Jméno a příjmení: Příklad číslo: 1 2 3 Počet bodů: Příklad 1. Martin a Honza chtějí komunikovat šifrou El Gamal navrženou podle protokolu pánu Diffieho a Hellmana. Domluvili se na cyklické grupě Z+ 41 a Martin si náhodně zvolil generátor grupy 11 a číslo 10 a zveřejnil trojici (Z41, 11, A), kde A 1110 (mod 41). Honza mu pošle veřejně dvojici (22, 6). Jakou zprávu Honza poslal? Řešení. A = 9 (k dekódování není třeba). Zprávu Z dostaneme jako Z (6/2210 ) (mod 41). Spočtěme nejprve 2210 222 (222 )2 ((222 )2 ) (-8) (-8)2 (-8)2 (-8) 23 23 -9 (mod 41), (-9)-1 = 9, Z = 9 6 13 (mod 41). 2 Příklad 2. Stanovte hodnotu parametru a R tak, aby funkce f(x) = 0 pro x 0 ax2 pro 0 < x < 3 0 pro x 3 zadávala hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Určete distribuční funkci, hustotu pravděpodobnosti a střední hodnotu rozdělení objemu krychle, jejíž délka hrany je náhodná veličina s hustotou pravděpodobnosti danou funkcí f. Řešení. Jednoduše a = 1 9 . Distribuční funkce náhodné veličiny X je tedy FX(t) = 1 27 t3 pro t (0, 3), pro menší t je tato funkce nulová, pro větší rovna 1. Označme Z = X3 náhodnou veličinu označující objem krychle. Ten je v intervalu (0, 27), pro t (0, 27) a distribuční funkci FZ náhodné veličiny Z tedy můžeme psát FZ(t) = P[Z < t] = P[X3 < t] = P[X < 3 t] = FX( 3 t) = 1 27 t, hustota pravděpodobnosti je pak fZ(t) = 1 27 na intervalu (0, 27), jinak nula, jedná se tedy o rovnoměrné rozdělení pravděpodobnosti na daném intervalu, střední hodnota je tudíž 13, 5. 2 Příklad 3. Pomocí přiložené tabulky distribuční funkce standardního normálního rozdělení určete pravděpodobnost, že při 1600 hodech mincí bude rozdíl mezi počtem padlých hlav a orlů alespoň 82. Standard Normal Distribution Table 0 z z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09 0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359 0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753 0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141 0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517 0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879 0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224 0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549 0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852 0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133 0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389 1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621 1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830 1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015 1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177 1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319 1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441 1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545 1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633 1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706 1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767 2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817 2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857 2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890 2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916 2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936 2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952 2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964 2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974 2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981 2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986 3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990 3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993 3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995 3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997 3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998 3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 Gilles Cazelais. Typeset with LATEX on April 20, 2006. Řešení. Označíme-li jako X náhodnou veličinu udávající počet padlých hlav, tak X má binomické rozložení pravděpodobnosti Bi(1600, 1/2) (se střední hodnotou 800 a směrodatnou odchylkou 20) a tudíž lze distribuční funkci veličiny X-800 20 lze pro dané velké n = 1600 podle Moivreovy-Laplaceovy věty velmi dobře odhadnout jako distribuční funkci standardního normálního rozdělení. Hledaná pravděpodobnost je tedy P = 1 - P[759 X 841] = 1 - P[-2, 05 X - 800 20 2, 05] . = 2(-2, 05) . = 0, 0404, kde poslední hodnotu jsme zjistili z přiložené tabulky. 2