Seznam přednášek z matematické analýzy 1
1. Zobrazení, funkce (definiční obor, graf, inverzní a složená funkce, vlastnosti
funkcí - sudost, lichost, monotonie ...)
2. Podmnožiny množiny R, jejich suprema, infima, maxima, minima, pojem
okolí
3. Polynomy, racionální funkce
4. Pojem limity funkce - vlastní limita
5. Spojitost funkce
6. Derivace funkce a její význam - tečna
7. Obecné věty o spojitosti a derivaci
8. Spojitost a derivace inverzních a složených funkcí
9. Elementární funkce
10. Nevlastní limity, limity v nevlastních bodech
11. L’Hospitalovo pravidlo, neurčité výrazy
12. Vyšetřování průběhu funkce, extrémy, význam derivací, asymptoty
13. (Posloupnosti)
1
Opakování - rovnice, nerovnice, matematická
indukce
Příklad 0.1. Určete, pro která x ∈ R jsou splněny nerovnosti:
1. 3x − 2 < x + 10 [(−∞, 6)]
2. x2
− 7x + 12 ≥ 0 [(−∞, 3 ∪ 4, ∞)]
3. 2x2
+ x − 1 < 0 [(−1, 1
2
)]
4. 4x2
+ 4x + 1 > 0 [(−∞, −1
2
) ∪ (−1
2
, ∞)]
5. x2
+ 3x + 3 ≤ 0 [∅]
6. 1
x
− 3
x+3
< 4
1−2x
[(−3, 0) ∪ ( 3
20
, 1
2
)]
7. x + 2 > 0 ∧ 3x − 2 ≤ 0 [(−2, 2
3
]
8. x + 2 ≤ 0 ∧ 3x − 2 ≥ 0 [∅]
9. |x − 3| > 5 [(−∞, −2) ∪ (8, ∞)]
10. |x + 2| < 8 [(−10, 6)]
11. |x − a| < ǫ [(a − ǫ, a + ǫ)]
12. |x − a| ≤ ǫ [ a − ǫ, a + ǫ ]
13. |x − a| > ǫ [(−∞, a − ǫ) ∪ (a + ǫ, ∞)]
14. 0 < |x − a| < ǫ [(a − ǫ, a) ∪ (a, a + ǫ)]
15. x + 1 < |x| [(−∞, −1
2
)]
16. 2x − |3x + 6| ≤ 8+2x
3
[(−∞, ∞)]
17. 2x−3
6
− x+5
3
≥ |4−x|
2
[∅]
18. x−1
3
− 2|1 − 4x| > 1
4
x − 7−52x
6
[(−∞, −2)]
19. |x − 3| + 3|x − 1| < 2x + 1 [(5
6
, 7
2
)]
20. |x2
− 4| < 3 [(−
√
7, −1) ∪ (1,
√
7)]
2
21. x2
+ x − 2 > 0 [(−∞, −2) ∪ (1, ∞)]
22. x2
+ 2x + 4 > 0 [(−∞, ∞)]
23. x2
− x + 1 ≤ 0 [∅]
24. x2
− 2x + 1 > 0 [(−∞, 1) ∪ (1, ∞) = (−∞, ∞) {1}]
Příklad 0.2. Matematickou indukcí dokažte:
1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n · (n + 1) =
1
3
· n · (n + 1) · (n + 2).
3
1 Zobrazení, funkce
Příklad 1.1. Nakreslete graf funkce:
a) y = 2 sin(2x + 1)
b) y = | sin x|
c) y = sin |x|
d) y =
√
3 sin x
2
+ cos x
2
Příklad 1.2. Určete definiční obor funkce:
1.
y =
x
√
x2 − 3x + 2
[(−∞, 1) ∪ (2, ∞)]
2.
y = ln
5x − x2
4
[ 1, 4 ]
3.
y = logx 2 [(0, 1) ∪ (1, ∞)]
4.
y =
1
x − |x|
[∅]
5.
y = ln sin x [{x : x ∈ (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z}]
6.
y =
1
ln(1 − x)
+
√
x + 2 [ −2, 0) ∪ (0, 1)]
7.
y =
3
4 − x2
+ ln(x3
− x) [(−1, 0) ∪ (1, 2) ∪ (2, ∞)]
8.
y = ln
x − 5
x2 − 10x + 24
− 3
√
x + 5 [(4, 5) ∪ (6, ∞)]
4
9.
y = ln sin(x − 3) +
√
16 − x2 [(3 − 2π, 3 − π) ∪ (3, 4 ]
Příklad 1.3. Ke každému x ∈ R existuje k ∈ Z tak, že k ≤ x < k + 1.
Definujeme funkci celá část čísla x, [x] := k, kde k ∈ Z je číslo mající
předchozí vlastnost. Např. [1, 752] = 1, [π] = 3, [−5, 28] = −6, [−π2
] = −10.
Nakreslete graf funkce y = [x].
Příklad 1.4. Definujeme funkci Π(x) takto: Π(x) := počet prvočísel, která
nejsou větší než x. Nakreslete graf funkce y = Π(x) pro x ∈ 0, 20 .
Příklad 1.5. Nakreslete graf funkce y =
√
x − [
√
x].
Příklad 1.6. Uveďte příklad funkce sudé, liché, periodické s periodou p = 0,
ohraničené, monotonní a ryze monotonní.
Příklad 1.7. Nakreslete graf funkce:
y =



cos x pro −π ≤ x ≤ 0;
1 pro 0 < x < 1;
1
x
pro 1 ≤ x ≤ 2.
Určete obor hodnot dané funkce. [H = −1, 1 ]
Příklad 1.8. Určete definiční obor funkce:
1.
y = ln(x +
√
x2 − 1)
2.
y = ln
α − x
x + α
, α > 0
3.
y = ln x2
(−x2
+ 3x + 4) +
1
log2 |x|
4.
y =
√
e2x−1 −α, α ∈ R
5.
y = (x − 1) (e2x −4 ex +3)
5
Řešení. 1. D = 1, ∞)
2. D = (−α, α)
3. D = (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 4)
4. D = (−∞, ∞) v případě α ≤ 0
D = 1
2
(1 + ln α), ∞) v případě α > 0
5. Zřejmě 1 ∈ D.
I. x > 1: e2x
−4 ex
+3 ≥ 0; y2
− 4y + 3 ≥ 0 ⇒ (y − 3)(y − 1) ≥
0. Tedy ex
∈ (−∞, 1 ∪ 3, ∞) ⇔ x ∈ (−∞, 0 ∪ ln 3, ∞). Odtud
(1, ∞) ∩ [(−∞, 0 ∪ ln 3, ∞)] = ln 3, ∞).
II. x < 1: e2x
−4 ex
+3 ≤ 0; ex
∈ 1, 3 ⇔ x ∈ 0, ln 3 a (−∞, 1) ∩
0, ln 3 = 0, 1).
D = {1} ∪ ln 3, ∞) ∪ 0, 1) = 0, 1 ∪ ln 3, ∞).
Příklad 1.9. Určete definiční obor a obor hodnot funkce:
a)
y =
√
x − 2 + 2
b)
y =
x2
x2 − 1
c)
y =
x
1 + x
Řešení. a) D = 2, ∞), H = 2, ∞)
b) D = (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞), H = (−∞, 0 ∪ (1, ∞)
c) D = (−∞, −1) ∪ 0, ∞), H = 0, 1) ∪ (1, ∞)
Příklad 1.10. Nakreslete grafy funkcí y = xn
pro n ∈ N a n ∈ Z.
Příklad 1.11. Nakreslete grafy funkcí y = 8x − 2x2
, y = 1
2
x2
+ x + 1.
6
Příklad 1.12. Rozhodněte, zda některá z následujících funkcí je sudá nebo
lichá:
sin x2
; cotg x; 2|x|
;
cos x
x
; [x3
];
√
x; x4
− 1; − 3
√
x; loga(x +
√
x2 + 1)
Příklad 1.13. Nalezněte nejmenší periodu funkcí sin 1
3
x, cotg ax (a > 0),
cos2
2x.
Řešení. 6π, π
a
, π
2
Příklad 1.14. Určete intervaly, na nichž jsou monotonní funkce | sin x|,
x + |x|, 21/x
.
Příklad 1.15. Určete složky a definiční obor funkcí
√
cos x, log tg 2x,
x + 1
x − 1
.
Příklad 1.16. Nalezněte inverzní funkce k funkcím
y1 =
2x − 1
3x + 5
, y2 = 10x−3
, y3 =
1
x
, y4 = 23x−1
, y5 = x + [x].
Řešení.
y−1
1 =
5x + 1
2 − 3x
, y−1
2 = log10 x + 3, y−1
3 =
1
x
, y−1
4 =
1
3
(log2 x + 1).
Příklad 1.17. Určete maximální definiční obor a obor hodnot funkce y =√
4 − x2 a nakreslete její graf. [D = −2, 2 , H = 0, 2 ]
Příklad 1.18. Určete maximální definiční obor funkce y = cotg x a nakreslete
její graf. [D = {x ∈ (−∞, ∞) : x = kπ, k ∈ Z}]
Příklad 1.19. Nakreslete graf funkce
y =



1 pro x ∈ (−7, −6 ;
0 pro x ∈ (−5, 0);
x pro x ∈ 0, 4);
x − 3 pro x ∈ 4, ∞).
U takto dané funkce máme definiční obor zadán. Jaká je to v tomto případě
množina? [D = (−7, −6 ∪ (−5, ∞)]
7
Příklad 1.20. Určete, které z funkcí v příkladech 1.17 - 1.19 jsou ohraničené,
sudé, liché, periodické. Určete intervaly, na nichž jsou tyto funkce monotonní
a ryze monotonní.
Příklad 1.21. Najděte periodickou funkci y = f(x) s periodou p = 2 takovou,
že na intervalu 0, 2) je f(x) = g(x), kde
g(x) =
0 pro x ∈ 0, 1);
1 − x pro x ∈ 1, 2).
Nakreslete graf této funkce.
Řešení.
f(x) =
0 pro x ∈ 2k, 2k + 1);
2k + 1 − x pro x ∈ 2k + 1, 2(k + 1)),
kde k ∈ Z je libovolné.
Příklad 1.22. Najděte lichou periodickou funkci s periodou 2π a definičním
oborem D = (−∞, ∞), která je na intervalu (0, π) rovna 1. Nakreslete graf.
Řešení.
f(x) =



−1 pro x ∈ ((2k − 1)π, 2kπ);
0 pro x = kπ;
1 pro x ∈ (2kπ, (2k + 1)π),
kde k ∈ Z. Tuto funkci lze také zapsat takto:
f(x) = sgn(sin x).
Příklad 1.23. Nakreslete graf funkce:
1. y = |x2
− 3x + 2|
2. y = 2|x + 1| − |3x + 8| + 3
8
2 Podmnožiny množiny R a jejich vlastnosti
Příklad 2.1. Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí:
1. (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
2. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
Řešení. 1. ”⊆”: x ∈ (A ∪ B) ∩ C ⇒ x ∈ A ∪ B, x ∈ C ⇒ x ∈ A ∨ x ∈
B, x ∈ C ⇒ x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
”⊇”: x ∈ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ⇒ x ∈ A ∩ C ∨ x ∈ B ∩ C ⇒ x ∈ A ∨ x ∈
B, x ∈ C ⇒ x ∈ A ∪ B, x ∈ C ⇒ x ∈ (A ∪ B) ∩ C
2. ”⊆”: x ∈ (A ∩ B) ∪ C ⇒ x ∈ A ∩ B ∨ x ∈ C ⇒ (x ∈ A, x ∈ B) ∨ x ∈
C ⇒ x ∈ A ∪ C, x ∈ B ∪ C ⇒ x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
”⊇”: x ∈ (A ∪ C) ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∪ C, x ∈ B ∪ C ⇒ x ∈ C ∨ x ∈
A ∩ B ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ C
Příklad 2.2. Dokažte, že pro libovolné množiny A, B a C platí:
(A ∩ B) C = (A C) ∩ (B C)
Řešení. ”⊆”: x ∈ (A ∩ B) C ⇒ x ∈ A ∩ B, x /∈ C ⇒ x ∈ A, x ∈ B, x /∈
C ⇒ x ∈ A C, x ∈ B C ⇒ x ∈ (A C) ∩ (B C)
”⊇”: x ∈ (A C) ∩ (B C) ⇒ x ∈ A C, x ∈ B C ⇒ x ∈ A, x /∈ C, x ∈
B ⇒ x ∈ A ∩ B, x /∈ C ⇒ x ∈ (A ∩ B) C
Příklad 2.3. Určete (pokud existují) sup M, inf M, max M, min M:
1. M = {0, −1, 2, 5, 6, 8}
2. M = {1
n
: n = 1, 2, 3, . . .}
3. M = {n2
− 2n + 1 : n ∈ Z}
4. M = 0, 1)
Řešení. 1. max M = sup M = 8, min M = inf M = −1
2. max M = sup M = 1, inf M = 0, min M neexistuje
3. max M neexistuje, sup M neexistuje, min M = inf M = 0
9
4. max M neexistuje, sup M = 1, min M = inf M = 0
Příklad 2.4. Dokažte tvrzení: Buď M = ∅, M ⊆ R a nechť a ∈ R. Pak
a = sup M ⇔1) x ≤ a ∀x ∈ M
2) ∀ǫ > 0 ∃x1 ∈ M : x1 > a − ǫ
Řešení. ”⇒”: a = sup M ⇒ x ≤ a ∀x ∈ M, čili platí 1). Předpokládejme, že
2) neplatí. Pak existuje ǫ0 > 0 tak, že ∀x ∈ M je x ≤ a − ǫ0. Tedy a − ǫ0 je
horní závora množiny M, zároveň a = sup M ⇒ a ≤ a − ǫ0, spor. Platí tedy
i 2).
”⇐”: Nechť platí 1) a 2). Pak podle definice určitě platí sup M ≤ a. Předpokládejme,
že sup M < a. Položme ǫ = a − sup M > 0. Z 2) plyne, že
∃x1 ∈ M : x1 > a − ǫ = sup M, spor. Tedy sup M = a.
Příklad 2.5. Dokažte pro libovolné podmnožiny A, B množiny R a libovolná
reálná čísla a, b, c:
1. a = max M ⇒ a = sup M
2. A ⊆ B ⇒ sup A ≤ sup B
3. A ⊆ B ⇒ inf A ≥ inf B
4. sup(A ∪ B) = max{sup A, sup B}
5. inf(A ∪ B) = min{inf A, inf B}
6. sup(A ∩ B) ≤ min{sup A, sup B}
7. inf(A ∩ B) ≥ max{inf A, inf B}
8. min{a, b} = 1
2
(a + b − |a − b|)
9. max{a, b} = 1
2
(a + b + |a − b|)
10. |a| = max{a, −a} = − min{a, −a}
11. min{a, max{b, c}} = max{min{a, b}, min{a, c}}
12. max{a, min{b, c}} = min{max{a, b}, max{a, c}}
10
Řešení. 1. a = max M ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ M] ∧ a ∈ M ⇒ [x ≤ a ∀x ∈
M] ∧ [(b ∈ R, x ≤ b ∀x ∈ M) ⇒ a ≤ b] ⇒ a = sup M
2. Označme a = sup A, b = sup B. Pak platí: b = sup B ⇒ x ≤ b ∀x ∈
B ⇒ x ≤ b ∀x ∈ A ⇒ a ≤ b, neboť a = sup A.
3. analogicky
4. Označme a = sup A, b = sup B, c = sup(A∪B), d = max{sup A, sup B}.
Pak platí:
” ≤ ”: x ∈ (A ∪ B) ⇒ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∨ [x ≤
b ∀x ∈ B] ⇒ [x ≤ a ≤ d ∀x ∈ A] ∨ [x ≤ b ≤ d ∀x ∈ B] ⇒ x ≤ d ∀x ∈
(A ∪ B) ⇒ c ≤ d
” ≥ ”: d = max{a, b} ⇒ d = a∨d = b ⇒ d ≤ c∨d ≤ c podle 2 ⇒ d ≤ c
5. analogicky
6. Označme a = sup A, b = sup B, c = sup(A∩B), d = min{sup A, sup B}.
Pak platí:
x ∈ (A ∩ B) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ B ⇒ [x ≤ a ∀x ∈ A] ∧ [x ≤ b ∀x ∈ B] ⇒
[x ≤ a ∀x ∈ (A ∩ B)] ∧ [x ≤ b ∀x ∈ (A ∩ B)] ⇒ x ≤ d ∀x ∈ (A ∩ B) ⇒
c ≤ d
7. analogicky
8. a ≥ b : 1
2
(a + b − |a − b|) = b = min{a, b}
a < b : 1
2
(a + b − |a − b|) = a = min{a, b}
9. analogicky
10. plyne z předchozích dvou
11. a ≥ b ∧ a ≥ c : max{min{a, b}, min{a, c}} = max{b, c} =
= min{a, max{b, c}}
a < b ∧ a < c : max{min{a, b}, min{a, c}} = max{a, a} = a =
= min{a, max{b, c}}
a ≥ b ∧ a < c : max{min{a, b}, min{a, c}} = max{b, a} = a =
= min{a, max{b, c}}
a < b ∧ a ≥ c : max{min{a, b}, min{a, c}} = max{a, c} = a =
= min{a, max{b, c}}
11
12. analogicky
Příklad 2.6. Určete množiny dané těmito výrazy:
1. (1, ∞) ∩ (−1, 2 [(1, 2 ]
2. (0, ∞) (−1, 2) [ 2, ∞)]
3. ((−∞, −2) ∪ −2, 0)) ∪ 0, ∞) [(−∞, ∞)]
4. −1, 5 ∩ 5, 100 [{5}]
5. −1, 10 ∩ 15, 20 [∅]
6. −1, 4)′
[(−∞, −1) ∪ 4, ∞)]
7. 1, 5) (0, 5 [∅]
Příklad 2.7. Za předpokladu existence daných výrazů dokažte:
1.
sup
x∈A
[−f(x)] = − inf
x∈A
f(x)
2.
inf
x∈A
[−f(x)] = − sup
x∈A
f(x)
3.
sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x)
4.
inf
x∈A
[f(x) + g(x)] ≥ inf
x∈A
f(x) + inf
x∈A
g(x)
5. V 3 a 4 nelze nerovnosti nahradit rovnostmi.
Řešení. 1.
sup
x∈A
[ − f(x)] = c ⇒
⇒ [−f(x) ≤ c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, −f(x) ≤ b ∀x ∈ A) ⇒ c ≤ b]
⇒ [f(x) ≥ −c ∀x ∈ A] ∧ [(b ∈ R, f(x) ≥ −b ∀x ∈ A) ⇒ −c ≥ −b]
⇒ inf
x∈A
f(x) = −c ⇒ sup
x∈A
[−f(x)] = c = − inf
x∈A
f(x)
12
2. analogicky
3.
f(x) ≤ sup
x∈A
f(x), g(x) ≤ sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A
⇒ f(x) + g(x) ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x) ∀x ∈ A
⇒ sup
x∈A
[f(x) + g(x)] ≤ sup
x∈A
f(x) + sup
x∈A
g(x)
4. analogicky
5. Stačí uvážit funkce f(x) = sin x a g(x) = cos x a množinu A = 0, π
2
.
Příklad 2.8. Dokažte:
1. max{x : x = n
n+1
, n = −1, n ∈ Z} = 2
2. sup{x : x = n
n+1
, n ∈ N} = 1
3. inf{x : x = 1
n2+1
, n ∈ Z} = 0
4. max{x : x = 1
n2+1
, n ∈ Z} = 1
5. sup(A ∪ B ∪ C) = 1, jestliže A = {x : x = n2
n2+1
, n ∈ Z},
B = {x : x = 1
n
, n ∈ N}, C = {x : x = n−3
2n+1
, n ≥ 0}
Řešení. 1. Pro n = −2 je x = −2
−1
= 2. Dále | n
n+1
| = |1 − 1
n+1
| ≤
≤ 1 + | 1
n+1
| ≤ 2 pro všechna n ∈ Z, n = −1.
2. Platí n
n+1
≤ n+1
n+1
= 1 pro n ∈ N. Dále buď ǫ > 0 libovolné. Zvolíme=li
n ∈ N, n > 1
ǫ
, pak
n
n + 1
=
1
1 + 1/n
> 1 −
ǫ
1 + ǫ
> 1 − ǫ.
3. Platí 1
n2+1
≥ 0 pro n ∈ Z. Dále buď ǫ > 0 libovolné. Zvolíme=li n ∈ N,
n > 1√
ǫ
, pak
1
n2 + 1
≤
1
1/ǫ + 1
=
ǫ
1 + ǫ
< ǫ.
4. Platí 1
n2+1
≤ 1 pro n ∈ Z. Pro n = 0 platí x = 1
0+1
= 1.
13
5. sup(A ∪ B ∪ C) = sup((A ∪ B) ∪ C) = max{sup(A ∪ B), sup C} =
max{max{sup A, sup B}, sup C} = max{sup A, sup B, sup C}. Protože
sup A = 1, sup B = 1 a sup C = 1
2
, je sup(A ∪ B ∪ C) = 1.
14
3 Polynomy, racionální funkce
Příklad 3.1. Proveďte dělení polynomů (se zbytkem, pokud vyjde):
1. (x8
− x5
− x4
+ 3x3
− 2x2
+ 1) : (x2
− x + 1) [x4
− 2x2
+ x + 1]
2. (2x6
−7x5
+6x4
−3x3
−x2
−2x+1) : (x2
−3x+1) [2x4
−x3
+x2
+x+1]
3. (x6
+ x5
− 3x4
− 4x3
+ x2
+ 3x + 1) : (x3
− 2x − 1) [x3
+ x2
− x − 1]
4. (2x4
− 3x3
+ 4x2
− 5x + 6) : (x2
− 3x + 1) [2x2
+ 3x + 11, 25x − 5]
5. (x3
− 3x2
− x − 1) : (3x2
− 2x + 1) [1
9
(3x − 7), 1
9
(−26x − 2)]
Příklad 3.2. Pomocí Hornerova schématu proveďte dělení se zbytkem:
1. (x4
− 2x3
+ 4x2
− 6x + 8) : (x − 1) [x3
− x2
+ 3x − 3, 5]
2. (2x5
− 5x3
− 8x) : (x + 3) [2x4
− 6x3
+ 13x2
− 39x + 109, −327]
Příklad 3.3. Pomocí Hornerova schématu vypočtěte hodnotu polynomu P(x)
v bodě x0:
1. P(x) = x4
− 3x3
+ 6x2
− 10x + 16, x0 = 4 [136]
2. P(x) = x5
− 4x3
+ 6x2
− 8x + 10, x0 = 2 [18]
Příklad 3.4. Dokažte: Nechť P(x) = a0xn
+ a1xn−1
+ . . . + an−1x + an je
polynom s celočíselnými koeficienty (tedy a0, . . . an ∈ Z) a nechť α = p
q
,
p, q ∈ Z, q = 0, p a q nesoudělná, je kořenem polynomu P(x). Pak p|an a
q|a0.
Řešení. α je kořen P(x) ⇒ 0 = P(α) = a0(p
q
)n
+ · · · + an−1(p
q
) + an. Protože
q = 0, platí 0 = a0pn
+ a1pn−1
q + . . . + an−1pqn−1
+ anqn
. Výsledek plyne z
následujících dvou zápisů předchozí rovnice:
−anqn
= a0pn
+ a1pn−1
q + . . . + an−1pqn−1
a
−a0pn
= a1pn−1
q + . . . + an−1pqn−1
+ anqn
.
Příklad 3.5. Rozložte polynom v reálném oboru:
15
1. 2x3
+ 9x2
+ 3x − 4 [(x + 1)(x + 4)(2x − 1)]
2. x5
− 3x4
+ 2x3
+ x2
− 3x + 2 [(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x2
− x + 1)]
3. x4
+ 2x3
− 13x2
− 38x − 24 [(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x − 4)]
4. x3
− 6x2
+ 11x − 6 [(x − 1)(x − 2)(x − 3)]
5. x5
− 6x4
+ 13x3
− 14x2
+ 12x − 8 [(x2
+ 1)(x − 2)3
]
6. x5
+ x2
[x2
(x + 1)(x2
− x + 1)]
7. x4
− 15x3
+ 83x2
− 359x + 290 [(x − 1)(x − 10)(x2
− 4x + 29)]
8. x3
− 4x2
+ x + 6 [(x − 3)(x − 2)(x + 1)]
9. x3
+ 8x2
+ 15x + 18 [(x + 6)(x2
+ 2x + 3)]
10. x3
+ 1 [(x + 1)(x2
− x + 1)]
11. x3
− 1 [(x − 1)(x2
+ x + 1)]
12. x4
− 1 [(x − 1)(x + 1)(x2
+ 1)]
13. x4
+ 1 [(x2
+
√
2x + 1)(x2
−
√
2x + 1)]
14. x4
− 4 [(x −
√
2)(x +
√
2)(x2
+ 2)]
15. x4
+ 4 [(x2
+ 2x + 2)(x2
− 2x + 2)]
16. x5
+ 1 [(x + 1)(x2
− 1+
√
5
2
x + 1)(x2
− 1−
√
5
2
x + 1)]
17. x5
− 1 [(x − 1)(x2
+ 1+
√
5
2
x + 1)(x2
+ 1−
√
5
2
x + 1)]
18. x6
+ 1 [(x2
+ 1)(x2
−
√
3x + 1)(x2
+
√
3x + 1)]
19. x6
− 1 [(x − 1)(x + 1)(x2
− x + 1)(x2
+ x + 1)]
20. x4
+ x2
− 2 [(x − 1)(x + 1)(x2
+ 2)]
21. x4
− x3
+ 2x2
− x + 1 [(x2
− x + 1)(x2
+ 1)]
22. x3
+ x2
+ x + 1 [(x + 1)(x2
+ 1)]
16
23. x4
+ x3
+ 2x2
+ x + 1 [(x2
+ x + 1)(x2
+ 1)]
24. x4
+ x3
+ x + 1 [(x + 1)2
(x2
− x + 1)]
Příklad 3.6. Určete znaménko racionální funkce na jejím definičním oboru:
1.
x2
− 7x + 10
(x − 3)(x + 2)(x + 5)
2.
(x − 4)4
(x − 1)3
(x2
+ 2)5
(x + 2)(x + 3)6(x2 − 2x + 2)3
3.
x5
(x − 3)(x2
+ 1)3
(x − 1)4(x + 5)5(x − 2)(x2 + 4)5
Příklad 3.7. Zapište neryzí racionální funkci jako součet polynomu a ryzí
racionální funkce:
1.
2x5
− 3x3
+ 4x2
+ x + 2
x2 + x − 2
[2x3
− 2x2
+ 3x − 3 +
10x − 4
x2 + x − 2
]
2.
x4
+ 2x3
− 10x2
+ 22x − 71
x2 + 2x − 15
[x2
+ 5 +
12x + 4
x2 + 2x − 15
]
3.
x5
− x4
+ 6x2
+ x − 2
x4 − 2x3
[x + 1 +
2x3
+ 6x2
+ x − 2
x4 − 2x3
]
Příklad 3.8. Rozložte racionální funkci na parciální zlomky:
1.
12x + 7
x2 − 9x + 18
[
−43
3
1
x − 3
+
79
3
1
x − 6
]
2.
7x + 2
x3 + 8
[
−1
x + 2
+
x + 3
x2 − 2x + 4
]
17
3.
1
x3(x + 1)
[
1
x
−
1
x2
+
1
x3
−
1
x + 1
]
4.
−x5
+ 2x4
− 2x3
+ 2x2
− x + 1
x4(x2 + 1)
[
1
x4
−
1
x3
+
1
x2
−
1
x
+
1
x2 + 1
]
5.
x2
− x + 10
(x2 − 3x + 10)2
[
1
x2 − 3x + 10
+
2x
(x2 − 3x + 10)2
]
6.
−2x2
+ 21x + 35
(x − 3)(x + 2)(x + 5)
[
2
x − 3
+
1
x + 2
−
5
x + 5
]
7.
x + 1
(x2 + 1)(x3 + x)
[
1
x
−
x
x2 + 1
+
−x + 1
(x2 + 1)2
]
8.
3x2
+ x − 1
(x − 1)(x2 + x − 2)
[
2
x − 1
+
1
(x − 1)2
+
1
x + 2
]
9.
−x3
− 2x − 1
x2(x2 − 1)
[
1
x2
+
2
x
+
−2
x − 1
+
−1
x + 1
]
10.
3x5
+ 5x4
+ 3x3
+ 8x2
− 2x + 7
(x2 − 1)(x2 + 1)2
[
2x
x2 + 1
+
x − 2
(x2 + 1)2
+
3
x − 1
+
−2
x + 1
]
11.
6x4
− 8x3
− 2x2
− 5x + 3
x(x3 − 1)(x − 1)
[
3
x
+
1
x − 1
+
−2
(x − 1)2
+
2x + 1
x2 + x + 1
]
12.
2x4
− 2x3
+ x2
+ 1
(x − 1)2(x2 − x + 1)2
[
2
(x − 1)2
+
2x − 1
(x2 − x + 1)2
]
18
13.
x2
x4 − 16
[
1
8(x − 2)
−
1
8(x + 2)
+
1
2(x2 + 4)
]
14.
1
x4 + 4
[
x + 2
8(x2 + 2x + 2)
−
x − 2
8(x2 − 2x + 2)
]
15.
x2
x6 + 27
[
1
18
1
x2 + 3x + 3
+
1
x2 − 3x + 3
−
2
x2 + 3
]
16.
x
(x + 1)(x2 + 1)2
[
x − 1
4(x2 + 1)
+
x + 1
2(x2 + 1)2
−
1
4(x + 1)
]
17.
2x − 1
x(x + 1)2(x2 + x + 1)2
[
7
x + 1
−
1
x
+
3
(x + 1)2
−
6x + 2
x2 + x + 1
−
3x + 2
(x2 + x + 1)2
]
18.
1
(x4 − 1)2
[
1
16
1
(x − 1)2
−
3
x − 1
+
1
(x + 1)2
+
3
x + 1
+
1
4(x2 + 1)
+
1
4(x2 + 1)2
]
19.
x
x3 + 1
[
1
3
x + 1
x2 − x + 1
−
1
x + 1
]
20.
3x3
+ 6x2
− 38x + 20
x4 − x3 − 4x2 + 4x
[
5
x
+
3
x − 1
−
1
x − 2
−
4
x + 2
]
21.
x4
+ 6x2
+ x − 2
x4 − 2x3
[1 +
5
x − 2
+
1
x3
−
3
x
]
22.
x − 1
x4 + 3x2 + 2
[
x − 1
x2 + 1
−
x − 1
x2 + 2
]
23.
1
x4 + 1
[
1
4
√
2x + 2
x2 +
√
2x + 1
−
√
2x − 2
x2 −
√
2x + 1
]
19
4 Pojem limity funkce - vlastní limita
Příklad 4.1. Dokažte, že pro funkce f(x), g(x), h(x), libovolné konstanty
a, b ∈ R a x, x0 ∈ R platí:
1.
lim
x→x0
(a · f(x)) = a · lim
x→x0
f(x)
2.
lim
x→x0
[f(x) ± g(x)] = lim
x→x0
f(x) ± lim
x→x0
g(x)
3.
lim
x→x0
[f(x) · g(x)] = lim
x→x0
f(x) · lim
x→x0
g(x)
4. Pokud
lim
x→x0
g(x) = 0 ⇒ lim
x→x0
f(x)
g(x)
=
limx→x0 f(x)
limx→x0 g(x)
5. Jestliže ∃P(x0) tak, že f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) ∀x ∈ P(x0), pak
lim
x→x0
f(x) = lim
x→x0
h(x) = L ⇒ lim
x→x0
g(x) = L
Příklad 4.2. Dokažte, že platí:
lim
x→0
sin x
x
= 1.
Příklad 4.3. Vypočítejte limity:
1. lim
x→2
x2
+ 5
x2 − 3
[9] 2. lim
x→0
x3
− 3x + 1
x − 4
[−
1
4
] 3. lim
x→2
x2
− 4x + 1
2x + 1
[−
3
5
]
4. lim
x→1
x
2 − x
[1] 5. lim
x→π/4
1 + sin 2x
1 − cos 4x
[1] 6. lim
x→−1
x2
− x − 2
x3 + 1
[−1]
7. lim
x→−2
3x + 6
x3 + 8
[
1
4
] 8. lim
x→−1
x3
− 2x − 1
x4 + 2x + 1
[−
1
2
] 9. lim
x→−1
x3
− 3x − 2
x2 − x − 2
[0]
10. lim
x→1
x2
− 2x + 1
2x2 − x − 1
[0] 11. lim
x→5
x2
− 7x + 10
2x2 + 2x − 60
[
3
22
] 12. lim
x→2
x3
− 5x2
+ 8x − 4
x3 − 3x2 + 4
[
1
3
]
20
13. lim
x→−3
x2
+ 2x − 3
x3 + 4x2 + 3x
[−
2
3
] 14. lim
x→0
(1 + x)3
− (1 + 3x)
x2 + x5
[3]
15. lim
x→3
9 − x2
√
3x − 3
[−12] 16. lim
x→4
√
1 + 2x − 3
√
x − 2
[
4
3
] 17. lim
x→−8
√
1 − x − 3
2 + 3
√
x
[−2]
18. lim
x→16
4
√
x − 2
√
x − 4
[
1
4
] 19. lim
x→−2
3
√
x − 6 + 2
x + 2
[
1
12
] 20. lim
x→0
3
√
8 + 3x + x2 − 2
x + x2
[
1
4
]
21. lim
x→0
√
1 + x −
√
1 − x
7
√
x
[0] 22. lim
x→−8
10 − x − 6
√
1 − x
2 + 3
√
x
[0]
23. lim
x→0
sin 3x
x
[3] 24. lim
x→0
tg 5x
3x
[
5
3
] 25. lim
x→0
sin 3x
tg x
[3]
26. lim
x→0
1 − cos2
x
x2
[1] 27. lim
x→0
arctg x
x
[1] 28. lim
x→0
2x − arcsin x
2x + arctg x
[
1
3
]
29. lim
x→0
2 arcsin x
3x
[
2
3
] 30. lim
x→0
tg x − sin x
x3
[
1
2
] 31. lim
x→0
1 + sin x − cos x
1 − sin x − cos x
[−1]
32. lim
x→π/2
1 − sin x
(π/2 − x)2
[
1
2
] 33. lim
x→π/2
π
2
− x tg x [1] 34. lim
x→0
1
sin x
−
1
tg x
[0]
35. lim
x→π
1 − cos3
x
4x2
[
1
2π2
] 36. lim
x→π
1 + cos 3x
sin2
7x
[
9
98
] 37. lim
x→0
3x2
− 5x
sin 3x
[
−5
3
]
38. lim
x→1
1 + cos(πx)
tg2
(πx)
[
1
2
] 39. lim
x→−1
x3
+ 1
sin(x + 1)
[3] 40. lim
x→3
3
√
5 + x − 2
sin(πx)
[−
1
12π
]
41. lim
x→1
1 − x2
sin(πx)
[
2
π
] 42. lim
x→0
√
4 + x − 2
3 arctg x
[
1
12
] 43. lim
x→0
arcsin 3x
√
2 + x −
√
2
[6
√
2]
44. lim
x→π/4
cos x − sin x
cos 2x
[
√
2
2
] 45. lim
x→0
sin 3x
sin 2x
+
1
1 + cos x
[2]
46. lim
x→−2
tg(πx)
x + 2
[π] 47. lim
x→0
1 − cos 2x
cos 7x − cos 3x
[−
1
10
]
Příklad 4.4. Je dána funkce f a reálná čísla x0 a ǫ. Vypočítejte limitu
L = limx→x0+ f(x) a najděte číslo δ > 0 takové, že pro všechna x ∈ P+
δ (x0)
je f(x) ∈ Oǫ(L):
21
1. f(x) = sin x√
x
, x0 = 0, ǫ = 10−2
[L = 0, δ = 10−5
]
2. f(x) = 10
√
x
, x0 = 0, ǫ = 10−2
[L = 1, δ = 10−3
]
3. f(x) = 1 + 1
ln x
, x0 = 0, ǫ = 10−1
[L = 1, δ = e−10
]
22