86


Příloha A: Přehled rodne,,, „„lnul,,,,,h veličin
Přehled rozložení náhodných veličin
V tomto přehledu jsou uvedeny vzorce pro pravděpodobnostní funkce, respektive hustoty pravděpodobnosti náhodných veličin, dále pro jejich střední hodnoty, rozptyly a popřípadě kovariance. Pro názornost uvádíme též grafy pravděpodobnostních funkcí či hustot pravděpodobnosti. V explicitním vyjádření některých hustot se vyskytuje funkce gama, která se v základním kursu matematické analýzy pro posluchače učitelského studia nepřednáší. Proto uvedeme nejprve její definici a některé vlastnosti. Definice. Buď s > 0. Definujeme T(s) = Je~Hs-ldt. Věta. Funkce V(s) má následující vlastnosti:
(i)  Je spojitá v každém bodě svého definičního oboru a má zde derivaci,
(ii)  T(s + l) = s T(s)
(iii)  Pro každé přirozené n platí T(n) = (n - 1)!
(iv)  r(l) = l,r(l/2) = v^F
(v) 9g£$ = ftř-Hl - t)*-l* prop > 0,9 > 0.                               ;
Vybraná rozložení diskrétních náhodných veličin 1.   Degenerované rozložení Dg{ß)
Náhodná veličina X ~ Dg(ji) nabývá s pravděpodobností 1 pouze konstantní hodnoty /i.
pr
jinak
*<*> = {; ET".*w-*/?w-o
Pravdep. funkce Dg(1)

Příloha A: Přehled ro.-lo.-eni „«hodných veličin
81
2.   Alternativní rozložení A{ů)
Náhodná veličina X ~ A{ů) nabývá pouze hodnot 0 nebo 1, znamenající napr. absenci nebo prezenci nějakého „úspěchu", jehož pravděpodobnost je ů, kde ů € (0,1).                                                                                        J
(l — i?    pro x = 0 #          prox = l,E(X) = ů,D(X) = ů(l-ů)
0          jinak
1
0.75
0.5
0.25
0
-0.25
-0.5
Pravdep. funkce A(0.75)
-1   -0.5   0    0.5    1    1.5    2
3.   Binomické rozložení Bi(n, •&)
Náhodná veličina X ~ Bi(n, ů) udává celkový počet úspěchů v posloup nosti n nezávisle opakovaných pokusů, přičemž v každém z těchto pok
USU
nastává „úspěch" s pravděpodobností ů, kde ů 6 (0,1) a n je přirozené číslo.
n(x}± í Om +#)n-*    pro x = 0,1,..., n 10                           jinak
E{X)		= nů,D(X)=nů(l-ů)			
Pravdep. funkce Bi (5,0.5) 0.6t----— --------				Pravdep. funkce Bi(12,0.3)	
0.4				0.3 -0.2	
0.2		.		0.1	
n		.			.
0.2	r	1   1    Ó   I         A         é         r		0— -0.1 -	
-1     1     3     5     7     9    11    13