88 Príloha A: Přehled rozložená náhodných veličin 4. Geometrické rozložení Ge(ti) Náhodná veličina X ~ Ge{ů) udává celkový počet „neúspěchů", které v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí prvnímu „úspěchu" .Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusu je ů, kde #er(,Qrl);. ,\ ((l-ů)x"d pro x = 0,1,-7r(x) = \0 jinak E(X) = (1 - é)/ů, D(X) = (1 - #)/ti2 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 Pravdep. funkce Ge(0.25) Pravdep. funkce Ge(0.9) 1 1 3 5 7 9 11 1 1 3 5 7 9 11 5. Pascalovo rozložení Ps(k,ů) Náhodná veličina X ~ Ps(k, ů) udává celkový počet „neúspěchů", která v nekonečné posloupnosti nezávislých opakovaných pokusů předcházejí k-tému „úspěchu". Pravděpodobnost „úspěchu" v každém pokusuje ů, ů C (0,1), k je přirozené číslo. Pro k = 1 dostaneme geometrické rozložení. í (x+k-1)(l-ů)xůk pro x = 0,1,... jinak £(X) = fe(i - é)/ý, D(X) = fe(l - tf)/tf2 Pravdep. funkce Ps(3,0.25) 0.11 0.08 0.06 0.04 0.02 0 -0.02 1 8 11 14 0.18 0.14 0.1 0.06 0.02 -0.02 Pravdep. funkce Ps(5,0.5) 1 1 11 14 89 Příloha A: Přehled n>;lo?cni náhodných veličin__________________ 6. Hypergeometrické rozložení Hg(N, M, n) V souboru JV prvků je M prvků označeno (M < JV). Ze souboru náhodně vybereme n prvků bez vracení (n < JV). Náhodná veličina X ~ Hg(N, M, n) udává počet vybraných označených prvků. {x).-. I pro x = max{0,M-JV + n},...,min{n,M} Cn) 0 jinak h\x) = -wiVy*) - ~w y- n) n-\ Pravdep. funkce Hg(10,7,5) 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 -10 12 3 4 5 6 7. Vícerozměrné hypergeometrické rozložení Hg{N,Ml,...,Mk,n) Náhodný vektor (Xu ..., Xk) ~ Hg(N, Mu -, Mk,n) udává počet prvků prvního až fc-tého druhu ve výběrovém souboru bez opakování o rozsahu n, který jsme vylosovali ze základního souboru rozsahu JV, který se skládá z Mi prvků prvního druhu atd., až z Mk prvků fc-tého druhu, přičemž Mi + ... + Mfc = JV. Čísla JV, Mi,..., Mk, n jsou přirozená. (%)-(%) Tľľ proxi € {0,l,...,n},...,xfe € {0,l,...,n},xi + rc(xi,...,Xk) = + Xfc = n 7r(xi,...,Xfc) = 0 jinak Pro každé i G {1,..., fc} platí: E(Xi) = *#S D« = BM (! _ M) _ Pro každé i € {1, •■■, fc},j G {1, ...,*:}, i < j platí: ClAi.Xj) a/ A/ A/ i JV-n 90 Příloha A: Přehled rozU tieni n „hadii.yili veliein 8. Rovnoměrné diskrétní rozložení Rd(G) Náhodný vektor (Xu ...,X„) ~ Mß) ™hý™ se steJnou PravděPodob-ností každé z hodnot v konečné množině G Q Rn. 7T^i,...,XnJ |0 jinak Ve speciálním jednorozměrném případě dostáváme pro G = {0,1, ...,6-1}, kde á je přirozené číslo a tedy card(G) = 5, n(x) = { 1/á pro x = 0, l,...,S - 1 0 jinak £(X) = (5-l)/2,D(X) = (á2-l)/12 Pravdep. funkce Rd({1,2.....10}) 0.18t 0 12345678 9 1011 9. Poissonovo rozložení Po(X) Náhodná veličina X ~ Po{\) udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu, případně v jednotkové oblasti, jestliže k událostem dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. Parametr A > 0 udává střední počet výskytů těchto událostí. 7r(x) = ^e-x pro x = 0,1,... t £(x) = A) q(x) ff A 0 jinak Pravděpodobnostní funkce je tabelována v Příloze B. Příloha A: Přehled ro;lo.-em náhodnýeh eehei.n Pravdep. funkce Po(5) 91 0 2 4 6 8 10 12 14 16 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 Pravdep. funkce Po(0.6) 1 C 112 3 4 5 10. Multinomické rozložení Mu(n,ůi, ...,ůk) Náhodný vektor (Xu-.^X^) ~ Mu(n,ůi,...,ůk) udává celkový počet výsledků prvního až fc-tého druhu, které se nashromáždí v n nezávisle opakovaných pokusech. Předpokládáme, že při každém pokusu nastane výsledek právě jednoho z k možných druhů, a to s pravděpodobností i?i G (0,1), ...,#* G (0,1), přičemž platí ^ + ... + ůk = 1. Čísla n, k jsou přirozená. pro X! G {0,1,..., n],..., xk G {0,1,..., n}, xx + ... + xk = n n(xi,...,x]e) = 0 jinak Pro každé i G {1, ...,n} platí: E(Xi) = ndi,D(Xi) = nůi(l-ůi) Pro každé í G {l,...,k},j € {l,...,k},i dobně jako skalární náhodná veličina v bodě 12. K vyjádření jeho hustoty pravděpodobnosti užijeme maticový zápis. Nechť X = (Xi, ...,Xn)' je náhodný vektor, p = (mi, ...,nn)' je reálný vektor, S = (cTy)"=1 1j=1 je symetrická pozitivně definitní matice. Je li X~ iVn(/*,£),'pak ip(x) = (det(27rE))-1/2 • exp{--(x - ^)'E_1(x - p} pro x e Rn Pro každé i € {1, ...,n} platí E(Xi)=fH,D(Xi) = aii = al Pro každé i € {1, ...,n},j € {l,...,n} platí C(Xi,Xj) — o~ij. Pro n = 2 uvedeme grafy dvou hustot s různými parametry. Zavedeme-li označení au = o-2,a22 = 02,<712 — ^21 = QO~io~2, pak hustotu M„.r A Vil pro x G (()j00) jinak E(X) = eX+T2l\D{X) = e2A+r2(e-2-l) Hustota LN(0,1) -10 1 2 3 4 5 6 Distr. funkce LN (0,1) -10 1 2 3 4 5 6 15. Exponenciální rozložení Ex{\) Náhodná veličina X ~ Ex(\), A > 0 vyjadřuje náhodnou dobu čekání na nějakou událost, která se může dostavit se stejnou šancí každým okamžikem, bez ohledu na dosud pročekanou dobu. Přitom l/A je střední doba čekání. ip(x) = | Ae Ax pro x > 0 0 pro x < 0 E(X) = 1/X,D{X) = 1/X2 Hustota Ex(2) 2.2 1.8< 1.4 1- 0.6 0.2 -0.2 10 12 3 4 5 6 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 Distr. funkce Ex(2) f 1 ( D 1 2 3 4 5 6 16. Erlangovo rozložení Er(k,ö) Náhodná veličina X ~ Er(k, ô), ô > 0 vyjadřuje souln in.oii dobu čekání na fc-tý výskyt nějaké události, která se může dostavit ttv, stejnou šancí 96 Príloha A: ľiihiel rozložení náhodných vel H III každým okamžikem, bez ohledu na předešly průběh čekání. Přitom I/A g střední doba čekání od předešlého výskytu této události, k je přirozené čísli ( (Sx)k-1 r -fe „ TE-ITl °e pro x > 0 ip(x) = < . 0 pro x < 0 E{X) = k/ö,D(X)=k/62 Hustota Er(2,4) Distr. funkce Er(4,2) 10 12 3 4 5 6 -0.2 "-1 0 1 2 3 4 5 6 17. Weibullovo rozložení Wb(ô, e) Náhodná veličina X ~ Wb{5, e) vyjadřuje dobu čekání na nějakou udJ lost, která se každým okamžikem může dostavit se šancí úměrnou mocninní funkci pročekané doby. Přitom čísla í > 0 a e > 0 se nazývají paramHiy měřítka a formy. ^ = / eôx6-1 exp(-óx£) pro x > 0 l 0 pro x < 0 £?P0 = (l/í)r(l/e + 1), D(X) = (l/S2)[T(2/s + 1) - T2(l/s + 1)] Hustota Wb(0.1,3) Distr. funkce Wb(0.1,3) 10 12 3 4 5 6 -0 2H-^-------,-------.-------,-------,-------1 =0.5 0.5 1.5 2.5 3.5 4.5 5.5 PHlofia A: Přehled rodu-nu náhodných veličin 97 L8. Pearsonovo rozložení chí kvadrát x2(v) Náhodné veličiny X ~ x*{v) se užívá v matematické statistice. Para, metr u - 1,2,... nazýváme počtem stupňů volnosti a nejčastěji vyiadřuie počet nezávislých pozorování zmenšený o počet lineárních podmínek na pozorovaní kladených. 0 10 jinak E{X) = v,D(X) = 2v Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Hustota chi-kv(3) -0.5 1.5 3.5 5.5 7 5 Distr. funkce chi-kv(3) 1.5 3.5 5.5 7.5 Hustota chi-kv(10) 10 15 20 25 Distr. funkce chi-kv(10) 10 15 20 25 19. Studentovo rozložení t{y) Náhodné veličiny X ~ *(„) se užívá v matematické statistice. Parametr uoľa ;0zloženľny ^ ^ "^ ľ* ^ f ^ ^ U PearS°" *<*> = fp^1 + *2M-^'2 pro x 6 (_00) oo) n/í x = ° Sf° " - 2' Pr° " = * Střední hodnota neexistuje. D(X) = ,,/(i, - 2) pro i/ > 3, pro V - 1,2 rozptyl neexistuje. 52 98 Příloha A: Přehled rozloženi náhodných veličin Kvantily jsou tabelovány v Příloze B. Speciálním případem Studentova rozložení pro v = 1 je CauchyovO rozložení: VW = 7T(l+^) P10 X e (_°°' °°) E(X) ani D(X) neexistují. Hustota t(3) Distr. funkce t(3) -0.2 -3 -2-10 1 2 3 3-2-10123 0.6 Hustota t(20) 0.4 0.2 0-n 9 -3 -2-10 1 1 0.8 Distr. funkce t(20) 0.6- 0.4 / 0.2 0 ^y 3-2-1 C ) 1 2 3 20. Fisherovo-Snedecorovo rozložení F{vi:v2) Náhodné veličiny X ~ F{vi,v2) se užívá v matematické statistice. Pa-ramtery v\ — 1,2,... a v2 = 1,2,... zvané počet stupňů volnosti čitatele a jmenovatele mají stejný význam jako u Pearsonova rozložení. ip(x) = r[ř>i+i/2)/2K n/1 m/2 (ľl-2)/2 r(i/!/2)r(í/2/2) (IA2+1/ia:)(''i+-'2)/2 Pro x > u' 3, E{X) neexistuje pro v2 = 1, 2. £>P0 = 2i/22(z/! + V2- 2)/[^i(i/2 - 2)2(í/2 - 4)] pro u2 > 5, D(X) neexistuje pro f2 = 1,2,3,4. Kvantily jsou tabelovány v Příloze B.