněný text doc. Hilschera) Obsah 1. Demonstrativní cvičení 17. 9. 2008 1 2. Demonstrativní cvičení 24. 9. 2008 14 3. Demonstrativní cvičení 1. 10. 2008 24 4. Demonstrativní cvičení 8. 10. 2008 33 5. Demonstrativní cvičení 15. 10. 2008 44 6. Demonstrativní cvičení 22. 10. 2008 52 7. Demonstrativní cvičení 29. 10. 2008 66 8. Demonstrativní cvičení 5. 11. 2008 75 9. Demonstrativní cvičení 12. 11. 2008 84 10. Demonstrativní cvičení ­ doplňující příklady 19. 11. 2008 94 11. Demonstrativní cvičení 26. 11. 2008 101 12. Demonstrativní cvičení 3. 12. 2008 109 13. Demonstrativní cvičení ­ iterované procesy 10. 12. 2008 118 14. Demonstrativní cvičení 17. 12. 2008 123 i 1 1. Demonstrativní cvičení 17. 9. 2008 Příklad 1. Kolik různých náhrdelníků lze získat navléknutím (právě) 7 navzájem odlišitelných korálků na úzký řemínek? (Konce řemínku svážeme tak, aby bylo možné přes vzniklý uzel korálky přesouvat.) [Výsledek je 360] 2 Příklad 2. K vytrvalostnímu závodu, v němž běžci vybíhají jeden po druhém s danými časovými odstupy, se přihlásilo n závodníků; mezi nimi také tři kamarádi. Stanovte počet startovních listin, v rámci kterých žádní dva z trojice kamarádů nestartují těsně po sobě. (Uvažujeme n 5.) Řešení. Ostatních n - 3 závodníků můžeme seřadit (n - 3)! způsoby. Pro uvažované tři kamarády pak máme n-2 míst (začátek, konec a n-4 mezer), na které je můžeme rozmístit (n - 2)3 způsoby. Podle kombinatorického pravidla součinu je tak výsledek (n - 3)!(n - 2)(n - 3)(n - 4) = (n - 2)!(n - 3)(n - 4). 3 Příklad 3. Kolika způsoby lze umístit k různých vlajek na n stožárů v řadě? (Zřejmě jsou tedy také stožáry rozlišitelné. Na jednom stožáru může být více vlajek, přičemž různá pořadí vlajek na jednom stožáru představují různé možnosti.) [n (n + 1) (n + k - 1)] 4 Příklad 4. Padá při házení dvěma kostkami častěji součet 6, nebo 7? [Pravděpodobnější je, že padne součet 7] 5 Příklad 5. Umisťujeme n rozlišitelných koulí do n rozlišitelných přihrádek. Určete pravděpodobnost, že každá přihrádka bude obsahovat právě jednu kouli. [n!/nn ] 6 Příklad 6. Stanovte pravděpodobnost, že mezi náhodně vybranými k (k 365) osobami, z nichž žádná nemá narozeniny 29. února, se nacházejí alespoň dva lidé, kteří mají narozeniny ve stejný den. Proveďte diskusi vzhledem k hodnotě počtu osob k. 1 - v(365,k) V (365,k) = 1 - (365)k 365k Diskuse vzhledem ke k. Jestliže A bude označovat jev ,,všechny jejich narozeniny jsou v různých dnech", můžeme např. uvést: k P(A) P(Ac ) 20 0.589 0.411 22 0.524 0.476 23 0.493 0.507 24 0.462 0.538 30 0.294 0.706 7 Příklad 7. Při pokeru se rozdává 5 karet z celkového počtu 52 (4 barvy, 13 hodnot). Vyčíslete pravděpodobnost, že při rozdávání dostanete 5 karet různých hodnot. (Uvažte, že nezáleží na pořadí karet.) [0, 5070828331 . . .] 8 Příklad 8. Umisťujeme k rozlišitelných koulí do n rozlišitelných přihrádek. Jaká je pravděpodobnost, že určitá (pevně zvolená) přihrádka bude obsahovat právě i {0, 1, . . ., k} koulí? k i (n - 1)k-i /nk 9 Příklad 9. Házíme 12 kostkami. S jakou pravděpodobností padne každé číslo právě dvakrát? 12! 26612 10 Příklad 10. Nechť mají žárovky 80% spolehlivost (ať už to znamená cokoliv). Určete spolehlivost systému dvou žárovek zapojených (a) sériově; (b) paralelně. [Spolehlivost je (a) 64%; (b) 96%] Určete spolehlivost systému tří paralelně zapojených žárovek. [Spolehlivost činí 99, 2 %] 11 Příklad 11. V místnosti je n mužů a n žen. Z této skupiny postupně (zcela náhodně) vybereme vždy dvě osoby, které společně místnost opustí, což opakujeme, dokud všichni neodejdou. Spočítejte pravděpodobnost, že všechny vybrané dvojice budou tvořeny mužem a ženou. (n!)22n (2n)! 12 Příklad 12. Dva hráči střídavě házejí mincí. Vyhrává ten, komu padne dřív líc. Nalezněte pravděpodobnost výhry hráče, který začíná. [2/3] 13 Příklad 13. Otec chce podpořit synovu zálibu hrát tenis, a proto mu přislíbí hodnotný dar v případě, že syn zvítězí alespoň ve dvou po sobě jdoucích tenisových utkáních (to je v jeho silách, ale nemusí se mu to podařit). Navíc si může vybrat z jedné ze dvou možností: Může hrát postupně (a) s panem Novákem, s otcem, s panem Novákem; nebo (b) s otcem, s panem Novákem, s otcem. Kterou strategii si chytrý syn zvolí, když ví, že pan Novák hraje tenis mnohem lépe než otec? Řešení. Nechť A označuje jev, že syn zvolí variantu (a) a vyhraje dvakrát po sobě, a nechť B označuje jev, že vyhraje dvakrát po sobě při zvolení varianty (b). Označme jako po a pN po řadě pravděpodobnosti výhry syna nad otcem a nad panem Novákem. Víme, že pN < po. Výčtem 8 možných výsledků v rámci každé série lze (za předpokladu nezávislosti výsledků jednotlivých utkání) obdržet P(A) = pN popN + pN po(1 - pN ) + (1 - pN )popN = 2popN - pop2 N a analogicky P(B) = popN po + popN (1 - po) + (1 - po)pN po = 2popN - p2 opN . Neboť P(A) - P(B) = 2popN - pop2 N - 2popN + p2 opN = popN (po - pN ) > 0, vybere si chytrý syn pořadí (a). 14 2. Demonstrativní cvičení 24. 9. 2008 Příklad 14. V klobouku máme 5 bílých a 5 černých kuliček. Namátkou postupně vytáhneme tři kuličky. Stanovte pravděpodobnost, že jedna je bílá a dvě černé, když (a) každou kuličku vrátíme po vytažení zase do klobouku; (b) vytažené kuličky nevracíme. [(a) 3/8; (b) 5/12] 15 Příklad 15. Populace 1000 lidí, složená ze 400 žen a 600 mužů, obsahuje 50 barvoslepých osob, a to 40 žen a 10 mužů. Nechť A označuje jev ,,náhodně vybraná osoba je barvoslepá", H označuje jev ,,náhodně vybraná osoba je žena". Doplňte (vyčíslete) P(A H) = . . . a P(A/H) = . . . [P(A H) = 0, 04; P(A/H) = 0, 1] 16 Příklad 16. Uvažujme rodiny se dvěma dětmi a předpokládejme, že všechny možnosti v množině = {kk, kh, hk, hh}, kde k značí ,,kluk" a h znamená ,,holka" při zohlednění stáří dětí, jsou stejně pravděpodobné. Zaveďme náhodné jevy H - ,,rodina má kluka", A - ,,rodina má 2 kluky". Vypočtěte P(A/H). [1/3] 17 Příklad 17. V osudí je 9 červených a 7 bílých koulí. Postupně vytáhneme 3 koule (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že první dvě budou červené a třetí bílá. [0, 15] 18 Příklad 18. V každém pytli s 1000 zlaťáky z mincovny v Kutné Hoře jsou 2 falešné a z mincovny v Praze 3 falešné. V pokladně je 50 pytlů z Kutné Hory a 10 z Prahy. Náhodně vybereme pytel a z něho zlaťák. Jaká je pravděpodobnost, že zlaťák je z Kutné Hory, jestliže je pravý? [4990/5987] 19 Příklad 19. V žaláři je vězeň odsouzený k trestu smrti. Výstřední žalářník mu však dá šanci. Přinese mu 12 černých a 12 bílých kuliček a dvě urny, do kterých musí těchto 24 kuliček nějak rozdělit. Sdělí mu, že zítra přijde kat, náhodně si vybere jednu urnu a z ní náhodně vybere jednu kuličku (žádná urna nesmí být prázdná). Bude-li vytažená kulička bílá, dostane vězeň milost. V opačném případě bude ortel neprodleně vykonán. Jak má vězeň rozdělit kuličky do uren, aby maximalizoval pravděpodobnost svého osvobození? [Do jedné z uren vloží pouze 1 bílou kuličku] 20 Příklad 20. Podobně jako v Příkladu 16 uvažujme rodiny se 3 dětmi. Nyní je tedy = {kkk, kkh, khk, hkk, khh, hkh, hhk, hhh}. Jestliže H - ,,rodina má kluka i holku", A - ,,rodina má nejvýše jednu holku", rozhodněte o (ne)závislosti náhodných jevů A a H. [Jevy jsou nezávislé] Poznámka. Pro rodiny se 2 nebo 4 dětmi je P(A H) = P(A) P(H). 21 Příklad 21. Kolik nezávislých pokusů s pravděpodobností úspěchu p = 0, 01 (a neúspěchu q = 0, 99) musíme uskutečnit, aby pravděpodobnost, že alespoň jeden pokus skončí úspěchem, převýšila 50 %? [Alespoň 69] 22 Příklad 22. Buffonova úloha o jehle. Na rovinu rozdělenou linkami (rovnoběžkami) o konstantní vzdálenosti d hodíme ,,jehlu" délky l < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou linku? [2l/d] Poznámka. Tento výpočet lze testovat empiricky za pomoci aproximace P(A) m(A) N , kde m(A) udává počet příznivých pokusů (jehla protne některou linku), N udává celkový počet pokusů. Pro N >> 1 je m(A) N 2l d , tedy 2lN dm(A) . (Např. Volf v roce 1850 obdržel 3, 1596 při N = 5068; Smith 3, 1553 při N = 3204; Fuchs 3, 1419 při N = 1120; Lazanne 3, 1415829 při N = 3408.) 23 Příklad 23. Tyč dlouhá 3 metry se náhodně rozlomí na tři části. Určete pravděpodobnost, že z takto vzniklých tří kusů lze sestrojit trojúhelník. (Součet délek dvou libovolných částí musí být větší než délka zbývající části.) [1/4] 24 3. Demonstrativní cvičení 1. 10. 2008 Příklad 24. Za pomoci určení determinantu dvojrozměrné matice spočtěte obsah čtyřúhelníku vymezeného jeho vrcholy [0, -2], [1, -1], [-1, 1] a [1, 5]. [8] 25 Příklad 25. Najděte konvexní obal bodů [0, 0], [-2, -2], [1, 3], [3, 3], [0, 2], [1, 4] a [2, 1]. Poté nalezněte strany obdrženého mnohoúhelníku, které jsou viditelné z pozice bodu [3, - 2]. [Vidět jsou dvě strany výsledného čtyřúhelníku určené vrcholy [-2, -2], [2, 1] a [2, 1], [3, 3]] 26 Příklad 26. Dokažte, že maximální počet částí, na které n 2 přímek dělí rovinu, je n 0 + n 1 + n 2 . [Důkaz lze provést indukcí] 27 Příklad 27. Stanovte počet všech podmnožin množiny A = {1, 2, . . ., n}. [2n ] Stanovte počet všech relací na A. 2n2 28 Příklad 28. Kolik existuje injektivních zobrazení množiny X = {1, 2, 3} do množiny Y = {a, b, c, d}? [24] Kolik existuje surjektivních zobrazení množiny Y na množinu X? [36] 29 Příklad 29. Určete počet Bn relací ekvivalence na množině {1, . . . , n} pro n = 1, 2, 3, 4. [1, 2, 5, 15] Poznámka. Všimněte si, že číslo Bn (tzv. Bellovo číslo) udává právě počet možností, jak lze umístit n rozlišitelných koulí do n nerozlišitelných přihrádek. Doplňme, že Bellova čísla lze vypočítat užitím rekurentní formule Bn+1 = n k=0 n k Bk, B0 = 1. () Ze vzorce () ,,bezprostředně" dostáváme B0 = 1, B5 = 52, B6 = 203, B7 = 877, B8 = 4140, . . . 30 Příklad 30. Nechť je na množině {a, b, c, d} dána relace R. Rozhodněte, zda je R relací uspořádání (příp. zda se jedná o úplné uspořádání) nebo relací ekvivalence, je-li (a) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [b, a], [b, c], [b, d]}; (b) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [d, a], [a, d]}; (c) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d]}; (d) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [b, a], [a, b], [b, c], [c, b]}; (e) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [b, a], [a, b], [b, c], [c, b], [a, c], [c, a]}; (f) R = {[a, a], [b, b], [c, c], [d, d], [a, b], [a, c], [a, d], [b, c], [b, d], [c, d]}. [(a) uspořádání; (b) ekvivalence; (c) uspořádání i ekvivalence; (d) není tranzitivní; (e) není reflexivní; (f) úplné uspořádání] 31 Příklad 31. Nakreslete hasseovský diagram uspořádané množiny 2A , (graf uspořádání na systému P(A) všech podmnožin dané množiny A) pro A = {} = , A = {1}, A = {1, 2}, A = {1, 2, 3}, . . . [Diagram vytváří n-dimenzionální krychli pro n-prvkovou množinu A] 32 Příklad 32. Nechť je libovolně dáno prvočíslo p. Sestrojte nenulový mnohočlen (polynom) s koeficienty v Zp, tj. výraz akxk + ak-1xk-1 + + a1x + a0, kde ai Zp (i {0, . . . , k}), ak = 0, který na množině Zp nabývá pouze nulových hodnot. [xp - x] 33 4. Demonstrativní cvičení 8. 10. 2008 Příklad 33. Vypočtěte x1 + 2x2 + 3x3 = 2, 2x1 - 3x2 - x3 = -3, -3x1 + x2 + 2x3 = -3. [x1 = 1, x2 = 2, x3 = -1] 34 Příklad 34. Pomocí Gaussovy (případně ,,Gauss-Jordanovy") eliminační metody vyřešte systém lineárních rovnic 2x1 + x2 - x3 - x4 = -3, x1 - x2 + x3 - x4 = -2, 3x1 + 3x3 - 5x4 = -8, -2x1 - x2 + 4x3 - 2x4 = 0. [x1 = -5/3 + 2t/3, x2 = -2/3 + 2t/3, x3 = -1 + t, x4 = t, t R] Poznámka. Množinu řešení budeme zapisovat ve tvaru 2t - 5 3 , 2t - 2 3 , 3t - 1, 3t , t R . 35 Příklad 35. Užitím Gaussovy (,,Gauss-Jordanovy") metody určete řešení soustavy 2x1 + x2 - x3 - x4 = -3, x1 - x2 + x3 - x4 = -2, 3x1 + 3x3 - 5x4 = 8, -2x1 - x2 + 4x3 - 2x4 = 0. [Soustava uvedených rovnic nemá řešení] 36 Příklad 36. Uveďte (všechna) řešení homogenního systému x + y = 2z + v, z + 4u + v = 0, -3u = 0, z = -v 4 lineárních rovnic 5 (reálných) proměnných x, y, z, u, v. [(x, y, z, u, v) = (-t - s, t, -s, 0, s) , t, s R] 37 Příklad 37. Pro jaké hodnoty parametrů a, b R má lineární systém x1 - ax2 - 2x3 = b, x1 + (1 - a)x2 = b - 3, x1 + (1 - a)x2 + ax3 = 2b - 1 (a) právě 1 řešení; (b) žádné řešení; (c) alespoň 2 řešení? [(a) a = 0; (b) a = 0, b = -2; (c) a = 0, b = -2] Poznámka. Doplňme, že pro a = 0, b = -2 dostáváme množinu řešení {(-2 + 2t, -3 - 2t, t) , t R} a pro a = 0 lze dostat -3a2 - ab - 4a + 2b + 4 a , - 2b + 3a + 4 a , b + 2 a . 38 Příklad 38. Zjistěte počet řešení soustav (a) 12x1 + 5x2 + 11x3 = -9, x1 - 5x3 = -9, x1 + 2x3 = -7; (b) 4x1 + 2x2 - 12x3 = 0, 2x2 - x3 = 0, -2x1 - x2 + 6x3 = 4; (c) 4x1 + 2x2 - 12x3 = 0, 2x2 - x3 = 1, -2x1 - x2 + 6x3 = 0. [Správná odpověď je (a) 1; (b) 0; (c) nekonečně mnoho] 39 Příklad 39. Nalezněte (libovolný) lineární homogenní systém, kterému vyhovuje uspořádaná čtve- řice (x1, x2, x3, x4) = (2, 2, 3, 4). [Např. x1 = x2] Najděte (libovolný) lineární systém, jehož množina řešení je {(t + 1, 2t, 3t, 4t), t R}. [Např. 2x1 = x2 + 2, 2x2 = x4, 4x3 = 3x4] 40 Příklad 40. Vyřešte maticovou rovnici 1 3 3 8 X = 1 2 3 4 . X = 1 -4 0 2 Vyřešte maticovou rovnici X 1 3 3 8 = 1 2 3 4 . X = -2 1 -12 5 41 Příklad 41. Určete všechny mocniny matice A() = cos - sin sin cos , tj. vypočtěte An () := (A())n pro n N. [An () = A(n), n N (n Z)] 42 Příklad 42. Napište matice tří lineárních zobrazení ­ rotací o úhel v kladném smyslu kolem jednotlivých os x, y a z v R3 . Řešení. Při rotaci libovolného bodu kolem dané osy se příslušná (odpovídající té ose) souřadnice daného bodu nemění. V rovině vymezené dvěma zbylými osami je pak již rotace dána maticí z Příkladu 42. Rotace kolem osy z je proto určena maticí cos - sin 0 sin cos 0 0 0 1 , rotace kolem osy x maticí 1 0 0 0 cos - sin 0 sin cos a rotace kolem osy y potom maticí cos 0 sin 0 1 0 - sin 0 cos . U matice rotace kolem osy y musíme dávat pozor na znaménka. Rotace kolem uvažované osy je v kladném smyslu: otáčení probíhá proti směru pohybu hodinových ručiček při pohledu proti směru kladné poloosy. 43 Příklad 43. Stanovte matici rotace v kladném smyslu o úhel /3 kolem přímky procházející počátkem s orientovaným směrovým vektorem (1, 1, 0). Řešení. Uvedené otočení lze získat složením po řadě těchto 3 zobrazení: * rotace o 4 v záporném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu x); * rotace o 3 v kladném smyslu podle osy x; * rotace o 4 v kladném smyslu podle osy z (osa x přejde na osu rotace). Matice výsledné rotace bude součinem matic odpovídajících uvedeným třem zobrazením, přičemž pořadí matic je dáno pořadím provádění jednotlivých zobrazení ­ prvnímu zobrazení odpovídá v součinu matice nejvíce napravo. Takto obdržíme hledanou matici 3 4 1 4 6 4 1 4 3 4 - 6 4 - 6 4 6 4 1 2 = 2 2 - 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 1 0 0 0 1 2 - 3 2 0 3 2 1 2 2 2 2 2 0 - 2 2 2 2 0 0 0 1 . Uvědomme si, že výslednou rotaci bylo možné získat např. také složením následujících 3 zobrazení: * rotace o 4 v kladném smyslu podle osy z (osa rotace přejde na osu y); * rotace o 3 v kladném smyslu podle osy y; * rotace o 4 v záporném smyslu podle osy z (osa y přejde na osu rotace). Analogicky tak dostáváme 3 4 1 4 6 4 1 4 3 4 - 6 4 - 6 4 6 4 1 2 = 2 2 2 2 0 - 2 2 2 2 0 0 0 1 1 2 0 3 2 0 1 0 - 3 2 0 1 2 2 2 - 2 2 0 2 2 2 2 0 0 0 1 . 44 5. Demonstrativní cvičení 15. 10. 2008 Příklad 44. Firma zabývající se velkoplošnými nátěry si objednala 810 litrů barvy, která má obsahovat stejné množství červené, zelené a modré barvy (tj. 810 litrů černé barvy). Obchod může splnit tuto zakázku smícháním běžně prodávaných barev (má skladem jejich dostatečné zásoby), a to * načervenalé barvy ­ obsahuje 50 % červené, 25 % zelené a 25 % modré barvy; * nazelenalé barvy ­ obsahuje 12,5 % červené, 75 % zelené a 12,5 % modré barvy; * namodralé barvy ­ obsahuje 20 % červené, 20 % zelené a 60 % modré barvy. Kolik litrů od každé z uskladněných barev se musí smíchat, aby byly splněny požadavky zákazníka? [Je potřeba smísit po řadě 400 l, 160 l, 250 l uvedených barev] 45 Příklad 45. Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů (a) (1, 5, 7), (0, 4, -1), (0, 2, 1); (b) (1, 0, 3), (0, 2, 1), (1, 2, -2); (c) (2, 2, 3), (4, -1, 3), (5, 2, -1), (-1, 6, -1). [Vektory jsou (a) lineárně nezávislé; (b) lineárně nezávislé; (c) lineárně závislé] 46 Příklad 46. Stanovte lineární obal vektorů u1 = (-1, 3, -2, 1), u2 = (2, -1, -1, 2), u3 = (-4, 7, -3, 0), u4 = (1, 5, -5, 4) vybráním nějaké maximální množiny lineárně nezávislých vektorů ui. Poté zjistěte, zda některý z ve- ktorů u5 = (0, 5, -5, 4), u6 = (0, -3, 2, -1), u7 = (0, 0, 0, 1) (ne)patří do tohoto lineárního obalu. [Span u1, u2, u3, u4 = Span u1, u2, u4 , u5 = 2u1 + u2, u6 = u1 + u2 - u4, u7 / Span u1, u2, u4 ] 47 Příklad 47. Vyčíslete u(aA(B - C)T )(4I8 + D)uT (kde jsme vynechávali symbol ), jestliže u = 1 1 , a = 5 23, A = 0 5 -2 2 , B = 0 0 -1 1 , C = 1 1 -1 1 , I = 1 0 0 1 , D = -3 0 0 1 . (-5 5 23) 48 Příklad 48. Pomocí elementárních řádkových úprav převeďte matici A = 3 -1 3 2 5 -3 2 3 1 -3 -5 0 7 -5 1 4 na nějakou matici C ve schodovitém tvaru a nalezněte takovou matici B, aby platilo BA = C. Řešení. Budeme-li postupně matici A násobit zleva elementárními maticemi E1 = 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 , E2 = 1 0 0 0 -5 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , E3 = 1 0 0 0 0 1 0 0 -3 0 1 0 0 0 0 1 , E4 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 -7 0 0 1 , E5 = 1 0 0 0 0 1/3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , E6 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 -2 1 0 0 0 0 1 , E7 = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 -4 0 1 , E8 = 1 0 0 0 0 1/4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 , obdržíme C = 1 -3 -5 0 0 1 9/4 1/4 0 0 0 0 0 0 0 0 , B = E8E7E6E5E4E3E2E1 = 0 0 1 0 0 1/12 -5/12 0 1 -2/3 1/3 0 0 -4/3 -1/3 1 . 49 Příklad 49. Určete inverzní matici k matici A = 4 3 2 5 6 3 3 5 2 . A-1 = 3 -4 3 1 -2 2 -7 11 -9 Nechť je současně dána matice B = 1 0 1 3 3 4 2 2 3 . Víte-li, že (viz skriptum doc. Hilschera) B-1 = 1 2 -3 -1 1 -1 0 -2 3 , určete AT B -1 . AT B -1 = -14 -9 42 -10 -5 27 17 10 -49 50 Příklad 50. Napište inverzní matici k n × n matici (n > 1) A = 2 - n 1 1 1 1 2 - n ... ... 1 ... ... ... ... ... 1 ... ... 2 - n 1 1 1 1 2 - n . Napovězme, že A-1 = b c c c c b c c c c b ... ... ... ... ... ... c c c c b pro jistá čísla b, c R. [b = 0, c = 1/(n - 1)] 51 Příklad 51. Dvoudenního autobusového zájezdu se zúčastnilo 45 lidí. První den se platilo vstupné na rozhlednu 30 Kč za dospělého, 16 Kč za dítě a 24 Kč za důchodce, celkem 1116 Kč. Druhý den se platilo vstupné do botanické zahrady 40 Kč za dospělého, 24 Kč za dítě a 34 Kč za důchodce, celkem 1542 Kč. Kolik bylo mezi výletníky dospělých, dětí a důchodců? Napovězme, že 1 1 1 30 16 24 40 24 34 -1 = 1 6 16 5 -4 30 3 -3 -40 -8 7 . [Zájezdu se zúčastnilo 22 dospělých, 12 dětí, 11 důchodců] 52 6. Demonstrativní cvičení 22. 10. 2008 Příklad 52. Užitím Sarrusova pravidla určete determinanty matic A = 2 1 -1 3 -3 1 -1 4 2 , B = 3 -1 4 -1 3 -2 2 4 1 . [| A | = -36, | B | = -4] Spočtěte determinant matice A B-2 T B. [9] Poznámka. Doplňme, že A B-2 T B = 1 8 -181 -747 115 -257 -1071 167 174 690 -98 . 53 Příklad 53. Alespoň dvěma různými způsoby stanovte 1 -3 0 1 1 -2 2 -4 -1 1 0 -1 2 1 -1 2 . [-10] 54 Příklad 54. Uveďte, zda existuje inverzní matice k matici A = 4 5 1 -3 0 1 1 -2 2 -4 -1 1 0 -1 2 1 -1 2 , tj. řekněte, zda je matice A (řádkově) ekvivalentní se čtyřrozměrnou jednotkovou maticí I, tedy odpovězte, zda existují elementární matice E1, E2, . . . , Em-1, Em (m N) takové, že Em Em-1 E2 E1 A = I. [Matice A-1 existuje] 55 Příklad 55. Výpočtem determinantu vhodné matice zjistěte, jestli jsou vektory 1 -2 2 -4 , 2 1 -1 2 , 1 -3 0 1 , 1 -1 0 1 lineárně nezávislé. [Jsou lineárně nezávislé] 56 Příklad 56. Určete hodnost matice A = -4 4 0 -4 1 -2 2 -4 1 -3 0 1 2 1 -1 2 . [h(A) = 4] 57 Příklad 57. Kolik má soustava lineárních rovnic x1 + x2 + x3 - 2x4 = 4, -3x1 - 2x2 - x3 - x4 = 5, + 2x2 + x4 = 1, x1 - 4x2 + x3 - 2x4 = 3 řešení? [Právě 1] 58 Příklad 58. Napište (všechna) řešení homogenního systému x1 + x2 + x3 - 2x4 = 0, -3x1 - 2x2 - x3 - x4 = 0, + 2x2 + x4 = 0, x1 - 4x2 + x3 - 2x4 = 0. [x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0] 59 Příklad 59. Je podle Frobeniovy věty systém x1 - 3x2 = 1, x1 - 2x2 + 2x3 = -4, -x1 + x2 = -1, 2x1 + x2 - x3 = 2 konzistentní? [Je nekonzistentní ­ nemá žádné řešení] 60 Příklad 60. Vyčíslete (a) 2 1 6 6 5 1 2 0 3 2 0 0 -2 5 7 0 0 0 4 4 0 0 0 2 1 ; (b) 5 3 6 0 2 1 4 3 2 9 9 2 0 0 0 3 6 0 0 0 4 1 0 0 0 . [Daný determinant je roven (a) 24; (b) 0] 61 Příklad 61. Spočtěte determinanty d2 = 1 2 3 4 , d3 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , d4 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 , . . . [d2 = -2, dn = 0 pro n 3, n N] 62 Příklad 62. Je-li n 2, stanovte -1 1 0 0 . . . 0 0 0 -2 2 0 . . . 0 0 0 0 -3 3 . . . 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 n - 2 0 0 0 0 0 . . . -(n - 1) n - 1 1 1 1 1 . . . 1 1 . (-1)n-1 n! 63 Příklad 63. Vandermondův determinant. Pro n 2 (n N) vypočítejte Vn(x1, x2, . . . , xn) = 1 x1 x2 1 . . . xn-1 1 1 x2 x2 2 . . . xn-1 2 ... ... ... ... ... 1 xn x2 n . . . xn-1 n , xi R, i {1, . . . , n}. Řešení. Odečtením prvního řádku od všech ostatních řádků a následným rozvojem podle prvního sloupce obdržíme Vn(x1, x2, . . . , xn) = 1 x1 x2 1 . . . xn-1 1 0 x2 - x1 x2 2 - x2 1 . . . xn-1 2 - xn-1 1 ... ... ... ... ... 0 xn - x1 x2 n - x2 1 . . . xn-1 n - xn-1 1 = x2 - x1 x2 2 - x2 1 . . . xn-1 2 - xn-1 1 ... ... ... ... xn - x1 x2 n - x2 1 . . . xn-1 n - xn-1 1 . Vytkneme-li z i-tého řádku xi+1 - x1 pro i {1, 2, . . . , n - 1}, dostaneme Vn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) (xn - x1) 1 x2 + x1 . . . n-2 j=0 xn-j-2 2 xj 1 ... ... ... ... 1 xn + x1 . . . n-2 j=0 xn-j-2 n xj 1 . Odečtením od každého sloupce (počínaje posledním a konče druhým) x1-násobku předcházejícího lze docílit úpravy 1 x2 + x1 . . . n-2 j=0 xn-j-2 2 xj 1 ... ... ... ... 1 xn + x1 . . . n-2 j=0 xn-j-2 n xj 1 = 1 x2 . . . xn-2 2 ... ... ... ... 1 xn . . . xn-2 n . Proto Vn(x1, x2, . . . , xn) = (x2 - x1) (xn - x1) Vn-1(x2, . . . , xn). Neboť je zřejmě V2(xn-1, xn) = xn - xn-1, platí (uvažme matematickou indukci) Vn(x1, x2, . . . , xn) = i,j=1,...,n i>j (xi - xj). Poznámka. Všimněme si, že tento determinant je různý od nuly, právě když jsou čísla x1, . . . , xn navzájem různá. 64 Příklad 64. Nalezněte matici adjungovanou a matici inverzní k matici A = 1 0 2 0 0 3 0 4 5 0 6 0 0 7 0 8 . A = -24 0 8 0 0 -32 0 16 20 0 -4 0 0 28 0 -12 , A-1 = -3 2 0 1 2 0 0 -2 0 1 5 4 0 -1 4 0 0 7 4 0 -3 4 65 Příklad 65. Pomocí Cramerova pravidla vyřešte x1 + 2x3 = 0, 3x2 + 4x4 = 0, 5x1 + 6x3 = 4, 7x2 + 8x4 = 0. [x1 = 2, x2 = 0, x3 = -1, x4 = 0] 66 7. Demonstrativní cvičení 29. 10. 2008 Příklad 66. Nejprve připomeňme, že množina V s význačným prvkem 0 a se dvěma binárními operacemi, a to sčítáním + : V × V V a násobením reálným číslem : R × V V , tj. (U1) u + v V pro všechny prvky u, v V ; (U2) a u V pro u V , a R, se nazývá vektorový prostor (nad R), jestliže pro všechna u, v, w V a a, b R platí (A1) u + v = v + u (komutativnost operace +); (A2) (u + v) + w = u + (v + w) (asociativita operace +); (A3) 0 + u = u (existence nulového vektoru 0 V ); (A4) u + (-u) = 0 pro nějaké -u V (existence opačného vektoru); (A5) a (u + v) = a u + a v (1. distributivní zákon); (A6) (a + b) u = a u + b u (2. distributivní zákon); (A7) (a b) u = a (b u) (asociativita operace ); (A8) 1 u = u (normovanost operace ). Dokažte, že je množina V = R+ všech kladných reálných čísel se sčítáním definovaným jako x y := xy pro x, y R+ a násobením skalárem zavedeným vztahem a x := xa pro x R+ a a R vektorovým prostorem, tj. že jsou při výše uvedených položeních splněny podmínky U1, U2 a axiomy A1­A8. [Uspořádaná trojice (R+ , , ) je vektorovým prostorem s nulovým vektorem 1 R+ ] 67 Příklad 67. Je množina R × R s operacemi [x1, x2] [y1, y2] := [x1 + y1, x2 + y2], [x1, x2], [y1, y2] R × R; a [x1, x2] := [ax1, 0], a R, [x1, x2] R × R vektorovým prostorem? [Není: uvažme axiom A8] 68 Příklad 68. Je-li dáno reálné číslo x0 a označuje-li Fc množinu reálných funkcí f : R R takových, že f(x0) = c, nalezněte všechna c R, pro která je Fc s ,,obvyklými" operacemi sčítáním funkcí +, tj. pro f, g Fc klademe (f + g)(x) := f(x) + g(x), x R; násobením funkce reálným číslem , tj. (a f)(x) := a f(x), x R pro f Fc, a R, vektorovým prostorem. [Jedná se o vektorový prostor, právě když c = 0] 69 Příklad 69. Nechť C Mat2×2 je množina reálných matic tvaru a -b b a . Zjistěte, jestli je C podprostorem vektorového prostoru Mat2×2, příp. stanovte dimenzi a bázi C. Splnění podmínek U1, U2 již dává dim C = 2, C = Span 1 0 0 1 , 0 -1 1 0 Poznámka. Vektorový prostor C lze brát jako model pro množinu komplexních čísel C, tedy čísel tvaru a + bi, kde a, b R a i2 = -1. 70 Příklad 70. Rozhodněte o lineární (ne)závislosti vektorů (a) A = 1 0 1 0 0 1 , B = 0 0 1 0 1 0 , C = 0 0 -5 8 -3 1 , D = 0 0 7 2 -3 4 ; (b) A = 1 2 3 4 5 6 , B = 0 1 2 3 4 5 , C = -1 0 1 2 3 4 , D = -2 -1 0 1 2 3 ve vektorovém prostoru Mat3×2. [Vektory jsou (a) lineárně nezávislé; (b) lineárně závislé] 71 Příklad 71. Pro jaká čísla a R jsou polynomy ax2 + x + 2, -2x2 + ax + 3, x2 + 2x + a lineárně závislé ve vektorovém prostoru P2 polynomů stupně nejvýše 2? a -1, 1 21 2 72 Příklad 72. Ukažte, že polynomy 1, x, x2 , . . . , xn tvoří bázi vektorového prostoru Pn polynomů stupně nejvýše n. [Zřejmě postačuje dokázat lineární nezávislost, která vyplývá mj. z řešení Příkladu 63] Poznámka. Skutečnost, že polynomy 1, x, x2 , . . . , xn jsou lineárně nezávislé, implikuje známou jednoznačnost určení koeficientů, tj. z rovnosti dvou polynomů a0 + a1 x + a2 x2 + + an xn = b0 + b1 x + b2 x2 + + bn xn v Pn (tj. pro x R) plyne rovnost jejich koeficientů a0 = b0, a1 = b1, a2 = b2, . . . , an = bn. Typickou aplikací tohoto je tzv. rozklad na parciální zlomky, který ilustrujeme Příkladem 100. 73 Příklad 73. Ve vektorovém prostoru Mat4×1 = R4 jsou dány třídimenzionální (trojrozměrné) pod- prostory U = Span u1, u2, u3 , V = Span v1, v2, v3 , přičemž u1 = 1 1 1 0 , u2 = 1 1 0 1 , u3 = 1 0 1 1 , v1 = 1 1 -1 -1 , v2 = 1 -1 1 -1 , v3 = 1 -1 -1 1 . Určete dimenzi a libovolnou bázi podprostoru U V . dim U V = 2, U V = Span 0 -1 1 0 , 0 -1 0 1 74 Příklad 74. Uveďte nějakou bázi podprostoru U = Span 1 2 3 4 5 6 , 0 1 2 3 4 5 , -1 0 1 2 3 4 , -2 -1 0 1 2 3 vektorového prostoru Mat3×2. Tuto bázi doplňte na bázi Mat3×2. Např. 1 2 3 4 5 6 , 0 1 2 3 4 5 doplníme o vektory 0 0 1 0 0 0 , 0 0 0 1 0 0 , 0 0 0 0 1 0 , 0 0 0 0 0 1 75 8. Demonstrativní cvičení 5. 11. 2008 Příklad 75. Nechť jsou v prostoru polynomů P3 dány báze e = (1, x, x2 , x3 ), u = (1 + x, 1 - x, x2 + x3 , x2 - x3 ). Nalezněte matice přechodu od báze u k bázi e a od báze e k bázi u. Te,u = 1 1 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 -1 , Tu,e = 1 2 Te,u 76 Příklad 76. Napište souřadnice vektoru 5x3 + 3x2 - x + 3 v bázi u prostoru P3 z Příkladu 75. 1 2 4 -1 77 Příklad 77. Která ze zobrazení F : Mat2×2 Mat2×2; G : Mat3×3 R3 ; H : P R určených předpisy F(A) := 5 8 9 3 A - A 2 6 7 6 , A Mat2×2; G(A) := 0 tr A | A | , A Mat3×3; H(p) := p(0), p P jsou lineární? [Lineární jsou zobrazení F a H] 78 Příklad 78. Stanovte Ker L a Im L lineárního zobrazení R3 do R3 zadaného vztahem L (x1, x2, x3)T = (3x1 + x2 + 2x3, 4x1 + 2x2 + 3x3, 2x1 + x3)T , (x1, x2, x3)T R3 . Ker L = {a (1, 1, -2)T ; a R}, Im L = {b (1, 2, 0)T + c (3, 4, 2)T ; b, c R} 79 Příklad 79. Jaká lineární zobrazení R2 do R2 (tj. transformace R2 ) jsou reprezentována maticemi A = 1 0 0 0 ; B = 0 0 0 1 ; C = 0 -1 1 0 ; D = 0 1 0 0 ; E = 0 0 1 0 ; F = 0 1 1 0 ; G = 1 0 0 -1 ; H = -1 0 0 1 ve standardní bázi prostoru R2 ? [Matice A udává projekci na osu x; B projekci na osu y; C otočení kolem počátku o úhel /2 (v kladném směru); D otočení kolem počátku o - /2 po projekci na osu y; E kompozici projekce na 2. osu po záměně os x a y; F zrcadlení vzhledem k přímce x = y; G zrcadlení vzhledem k ose x; H zrcadlení vzhledem k ose y] 80 Příklad 80. Je-li definováno lineární zobrazení Mat2×2 do P4 přiřazením a b c d (a + 2b) x3 + 6cx2 + ax - b - 3c + 8d, a b c d Mat2×2, uveďte matici tohoto zobrazení v bázích tvořených po řadě vektory 1 0 1 1 , -1 0 -1 1 , 0 1 0 0 , 1 1 0 0 ; x4 , x3 , x2 , x, 1. 0 0 0 0 1 -1 2 3 6 -6 0 0 1 -1 0 1 5 11 -1 -1 81 Příklad 81. O lineárním zobrazení derivace D : P3 P2 víme, že D(1) = 0, D(x) = 1, D(x2 ) = 2x, D(x3 ) = 3x2 . Určete matici zobrazení D (a) ve standardních bázích prostorů P3 a P2, tj. v bázích e = (1, x, x2 , x3 ), e = (1, x, x2 ); (b) v bázích (viz také Příklad 75) u = (1 + x, 1 - x, x2 + x3 , x2 - x3 ) prostoru P3, v = (1 + x, 1 - x, x + x2 ) prostoru P2. (a) 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 ; (b) 1 2 1 -1 -1 5 1 -1 1 -5 0 0 6 -6 82 Příklad 82. Uvažujme lineární zobrazení D z Příkladu 81 jako lineární transformaci prostoru P3, tj. nechť D : P3 P3. Napište matici tohoto zobrazení ve standardní bázi e a poté v bázi u. Zopakujme, že e = (1, x, x2 , x3 ), u = (1 + x, 1 - x, x2 + x3 , x2 - x3 ). 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 ; 1/2 1 -1 2 2 1 -1 -2 -2 0 0 3 -3 0 0 3 -3 83 Příklad 83. Zjistěte, zda jsou matice 1 1 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 -1 -1 1 -1 1 -1 , 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1 podobné. [Nejsou] 84 9. Demonstrativní cvičení 12. 11. 2008 Příklad 84. Nechť je dána krychle ABCDEFGH (při obvyklém významu zápisu, tedy vektory E - A, F - B, G - C, H - D jsou kolmé na rovinu určenou vrcholy A, B, C, D) v euklidovském prostoru R3 . Vypočtěte úhel mezi vektory F - A a H - A. [/3] 85 Příklad 85. Dokažte, že pro každé n N a pro libovolná kladná čísla x1, x2, . . . , xn R platí n2 1 x1 + 1 x2 + + 1 xn (x1 + x2 + + xn) . Poté uveďte, kdy nastává rovnost. Řešení. Postačuje uvážit Cauchyovu nerovnost | u v | || u || || v || v euklidovském prostoru Rn pro vektory u = 1 x1 , 1 x2 , . . . , 1 xn T , v = ( x1, x2, . . . , xn) T . Tím dostaneme n 1 x1 + 1 x2 + + 1 xn x1 + x2 + + xn. () Dokazovanou nerovnost potom obdržíme umocněním (). Dále víme, že Cauchyova nerovnost přejde v rovnost, právě když bude vektor u násobkem vektoru v, což již implikuje x1 = x2 = = xn. 86 Příklad 86. Zjistěte, zda jsou podprostory U = Span 2 1 2 2 , V = Span -1 0 -1 2 , -1 0 1 0 , 0 0 1 -1 euklidovského prostoru R4 (na sebe) kolmé. Pokud ano, je R4 = U V , tj. je U = V ? U V, V = U 87 Příklad 87. Stanovte jádro Ker A a obraz Im A matice A = 1 2 3 1 2 -3 -1 -12 -1 1 0 5 0 -1 -1 -2 2 -3 -1 -12 . Ker A = Span 3 -2 0 1 , -1 -1 1 0 , Im A = Span 1 2 -1 0 2 , 2 -3 1 -1 -3 88 Příklad 88. Určete jádro Ker AT , obraz Im AT a řádkový prostor R(AT ) pro matici A z Příkladu 87. Span 1 3 7 0 0 , 2 -1 0 7 0 , 0 -1 0 0 1 , Span 1 2 3 1 , 2 -3 -1 -12 , R(AT ) zadává Im A 89 Příklad 89. Napište nějakou bázi ortogonálního komplementu W 1 podprostoru W1 = Span (1, 2, -1, 0, 2)T , (2, -3, 1, -1, -3)T v prostoru R5 a libovolnou bázi ortogonálního doplňku W 2 podprostoru W2 = Span 1 2 3 1 , 2 -3 -1 -12 , 0 1 1 2 , -1 1 0 5 v prostoru R4 . W 1 = Ker AT , W 2 = Ker A pro matici A z Příkladu 87 (viz také Příklad 88) 90 Příklad 90. Najděte ortogonální doplněk U podprostoru U = {(x1, x2, x3, x4)T ; x1 = x3, x2 = x3 + 6x4} R4 . U = {a (1, 0, -1, 0)T + b (0, 1, -1, -6)T ; a, b R} 91 Příklad 91. Každým dvěma maticím A = a b c d , B = e f g h z vektorového prostoru Mat2×2 přiřadíme reálné číslo 8 ag+bf +3 ce+dh. Jedná se o skalární součin? [Ne] 92 Příklad 92. Je-li ve vektorovém prostoru P2 pro libovolné dva polynomy stupně nejvýše 2 p = a2(p) x2 + a1(p) x + a0(p), q = a2(q) x2 + a1(q) x + a0(q) definován jejich skalární součin vztahem p, q := 3 a2(p)a2(q) + 4 a1(p)a1(q) + 6 a0(p)a0(q), jakou má vektor 3x2 + 2x + 1 délku? [7] 93 Příklad 93. Uvažujme matice A = 1 0 0 0 , B = 0 0 0 1 , C = 0 -1 1 0 , D = 0 1 0 0 , E = 0 0 1 0 , F = 0 1 1 0 , G = 1 0 0 -1 , H = -1 0 0 1 z Příkladu 79 jako vektory vektorového prostoru Mat2×2 se ,,standardním" skalárním součinem X, Y = x11y11 + x12y12 + x21y21 + x22y22, X = (xij), Y = (yij) Mat2×2 . Spočtěte úhly, které svírají matice (a) A, B; (b) A, G; (c) B, G; (d) C, D; (e) C, E; (f) D, H; (g) F, H; (h) G, H. [(a) /2; (b) /4; (c) 3/4; (d) 3/4; (e) /4; (f) /2; (g) /2; (h) ] 94 10. Demonstrativní cvičení ­ doplňující příklady 19. 11. 2008 Příklad 94. Je-li na množině X = {f1, f2, . . . , f6}, kde fi : R R, i {1, 2, . . . , 6} jsou zobrazení f1(x) = | x | - 4, f2(x) = | x | - 3, f3(x) = | x | - 2, f4(x) = | x + 2 |, f5(x) = -| x |, f6(x) = -| x | + 3, dána relace uspořádání R pro i, j {1, 2, . . . , 6} takto: ([fi, fj] R) (fi(x) fj(x), x [-2, 2]), přičemž uspořádané dvojici [a, b] R přísluší nerovnost a b, určete (v množině X) sup X; sup {f1, f3, f4}; sup {f2, f5}; inf X; inf {f3, f4, f5}; inf {f4, f6}. [sup {f1, f3, f4} = f4; inf X = inf {f3, f4, f5} = f1; sup X, sup {f2, f5}, inf {f4, f6} neexistují] 95 Příklad 95. Pro libovolnou matici druhého řádu A = a b c d , a, b, c, d R platí A2 = (a + d) A - (ad - bc) I. () Tato formule je známa ve tvaru A2 = tr A A - | A | I, kde tr A := a + d je stopa (,,trace ) matice A, | A | její determinant a I dvojrozměrná jednotková matice. Využijte vzorce () k výpočtu matic A2 , A3 , A4 , je-li A = 2 1 1 2 . Doplňme, že vynásobením rovnice () maticí A dostáváme A3 = (a + d) A2 - (ad - bc) A. Podobně (pomocí matematické indukce) lze ukázat, že pro všechna n N {0} a pro každou 2 × 2 matici A je An+2 = (a + d) An+1 - (ad - bc) An . A2 = 5 4 4 5 , A3 = 14 13 13 14 , A4 = 41 40 40 41 96 Příklad 96. Orientovaný graf je tvořen množinou vrcholů {1, 2, . . . , n} (n N) a množinou hran H {[i, j]; i, j {1, 2, . . ., n}}. Lze jej zadat maticí A = (aij) typu n × n definovanou tak, že položíme aij = 1, pokud [i, j] H, a aij = 0, jestliže [i, j] / H. Cestou délky k se rozumí posloupnost vrcholů i1, i2, . . . , ik, ik+1 {1, 2, . . . , n}, pro které platí [i1, i2], [i2, i3], . . . , [ik-1, ik], [ik, ik+1] H. Označíme-li pro libovolné k N prvky matice Ak jako aij(k) (tj. Ak = (aij(k)), zvláště aij = aij(1)), bude přirozené číslo aij(k) udávat počet cest z vrcholu i do vrcholu j délky k. Ověřte tuto skutečnost pro některé prvky matic A3 = 7 3 6 5 4 1 2 3 1 4 4 4 3 2 5 7 3 6 5 4 1 3 1 0 4 , A4 = 18 10 15 12 13 5 7 4 2 9 9 8 10 6 12 18 10 15 12 13 2 5 4 1 8 , přičemž A = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 . [Např. pro a23(3) = 3 jsou těmi 3 cestami 2, 3, 2, 3; 2, 3, 1, 3 a 2, 5, 2, 3] 97 Příklad 97. Jako A, B označujme čtvercové matice řádu n 2. (i) (a) Udejte příklad matic A a B, pro které (A + B) (A - B) = A2 - B2 . Kupř. A = 1 0 1 1 , B = 0 1 1 1 (b) Dokažte, že matice A a B komutují (tj. AB = BA), právě když je (A + B) (A - B) = A2 - B2 . [Tvrzení plyne z rovnosti (A + B)(A - B) = A2 - AB + BA - B2 ] (ii) (a) Udejte příklad matic A a B, pro které (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 . Kupř. opět A = 1 0 1 1 , B = 0 1 1 1 (b) Dokažte, že matice A a B komutují tehdy a jenom tehdy, když platí (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 . [To vyplývá z identity (A + B)(A + B) = A2 + AB + BA + B2 ] 98 Příklad 98. Nechť symboly A, B označují čtvercové matice druhého řádu. Využitím vzorce () z Příkladu 95, tj. A2 = tr A A - | A | I, najděte (a) všechny matice A splňující A2 = I; (b1) všechny matice A, které mají nuly na hlavní diagonále a pro které je A2 = I; (b2) všechny matice A, které mají nuly na hlavní diagonále a pro které je A2 = -I; (b3) alespoň jednu dvojici matic A a B s nulami na hlavních diagonálách takovou, aby platilo A2 = 0, B2 = 0, A2 + B2 = 0; (c) všechny nenulové matice A = I s vlastností A2 = A. (a) 1 0 0 1 , -1 0 0 -1 , 1 - bc b c - 1 - bc , - 1 - bc b c 1 - bc , b c 1, b, c R (b1) 0 b 1 b 0 , b R {0}; (b2) 0 -b 1 b 0 , b R {0}; (b3) A = 0 1 1 0 , B = 0 1 -1 0 (c) 1 0 c 0 , 0 0 c 1 , a b a(1-a) b 1 - a , a, c R, b R {0} 99 Příklad 99. Určete objem rovnoběžnostěnu v R3 s podstavou v rovině z = 0 a s hranami zadanými dvojicemi vrcholů [0, 0, 0], [-2, 3, 0]; [0, 0, 0], [4, 1, 0] a [0, 0, 0], [5, 7, 3]. [42] 100 Příklad 100. Najděte koeficienty A, B, C R tak, aby platilo 6x (x2 - 1) (x + 2) = A x - 1 + B x + 1 + C x + 2 , x R {1, -1, -2}. [A = 1, B = 3, C = -4] 101 11. Demonstrativní cvičení 26. 11. 2008 Příklad 101. Ukažte, že soustava lineárních rovnic x1 + 2x2 + x3 = 0, x2 - x3 = 0, x1 + x2 + 2x3 = 6, x1 + 3x3 = 0 nemá řešení. Poté určete řešení odpovídajícího problému nejmenších čtverců. [x1 = 2 - 3t, x2 = x3 = t, t R] 102 Příklad 102. Spočtěte vzdálenost vektoru 0 0 6 0 od podprostoru Span 1 0 1 1 , 2 1 1 0 , 1 -1 2 3 v euklidovském prostoru R4 . 2 6 103 Příklad 103. Body [-2, 2], [-1, 2], [0, 3], [1, 4], [2, 3] proložte regresní přímku; poté nalezněte jejich nejlepší kvadratickou aproximaci vzhledem k metodě nejmenších čtverců (tzv. aproximaci parabolou, tj. proložte jimi polynom nejvýše druhého stupně při minimalizování hodnoty součtu obsahů čtverců s délkami stran rovnými velikostem rozdílů souřadnic y pro jednotlivá x). [2x/5 + 14/5; -x2 /7 + 2x/5 + 108/35] 104 Příklad 104. Tvoří vektory v1 = 1 1 1 1 , v2 = -1 1 1 -1 , v3 = 1 -1 1 -1 , v4 = -1 -1 1 1 ortogonální bázi v = (v1, v2, v3, v4) euklidovského prostoru R4 ? [Ano] 105 Příklad 105. Stanovte souřadnice vektoru 1 2 3 4 v ortonormální bázi u = (u1, u2, u3, u4) příslušné bázi v z Příkladu 104. 5 0 -1 2 106 Příklad 106. Je-li ve vektorovém prostoru Mat2×2 zaveden skalární součin X, Y = x11y11 + x12y12 + x21y21 + x22y22, X = (xij), Y = (yij) Mat2×2, ukažte, že matice (vektory) A1 = 1 1 1 1 , A2 = -1 1 1 -1 , A3 = 1 -1 1 -1 , A4 = -1 -1 1 1 zadávají ortogonální bázi A = (A1, A2, A3, A4) tohoto prostoru, a napište souřadnice matice C = 1 2 3 4 v ortonormální bázi B = (B1, B2, B3, B4) příslušné bázi A. [Postačuje uvážit řešení Příkladu 104 a Příkladu 105. Odtud plyne, že C = 5B1 - B3 + 2B4.] 107 Příklad 107. Najděte inverzní matici k matici A = 1 -1 1 -1 1 1 -1 -1 1 1 1 1 1 -1 -1 1 . A-1 = AT /4 108 Příklad 108. Ve vektorovém prostoru Mat2×2 se ,,standardním" skalárním součinem z Příkladu 106 určete projekci P1 matice C na podprostor W1 = Span A1, A2, A3 , projekci P2 matice C na podprostor W2 = Span A4 , vzdálenost v(C, W1) matice C a podprostoru W1 a odchylku (C, W1) matice C od podprostoru W1. P1 = 2 3 2 3 , P2 = -1 -1 1 1 , v(C, W1) = 2, (C, W1) = arccos 13 15 Poznámka. Protože W 1 = W2, je C = P1 + P2. 109 12. Demonstrativní cvičení 3. 12. 2008 Příklad 109. Pomocí ,,Gram-Schmidtova" ortogonalizačního procesu stanovte ortogonální bázi pod- prostoru W = (x1, x2, x3, x4)T R4 ; x1 + x2 + x3 + x4 = 0 euklidovského prostoru R4 . Ortogonalizací 1 -1 0 0 , 1 0 -1 0 , 1 0 0 -1 lze dostat 1 -1 0 0 , -1 -1 2 0 , -1 -1 -1 3 Uveďte odlišnou ortogonální bázi podprostoru W. Např. (1, -1, 0, 0)T , (0, 0, 1, -1)T , (1, 1, -1, -1)T 110 Příklad 110. Najděte všechny (i komplexní) kořeny (včetně násobností) polynomů x4 + x3 - 4x2 + 2x - 12; x4 + x3 - 12x2 - 28x - 16; x4 - 12x3 + 54x2 - 108x + 81; x4 + 8x2 - 9. Při zachování pořadí polynomů - 3, 2, 2 i; -2, -2, -1, 4; 3, 3, 3, 3; 1, 3 i 111 Příklad 111. Určete charakteristický polynom, vlastní hodnoty a vlastní vektory matice 4 -1 6 2 1 6 2 -1 8 . p() = -( - 2)2 ( - 9), Eigen (2) = Span 1 2 0 , -3 0 1 , Eigen (9) = Span 1 1 1 112 Příklad 112. Stanovte vlastní hodnoty matice -13 5 4 2 0 -1 0 0 -30 12 9 5 -12 6 4 1 . [Daná matice má pouze jedno vlastní číslo, a to - 1] Poznámka. Dodejme, že Eigen (-1) = Span 0 0 1 -2 , 1 0 0 6 . 113 Příklad 113. Udejte příklad čtyřrozměrné matice s vlastními hodnotami 1 = 6 a 2 = 7 takové, aby algebraická násobnost 2 byla 3 a aby (a) geometrická násobnost 2 byla 3 (tj. dim Eigen (7) = 3); (b) geometrická násobnost 2 byla 2 (tj. dim Eigen (7) = 2); (c) geometrická násobnost 2 byla 1 (tj. dim Eigen (7) = 1). Kupř. (a) 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 0 0 0 0 7 ; (b) 6 0 0 0 0 7 1 0 0 0 7 0 0 0 0 7 ; (c) 6 0 0 0 0 7 1 0 0 0 7 1 0 0 0 7 114 Příklad 114. Víte-li, že čísla 1, -1 jsou vlastní hodnoty matice A = -11 5 4 1 -3 0 1 0 -21 11 8 2 -9 5 3 1 , uveďte všechna řešení rovnice p() := | A - I | = 0. Nápověda: Označíme-li kořeny polynomu p() jako 1, 2, 3, 4, je | A | = 1 2 3 4, tr A = 1 + 2 + 3 + 4. [Kořen - 1 polynomu p() je trojnásobný] Poznámka. Lze dopočítat Eigen (1) = Span 1 0 3 0 , Eigen (-1) = Span 0 -1 1 1 115 Příklad 115. Pro libovolnou matici A řádu n je její charakteristický polynom p() := |A - I| stupně n, je tedy tvaru p() = cn n + cn-1 n-1 + + c1 + c0, cn = 0, přičemž navíc platí cn = (-1)n , cn-1 = (-1)n-1 tr A, c0 = | A |. Jestliže je matice A trojrozměrná, obdržíme tak p() = -3 + (tr A) 2 + c1 + | A |. () Volbou = 1 dostáváme | A - I | = p(1) = -1 + tr A + c1 + | A |. Odsud a z () získáváme výsledné vyjádření p() = -3 + (tr A) 2 + (| A - I | - | A | + 1 - tr A) + | A |. Využijte ho k určení charakteristického polynomu a vlastních hodnot matice A = 32 -67 47 7 -14 13 -7 15 -6 . [p() = -3 + 122 - 47 + 60, 1 = 3, 2 = 4, 3 = 5] Poznámka. Opět doplňme vlastní vektory Eigen (1) = Span 3 2 1 , Eigen (2) = Span 5 7 7 , Eigen (3) = Span -1 1 2 116 Příklad 116. Které z matic A = 4 -1 6 2 1 6 2 -1 8 , B = -13 5 4 2 0 -1 0 0 -30 12 9 5 -12 6 4 1 , C = 2 3 0 4 3 -1 2 1 0 2 0 3 4 1 3 4 , D = 5 1 3 2 0 1 4 4 0 0 3 3 0 0 0 2 , E = 5 0 4 4 3 5 8 1 0 0 -3 0 0 0 -2 2 jsou diagonalizovatelné? [A, C, D] 117 Příklad 117. Vypočítejte A5 a A-3 , je-li A = 2 -1 1 -1 2 -1 0 0 1 . A5 = 122 -121 121 -121 122 -121 0 0 1 , A-3 = 1 27 14 13 -13 13 14 13 0 0 27 118 13. Demonstrativní cvičení ­ iterované procesy 10. 12. 2008 Příklad 118. Předpokládejte, že v Brně žije 376 000 a v jeho okolí (tzv. okres Brno-venkov) 166 000 lidí a že se jejich celkový počet 542 000 s časem nemění. V dlouhodobém horizontu vyjádřete změny ve velikosti této městské a příměstské populace, pokud se každý rok přestěhuje 15 % obyvatel Brna do jeho okolí a naopak 5 % obyvatel okolních obcí do Brna (ostatní zanedbejte). [Výsledky budou uvedeny na demonstrativním cvičení] 119 Příklad 119. Nechť je v populačním modelu dravec-kořist (liška-králík) určen vztah mezi počtem lišek Lk a počtem králíků Kk v daném a následujícím měsíci (k N {0}) lineárním systémem Lk+1 = 0, 6 Lk + 0, 5 Kk, Kk+1 = -0, 16 Lk + 1, 2 Kk. Analyzujte limitní chování tohoto modelu. 120 Příklad 120. Analyzujte limitní chování modelu z Příkladu 119, je-li zadán pozměněným systémem Lk+1 = 0, 6 Lk + 0, 5 Kk, Kk+1 = -0, 175 Lk + 1, 2 Kk. 121 Příklad 121. Řešte Příklad 119, pokud je Lk+1 = 0, 6 Lk + 0, 5 Kk, Kk+1 = -0, 135 Lk + 1, 2 Kk. 122 Příklad 122. Fibonacciho čísla. Ve svém spise Liber abaci (Kniha o abaku) z roku 1202 si Fibonacci (,,syn Bonacciho , vl. jménem Leonardo Pisánský, asi 1170­1240) položil následující otázku: ,,Kolik párů králíků vznikne z jediného dospělého páru za jeden rok, jestliže každý pár zplodí každý měsíc jeden nový pár, který je pak od druhého následujícího měsíce schopný téhož?" Nalezněte správnou odpověď. 123 14. Demonstrativní cvičení 17. 12. 2008 Příklad 123. Neznámý muž přišel hrát ruletu se 100 Kč v kapse. Sází vždy všechno, co zrovna má, a vždy na černou (v ruletě je 37 čísel ­ 18 černých, 18 červených a nula). Skončí, pokud získá 800 Kč (nebo nebude nic mít). Uvažte jeho ,,herní plán" jako Markovův proces. Řešení budou uvedena na demonstrativním cvičení 124 Příklad 124. Zjistěte, zda je matice A = 1 0 1 0 1 0 1 0 1 pozitivně (semi)definitní, negativně (semi)definitní. [Je pozitivně semidefinitní] 125 Příklad 125. Na třídě všech množin definujeme relaci tak, že množiny A a B jsou v relaci (tj. A B), pokud existuje bijekce (tj. injektivní a současně surjektivní zobrazení) množiny A na množinu B. Dokažte, že se jedná o relaci ekvivalence. Na třídách rozkladu podle této ekvivalence definujeme mohutnost card (pojem ,,počet prvků"), která dané množině A (tj. třídě rozkladu [A] zadané množinou A) přiřadí - číslo 0, pokud je množina A prázdná, tedy card { } = 0; - číslo n N, pokud má množina A právě n prvků; - symbol 0 (čti ,,alef nula ), pokud A = N; - symbol c (od slova ,,continuous ), pokud A = R. Číslo (symbol) card A tedy nazýváme mohutnost (nebo kardinální číslo) množiny A. Existuje-li bijekce množiny A na množinu B, znamená to, že card A = card B (obě množiny jsou ve stejné třídě rozkladu). Množina A se nazývá spočetná, pokud A N, tj. pokud card A = 0. (Existuje bijekce mezi N a A, a proto lze prvky množiny A uspořádat do posloupnosti {a1, a2, a3, . . . , an, . . . }.) Množina A se nazývá nespočetná, pokud je nekonečná a není spočetná. Množina A se nazývá nejvýše spočetná, pokud je konečná, nebo spočetná, tj. jestliže card A N {0, 0}. 126 Lze dokázat následující (viz teorie množin): * Sjednocení nejvýše spočetně mnoha nejvýše spočetných množin je nejvýše spočetná množina (prvky tohoto sjednocení lze uspořádat do posloupnosti). * Jsou-li A, B spočetné, potom je také A × B spočetná (prvky kartézského součinu konečně mnoha spočetných množin lze uspořádat do posloupnosti). * Každá nekonečná množina obsahuje spočetnou podmnožinu. * Je-li A nespočetná a B A její spočetná podmnožina, potom je card (A B) = card A. * Je-li A nekonečná a B nejvýše spočetná, potom je card (A B) = card A. * Množina je nekonečná, právě když je ekvivalentní s nějakou vlastní podmnožinou. * Na množině (uvedených) kardinálních čísel lze jednoduše definovat relaci uspořádání. Je-li a = card A a b = card B, klademe a b, pokud existuje injektivní zobrazení A do B. Navíc píšeme a < b, pokud a b (ve smyslu předchozího uspořádání) a současně a = b. Nyní můžeme (někdy jednoduše, někdy dosti složitě) dokázat následující vlastnosti kardinálních čísel: ­ Kardinální číslo 0 je nejmenší nekonečné kardinální číslo. ­ Cantorova věta. Označíme-li P(A) množinu všech podmnožin libovolné množiny A, potom platí nerovnost card A < card P(A). Jejím důsledkem je fakt, že existuje nekonečně mnoho nekonečných kardinálních čísel. ­ Množina všech podmnožin množiny N má mohutnost c, tj. card P(N) = c. ­ Mohutnost množiny N je menší než mohutnost množiny R, tj. 0 < c. (To zjevně vyplývá z předchozích dvou tvrzení.) ­ Nelze dokázat, zda je ,,mezi kardinálními čísly 0 a c ještě nějaké další (nekonečné) kardinální číslo, tj. nelze dokázat, jestli je c = 1, nebo jestli existuje (alespoň jedno) kardinální číslo d, pro které 0 < d < c (ve smyslu existence odpovídající podmnožiny R a příslušných injektivních zobrazení). ­ Lze přirozeně definovat sčítání, násobení, mocniny kardinálních čísel (aritmetika nekonečných čísel) tak, aby byla splněna ,,intuitivní pravidla ­ např. 0 n = 0, c n = c, c 0 = c apod. (tzv. ,,pohlcovací zákony ).