Matematika 1-11. přednáška Vlastnosti lineárních zobrazení, vlastní hodnoty a vektory Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 29. 4. 2009 □ S oooooooooooooooooo Obsah přednášky Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory ô Vlastnosti vlastních hodnot a vektorů n S - = -E -00*0 • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičeni oooooooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www.kolej.mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). oooooooooooooooooo Plán přednášky Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory ô Vlastnosti vlastních hodnot a vektorů n S - = -E -00*0 Je-li A čtvercová matice řádu n, pak uvažujme lineární zobrazení L/\ : R" —> R", které je dáno maticí A. V tomto lineárním zobrazení nás zajímají směry, které toto zobrazení preferuje (zachovává), tj. zajímá nás, které vektory u G R" se zobrazí na svůj násobek. Číslo vyjadřující tento násobek pak můžeme chápat jako přirozenou frekvenci zobrazení La a příslušný vektor (nebo vektory) jako přirozené směry zobrazení La- Je-li A čtvercová matice řádu n, pak uvažujme lineární zobrazení L/\ : R" —> R", které je dáno maticí A. V tomto lineárním zobrazení nás zajímají směry, které toto zobrazení preferuje (zachovává), tj. zajímá nás, které vektory u G R" se zobrazí na svůj násobek. Číslo vyjadřující tento násobek pak můžeme chápat jako přirozenou frekvenci zobrazení La a příslušný vektor (nebo vektory) jako přirozené směry zobrazení La- V celé této přednášce budeme uvažovat pouze čtvercové matice řádu n. Navíc, i když budeme nuceni občas pracovat s komplexními čísly, prvky matice A budou vždy reálné. Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Definice Vlastní hodnota (též vlastní číslo) matice A je číslo A G C, pro které existuje (alespoň jeden) nenulový vektor u G C" s vlastností A-u = X-u. Vektor u se pak nazýva vlastní vektor (eigenvector) matice A příslušející vlastní hodnotě (eigenvalue) A. Množina všech vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A (společně s nulovým vektorem) se nazývá vlastní prostor příslušející vlastní hodnotě A a značíme ji Eigen(A) (z angl./něm. eigenspace). □ s Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Definice Vlastní hodnota (též vlastní číslo) matice A je číslo A G C, pro které existuje (alespoň jeden) nenulový vektor u G C" s vlastností A-u = X-u. Vektor u se pak nazýva vlastní vektor (eigenvector) matice A příslušející vlastní hodnotě (eigenvalue) A. Množina všech vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A (společně s nulovým vektorem) se nazývá vlastní prostor příslušející vlastní hodnotě A a značíme ji Eigen(A) (z angl./něm. eigenspace). Nulový vektor u = 0 vždy vyhovuje rovnici A ■ u = A • u, a proto je v Definici požadavek na existenci nenulového vlastního vektoru. □ s - = 1 Příklad ^ Uvažujme matici A a vektory u a v, kde A = (: -3 2\ -5 4 J' u = (!)■ \/ = ■©■ Potom platí *-(-l 2^ KD- "{Í )-<- 1)' (1)-'- -l)u, *-G 2^ )©■ W = 2 (s) = 2-v. Jsou tedy Ai = - -1 < a A2 = 2 > i/lastní hodnoty matice 4 a jejich příslušné vlastní rektory jsou právě vektory "( xo Ai = -1) a i/ (pro A2 = 2). □ g - = Příklad □ S 10 -3/' U=[-l + 3ih V Příklad Uvažujme matici A a vektory u a v, kde a=(:1 n ( l Potom platí Au A-v - -10 -3J ^-1 + 3/ -10 -3/ 1-1-3/ (-2 + 3/) (-2 - 3/) -1-3/7 ' 1 -1 + 3/, 1 -1-3/7 ' □ S Příklad ^ Uvažujme matici A a vektory nav, kde -(-"i i)' "=(-1 + 3,-) ■ ~( -1 - 3/J • Potom platí *«=(-i -a) U»)-<- -2 + 3/) • (-1 + 3/)' *-(--i -s) ■(-l1-*)-«- -2 - 3/) • (-xU)- Jsou tedy Ai = - -2 + 3/ a A2 = —2 — 3/ v lastní hoc noty matice 4 a jejich příslušné vlastní Ai = —2 + 3/) a \/ (pro vektory jsou právě vektory A2 = -2-3/). u (pro □ s Poznámka Je-li u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a(\u) = \(a u). □ S Poznámka Je-li u vlastní vektor matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také libovolný jeho (nenulový) násobek vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(au) = a (Au) = a (A u) = A (a u). Podobně, jsou-li u, v vlastní vektory matice A příslušející vlastní hodnotě A, potom je také jejich součet vlastní vektor příslušející téže vlastní hodnotě, protože A(u + v) = (Au) + (Av) = (\u) + (\v) = \(u + v). Vlastní vektory příslušející téže vlastní hodnotě tedy tvoří (společně s nulovým vektorem) podprostor vektorového prostoru R". To také zdůvodňuje terminologii vlastní prostor. □ s Příklad (a) Pro matici A -3 2 -5 4 z 1. příkladu je Eigen(-l) = (u) = < L ) Eigen(2) = (v) = (\). Příklad * (a) Pro matici A = (-1 D' Eigen(—1) Eigen(2) 1. příkladu = (u) = ( = (v) = ( je (b) Pro matici A = (-10 -3j z 2. příkl; )du je Eigen(-2 + 3/) = = <«> = <( -1 + 3/; )>• Eigen(-2 - 3/) = = <"> = <( -1 - 3/, )>• Tvrzení Je-li X reálná vlastní hodnota matice A, potom jsou všechny příslušné vlastní vektory taktéž reálné. □ s Tvrzení Je-li A reálná vlastní hodnota matice A, potom jsou všechny příslušné vlastní vektory taktéž reálné. Protože je A e M, má matice A — XI taktéž pouze reálné prvky. Tedy má homogenní systém (A — A /) • u = 0 reálná řešení, tj. vlastní vektory u jsou reálné. D □ S Z definičního vztahu plyne, že vlastní vektory jsou nenulová řešení homogenního systému (A-XI)u = Au-Xu = 0. Z předchozího víme, že má-li mít taková soustava nenulové řešení, musí být matice A-XI singulární, tj. \A-\I\ 3\\ — A 3i2 321 322 — A 3nl 3n2 3\n 32n A 0. Matici A — XI dostaneme tedy tak, že v matici A odečteme od každého diagonálního prvku proměnnou A (či číslo A, pokud ho již jako vlastní hodnotu známe). □ s Příklad Pro matici A z 1. příkladu máme \A-\I\ = = (-3-A) (4-A)-(-10) -3 2 -5 4 A 0 0 A -3-A 2 -5 4-A A2-A-2 = (A + l)(A-b). □ s - = ■€. -o<\(y Příklad Pro matici A z 1. příkladu máme \A-\I\ = -3 2 -5 4 A 0 0 A -3-A 2 -5 4-A (-3 - A) (4 - A) - (-10) = A2 - A - 2 = (A + 1) (A -b). Pro matici A z 2. příkladu pak dostáváme \A-\I\ = -1-A 1 -10 -3-A (-1 - A) (-3 - A) - (-10) = A2 + 4A + 13. -1 1 -10 -3 A 0 0 A □ S V předchozích příkladech je vidět, že výraz \A — A l\ je polynom v proměnné A. Pro matici řádu n má tento polynom stupeň právě n. Výraz p(A) := \A-\I\ se proto nazývá charakteristický polynom matice A a rovnice p(A) = \A-\I\ =0 se nazývá charakteristická rovnice matice A. A protože má každý polynom stupně n právě n kořenů (počítáno včetně násobností), platí tedy následující tvrzení. Příklad □ s - = ■€. -o<\(y Příklad (2 - A)', a proto je Ai = 2 (násobnosti 2) jediná vlastní hodnota této matice. Vlastní prostor pro Ai = 2: (A - Ai /1 0) = (A - 211 0) 0 3 0 0 0N 07 * □ s Vlastní prostor pro Ai = 2: (4-A1/|0) = (4-2/|0)=(» l j °). Volbou volné proměnné x\ = t dostaneme řešení (ŕ, 0) = t ■ (1, 0), tj. vlastní vektor a příslušný vlastní prostor jsou U1 = (J), Elg»(2) = <(J)>. Řešení (pokr.) Vlastní prostor pro Ai = 2: (4-A1/|0) = (4-2/|0)=(» l j °) Volbou volné proměnné x\ = t dostaneme řešení (ř, 0) = = í-(1.0), tj. vlastní vektor a příslušný vlastní prostor jsou "> = (o)' Ei««(2) = <(J)>- Definice Algebraická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Geometrická násobnost vlastní hodnoty A je definována jako dimenze příslušného vlastního prostoru Eigen(A). Lze ukázat, že geometrická násobnost je vždy nejvýše rovna algebraické násobnosti, protože počet lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A nemůže převýšit násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Např. v předchozím příkladu je geometrická násobnost vlastní hodnoty A = 2 rovna dimEigen(2) = 1, zatímco algebraická násobnost této vlastní hodnoty je 2. (V dalším uvidíme, že tyto dvě násobnosti jsou stejné právě když je matice A tzv. diagona lizova telná.) Lze ukázat, že geometrická násobnost je vždy nejvýše rovna algebraické násobnosti, protože počet lineárně nezávislých vlastních vektorů příslušejících téže vlastní hodnotě A nemůže převýšit násobnost čísla A jakožto kořene charakteristického polynomu. Např. v předchozím příkladu je geometrická násobnost vlastní hodnoty A = 2 rovna dimEigen(2) = 1, zatímco algebraická násobnost této vlastní hodnoty je 2. (V dalším uvidíme, že tyto dvě násobnosti jsou stejné právě když je matice A tzv. diagona lizova telná.) Na druhou stranu, má-li vlastní hodnota A (algebraickou) násobnost 1 (tj. jedná se o jednoduchý kořen charakteristického polynomu), potom k ní přísluší (alespoň jeden) vlastní vektor u 7^ 0. Je tedy geometrická násobnost této vlastní hodnoty alespoň 1. Ale protože, jak jsme výše uvedli, nemůže být geometrická násobnost větší než algebraická násobnost, plyne odsud, že v tomto případě jsou tyto dvě násobnosti stejné (obě jsou rovny 1). B Postup pro nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů matice A je tedy následující: 1. Najdeme kořeny charakteristického polynomu, tj. vyřešíme charakteristickou rovnici p(A) = \A-\I\ =0. □ S - = -š -o^o B Postup pro nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů matice A je tedy následující: 1. Najdeme kořeny charakteristického polynomu, tj. vyřešíme charakteristickou rovnici p(A) = \A-\I\ =0. 2. Pro každou vlastní hodnotu A najdeme (bázi prostoru) řešení homogenního systému (A-\l)u = 0. Z definice vlastní hodnoty musí tento systém mít netriviální řešení. n 3 - = -E -00*0 B Postup pro nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů matice A je tedy následující: 1. Najdeme kořeny charakteristického polynomu, tj. vyřešíme charakteristickou rovnici p(A) = \A-\I\ =0. 2. Pro každou vlastní hodnotu A najdeme (bázi prostoru) řešení homogenního systému (A-\l)u = 0. Z definice vlastní hodnoty musí tento systém mít netriviální řešení. n 3 - = -E -00*0 Postup pro nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů matice A je tedy následující: 1. Najdeme kořeny charakteristického polynomu, tj. vyřešíme charakteristickou rovnici p(A) = \A-\I\ =0. 2. Pro každou vlastní hodnotu A najdeme (bázi prostoru) řešení homogenního systému (A-\l)u = 0. Z definice vlastní hodnoty musí tento systém mít netriviální řešení. Příklad Protože je p(A) :=\A — Xl\ polynom stupně n, je tvaru p(A) = cn X" + cn_i A"-1 + • • • + ci A + c0. Příklad * Pro matice řádu n = 2 je A = 1 J , p(A) = a-X b c d -X = (a-X)(d- -X)- - bc = = A2 - (a + d) X + ad - bc, tj. C2 = 1, ci = —(a + d), co = ad — bc. □ S - = -e -0<\(y Struktura charakteristického polynomu Protože je p(A) := \A — X l\ polynom stupně n, je tvaru p(A) = cn Xn + c„_i A"-1 + • • • + ci A + c0. Příklad Pro matice řádu n = 2 je A P(A) c d)' a-X b c d -X 2 (a - X)(d -A) - bc = X2 - (a + d)X + ad - bc, tj. C2 = 1, ci = —(a + c/), co = ad — bc. Odtud vidíme, že absolutní člen tohoto polynomu, tj. koeficient co, je co = p(0) = \A-0.I\ = \A\. J " v , I III Dále, koeficient cn u nejvyšší mocniny dostaneme tak, že vynásobíme všechny koeficienty u proměnné A, protože součin diagonálních prvků matice A — A / je zcela určitě jeden ze sčítanců v rozvoji determinantu \A — A/|, tj. Cn = (-1)". Dále, koeficient cn u nejvyšší mocniny dostaneme tak, že vynásobíme všechny koeficienty u proměnné A, protože součin diagonálních prvků matice A — AI je zcela určitě jeden ze sčítanců v rozvoji determinantu \A — A/|, tj. Cn = (-1)". Každý polynom stupně n lze jednoznačně napsat jako součin kořenových činitelů, přičemž jednotlivé kořenové činitele odpovídají kořenům polynomu p(A), tj. vlastním hodnotám matice A. Tzn. Jsou-li Ai,..., An vlastní hodnoty matice A (a každá vlastní hodnota se zde vyskytuje tolikrát, jaká je její algebraická násobnost - tedy celkem je n kořenů pro polynom p(A) stupně n), potom je p(A) = (-1)" (A - Ai) (A - A2) ... (A - A„). Dále, koeficient cn u nejvyšší mocniny dostaneme tak, že vynásobíme všechny koeficienty u proměnné A, protože součin diagonálních prvků matice A — AI je zcela určitě jeden ze sčítanců v rozvoji determinantu \A — A/|, tj. Cn = (-1)". Každý polynom stupně n lze jednoznačně napsat jako součin kořenových činitelů, přičemž jednotlivé kořenové činitele odpovídají kořenům polynomu p(A), tj. vlastním hodnotám matice A. Tzn. Jsou-li Ai,..., An vlastní hodnoty matice A (a každá vlastní hodnota se zde vyskytuje tolikrát, jaká je její algebraická násobnost - tedy celkem je n kořenů pro polynom p(A) stupně n), potom je p(A) = (-1)" (A - Ai) (A - A2) ... (A - A„). Opětovnou volbou A = 0 dostaneme p(0) = (-1)" (-Ai) (-A2) ... (-A„) = (-1)" (-1)" Ai A2 ... A„ = Ai A, Porovnáním s předchozím jsme odvodili následující důležitý fakt. Determinant matice A je roven součinu všech jejích vlastních hodnot. Tedyjsou-li X\,... ,Xn vlastní hodnoty matice A (a každá vlastní hodnota se zde vyskytuje tolikrát, jaká je její algebraická násobnost), potom je |>A| = Ai A2 ••• A„. □ S Determinant matice A Je roven součinu všech Jejích vlastních hodnot. Tedyjsou-li X\,... ,Xn vlastní hodnoty matice A (a každá vlastní hodnota se zde vyskytuje tolikrát, jaká je její algebraická násobnost), potom je |>A| = Ai A2 ••• A„. Analogicky se odvodí: Stopa matice A je rovna součtu všech jejích vlastních hodnot. Tedy \ jsou-li Ai,..., A„ vlastní hodnoty matice A (a každá vlastní hodnota se zde vyskytuje tolikrát, jaká je její algebraická násobnost), potom je trA = Ai + A2 + --- + An. S Příklad V 1. příkladu je \A\ = AiA2 = (-l).2 = -2 -3 2 -5 4 trA = Ai + A2 = (-1) + 2 = 1 = tr -3 2 -5 4/ ' □ S Příklad * V 1. příkladu je \A\ = AiA2 = (-l).2 = -2 = -3 2 -5 4 , a tr4 = Ai + A2 = (-l) + 2 = l=tr^ f) . V 2. příkladu je \A\ = Ai A2 = (-2+3/). (-2-3/) = 4+9 = 13 = -1 1 -10 -3 a tr A = Ai + A2 = (-2 + 3/) + (-2 - 3/) = -4 = tr (~*Q _V) . □ s oooooooooooooooooo Plán přednášky Q Vlastní hodnoty (čísla) a vlastní vektory Q Vlastnosti vlastních hodnot a vektorů n S - = -E -00*0 oooooooooooooooooo Lineární nezávislost vlastních vektorů Jednou z nejdůležitějších vlastností vlastních vektorů je to, že vlastní vektory příslušející různým vlastním hodnotám jsou lineárně nezávislé. Jsou-li Ai,..., Xk navzájem různé vlastní hodnoty matice A a u\,... ,Uk jejich příslušné vlastní vektory potom jsou vektory u\,..., Uk lineárně nezávislé. □ s Indukcí vzhledem k počtu vektorů. Pro k = 1 tvrzení zřejmě platí, protože jeden vlastní vektor u\ tvoří sám o sobě lineárně nezávislou množinu. Indukcí vzhledem k počtu vektorů. Pro k = 1 tvrzení zřejmě platí, protože jeden vlastní vektor u\ tvoří sám o sobě lineárně nezávislou množinu. Předpokládejme, že tvrzení platí pro libovolnou množinu k — 1 vlastních vektorů příslušejících různým vlastním hodnotám. Lineární závislost či nezávislost vektorů u\,..., Uk určíme z jejich nulové lineární kombinace, tj. a\ u\ + 32 u2 H--------h ak Uk = 0. Předně si uvědomme, že pro / = 1,..., k je (A — Ai /) u; = Au-, — Ai u; = A/ u; — Ai u-, = (A/ — Ai) u-,, zejména pro / = 1 je pak (A — Ai /) u\ = 0. Předchozí rovnost vynásobíme zleva maticí A — Ai / a dostaneme D Pokr. důkazu. 0 = (A - Ai /) (ai u\ + a2 u2 H-------h a/t t^) = ai (A - Ai /) m +a2 (4 - Ai /) u2 + • • • + ak {A - Ai /) uk = a2 (A2 - Ai) u2 H-------h 3fc (Afc - Ai) u^. Dostali jsme tedy nulovou lineární kombinaci vlastních vektorů u2,..., Uk, kterých je k — 1. Podle indukčního předpokladu je tato množina k — 1 vektorů lineárně nezávislá, a tedy musí platit a2 (A2 - Ai) = a3 (A3 - Ai) 3fc(Afc-Ai) = 0. Ale protože jsou vlastní hodnoty Ai,..., A^ navzájem různé, plyne z předchozího, že a2 = a3 = • • • = ak = 0. Odtud dále plyne, že ai u\ = 0. A protože je u\ ^ 0, je také koeficient ai = 0. D Příklad Ukázali jsme, že pro dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = ((1,1, l)r), Eigen(l) = ((-1, 0,1)T, (3,1,0)r). □ s Příklad Ukázali jsme, že pro dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = ((1,1, l)r), Eigen(l) = ((-1, 0,1)T, (3,1,0)r). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektorů (—1,0,1)T, (3,1,0)r (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. □ s Příklad Ukázali jsme, že pro dostáváme vlastní hodnoty Ai = 0, A2 = 1 a jim příslušné Eigen(O) = ((1,1, l)r), Eigen(l) = ((-1, 0,1)T, (3,1,0)r). Vlastní vektor (1,1,1)T (či jeho libovolný nenulový násobek) je lineárně nezávislý s každým z vektorů (—1,0,1)T, (3,1,0)r (či jejich libovolnou nenulovou lineární kombinací). Samozřejmě platí, že poslední 2 vektory jsou lineárně nezávislé, je tedy lineárně nezávislá celá trojice těchto vektorů. Důsledek Má-li matice A n navzájem různých vlastních hodnot, potom je množina příslušných vlastních vektorů (o n prvcích) lineárně nezávislá a tedv tvoří bázi prostoru R". Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" příslušný vlastní vektor, potom splňují vztah A (Au, u) _ uTAu (u,u) \\u\\l ' □ S Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" příslušný vlastní vektor, potom splňují vztah A (Au, u) _ uTAu (u,u) |2 • Důkaz. Snadno vynásobením rovnice Au = Xu zleva vektorem uT. □ s Tvrzení Je-li A G C vlastní hodnota matice A a u G C" příslušný vlastní vektor, potom splňují vztah A (Au, u) _ uTAu (u,u) \\u\\l ' Důkaz. Snadno vynásobením rovnice Au = Xu zleva vektorem uT. Příklad Pro matici z předchozího příkladu máme A1 = 0, Ul = (l,l,l)r, U-L^r = l = V = X1 ,,2 o "1II2 3 A2 = l, u2 = (-l,0,l)T, Í4í? = ^ = l = A2. "2|li 2 oooooooooooooooooo ooooo«ooooooo Tvrzení Je-li A (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, potom jsou její vlastní hodnoty rovny prvkům na hlavní diagonále. Zejména toto pravidlo platí pro matice diagonální. □ s oooooooooooooooooo ooooo«ooooooo Tvrzení Je-li A (horní nebo dolní) trojúhelníková matice, potom jsou její vlastní hodnoty rovny prvkům na hlavní diagonále. Zejména toto pravidlo platí pro matice diagonální. Poznámka Z vlastností kořenů polynomu vyplývá, že pokud má matice A pouze reálné prvky, tak potom pokud má komplexní vlastní hodnotu X = a + ßi, tak potom je vlastní hodnota i číslo komplexně sdružené A = a — ßi, tj. komplexní vlastní hodnoty se vyskytují jako komplexně sdružené páry. Přitom vlastní vektory příslušné komplexně sdruženým vlastním hodnotám jsou také navzájem komplexně sdružené. □ s Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární <^ X = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární -^ všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. □ s Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární <^ A = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární -^ všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. Důkaz. (i) Je-li matice A singulární, potom má homogenní systém Au = 0 netriviální řešení u. Tedy pro tento vektor u platí Au = 0 . u, neboli u je vlastní vektor příslušející vlastní hodnotě A = 0. Naopak, je-li A = 0 vlastní hodnota matice A, potom pro příslušný vlastní vektor u (t^ 0) platí vztah Au = 0 . u = 0, tedy matice A je singulární, (ii) Tato část plyne z části (i), protože A = 0 nemůže být vlastní hodnota regulární matice A. Pomocí vlastních hodnot lze jednoduše charakterizovat regulární a singulární matice. Tvrzení (i) Matice A je singulární <^ A = 0 je vlastní hodnota matice A. (ii) Matice A je regulární -^ všechny vlastní hodnoty matice A jsou různé od nuly. Důkaz. (i) Je-li matice A singulární, potom má homogenní systém Au = 0 netriviální řešení u. Tedy pro tento vektor u platí Au = 0 . u, neboli u je vlastní vektor příslušející vlastní hodnotě A = 0. Naopak, je-li A = 0 vlastní hodnota matice A, potom pro příslušný vlastní vektor u (t^ 0) platí vztah Au = 0 . u = 0, tedy matice A je singulární, (ii) Tato část plyne z části (i), protože A = 0 nemůže být vlastní hodnota regulární matice A. Alternativně plyne důkaz obou částí plyne z tvrzení o výpočtu |>4| pomocí vlastních hodnot. D Tvrzení Necht A je regulární matice. Číslo A e C je vlastní hodnota matice A <^ číslo j je vlastní hodnota matice A-1. □ s Tvrzení Necht A je regulární matice. Číslo A e C je vlastní hodnota matice A <^ číslo j je vlastní hodnota matice A-1. Důkaz. Toto tvrzení plyne přímo ze vztahu A(l -XA'1)] XA l-A- \XA\ kde jsme použili Cauchyovu větu o determinantu součinu. Tedy číslo A G C je vlastní hodnota matice A <^ číslo j je vlastní hodnota matice A-1. D '«»IMffiSMIl.M.I.UH'.'J'U1 oooooooo»oooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A ~ B pokud B = T-1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. □ s '«»IMffiSMIl.M.I.UH'.'J'U1 oooooooo»oooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A ~ B pokud B = T-1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Je-li B = T 1 AT, potom je charakteristický polynom matice B roven pß(A) = |ß-A/| = |T"MT-A/| = iT-^A-XTIT-1)^ = {T-^.lA-XIl.lTl = |>A — A /| . 17-!-117~| = \A-\I\ = lA(\) tj. charakteristické polynomy matic A a B jsou totožné. D □ S '«»IMffiSMIl.M.I.UH'.'J'U1 oooooooo»oooo V části o reprezentaci lineární transformace pomocí matice jsme se zabývali podobnými maticemi, tj. A ~ B pokud B = T-1 A T pro nějakou regulární matici T. Tvrzení Podobné matice mají stejný charakteristický polynom. Je-li B = T 1 AT, potom je charakteristický polynom matice B roven pß(A) = |ß-A/| = |T"MT-A/| = iT-^A-XTIT-1)^ = {T-^.lA-XIl.lTl = |>A — A /| . 17-!-117~| = \A-\I\ = pA(\) tj. charakteristické polynomy matic A a B jsou totožné. D Důsledek Podobné matice mají stejné vlastní hodnoty a tedy i stejný determinant a stejnou stopu (součet prvků na hlavní diagonále). Předchozí důsledek říká, že vlastní hodnoty a vlastní vektory (tj. preferované násobky a preferované směry) lineární transformace nezávisejí na volbě báze, v níž tuto lineární transformaci reprezentujeme pomocí matice. oooooooooooooooooo ooooooooo«ooo Předchozí důsledek říká, že vlastní hodnoty a vlastní vektory (tj. preferované násobky a preferované směry) lineární transformace nezávisejí na volbě báze, v níž tuto lineární transformaci reprezentujeme pomocí matice. Jelikož je charakteristický polynom založen na výpočtu determinantu a determinant lze spočítat rozvojem podle libovolného řádku nebo sloupce (Laplaceova věta o rozvoji), mají matice A a AT stejný charakteristický polynom a tedy i stejné vlastní hodnoty. Tvrzení Matice A a matice AT mají stejný charakteristický polynom a tedy i stejné vlastní hodnoty. □ s oooooooooooooooooo Báze z vlastních vektorů Před časem jsme viděli, že někdy je množné zvolit bázi prostoru z vlastních vektorů matice A. □ s - oooooooooooooooooo Báze z vlastních vektorů Před časem jsme viděli, že někdy je množné zvolit bázi prostoru R" z vlastních vektorů matice A. Uvažujeme lineární transformaci L : R" —> R" zadanou maticí A, tj. L{u) = A- u (tedy L = La). Je zřejmé, že maticová reprezentace takové lineární transformace záleží na volbě báze u prostoru R". Pokud ale zvolíme bázi u šikovně, může být maticová reprezentace transformace L velmi jednoduchá. Tvrzení Má-li matice A n lineárně nezávislých vlastních vektorů u\,...,un a označíme-li jako u := (u\,..., un) příslušnou bázi, potom má lineární zobrazení La v této bázi diagonální maticovou reprezentaci. Navíc, na hlavní diagonále jsou právě vlastní hodnoty příslušné (postupně) vlastním vektorům u\,... ,un. □ s oooooooooooooooooo Diagonalizovatelné matice Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? □ s oooooooooooooooooo Diagonalizovatelné matice Je-li A čtvercová matice řádu n, potom nás zajímá, Kolik lineárně nezávislých vlastních vektorů matice A vlastně má? Pokud má matice A plný počet (tj. n) lineárně nezávislých vlastních vektorů, potom lze tuto matici diagonalizovat. Označme jako Ai,..., A„ vlastní hodnoty (nemusí být nutně všechny navzájem různé) a jako u\,...,un příslušné lineárně nezávislé vlastní vektory (jako sloupcové vektory!), a položme D 'Ai 0 0 A„, Matice P se nazývá matice vlastních vektorů a matice D se nazývá matice vlastních hodnot. '«»IMffiSMIl.M.I.UH'.'J'U1 oooooooooooo» Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonální matici, tj. jestliže existuje diagonální matice D a regulární matice P takové, že platí A = PDP'1, neboli D = P'1 AP. Proces nalezení diagonální matice D a regulární matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. □ s '«»IMffiSMIl.M.I.UH'.'J'U1 oooooooooooo» Definice Čtvercová matice A řádu n se nazývá diagonalizovatelná, jestliže je podobná diagonální matici, tj. jestliže existuje diagonální matice D a regulární matice P takové, že platí A = PDP'1, neboli D = P'1 AP. Proces nalezení diagonální matice D a regulární matice P se nazývá diagonalizace matice A Důsledek Každá matice A, která má n navzájem různých vlastních hodnot, je diagonalizovatelná. Poznámka Snadno se ukáže i platnost opačného tvrzení, tj. každá diagonalizovatelná matice má n lineárně nezávislých vlastních vektorů.