Popisná statistika Popisná statistika je disciplína, která popisuj e a sumarizuje informace obsažené ve velkém množství dat pomocí tabulek, grafů, funkcionálních a číselných charakteristik. Činí tak pomocí základních matematických operací. Cílem popisné statistiky je zpřehlednit informace „ukryté" v datových souborech. Popisná statistika je velmi důležitá minimálně ze dvou důvodů: - v praxi se často používá (všichni znají takové pojmy, jako je průměr, směrodatná odchylka, tabulka rozložení četností, výsečový graf apod.) - motivuje pojmy, se kterými pak pracuje počet pravděpodobnosti (např. relativní četnost motivuje pravděpodobnost, hustota četnosti motivuje hustotu pravděpodobnosti, průměr motivuje střední hodnotu apod.) Dobré pochopení pojmů popisné statistiky tedy velmi usnadní studium počtu pravděpodobnosti. Základní, výběrový a datový soubor Základním souborem rozumíme libovolnou neprázdnou množinu E. Prvky množiny E značíme s a nazýváme je objekty. Libovolnou n e-prázdnou podmnožinu {sl,..., £n} základního souboru E nazýváme výběrový soubor rozsahu n. Je-li množina G c E, pak symbolem N(G) rozumíme absolutní četnost množiny G ve výběrovém souboru, tj. počet těch objektů množiny G, které patří do výběrového souboru. Relativní četnost množiny G ve výběrovém souboru zavedeme vztahem p(G) = ^ n Ilustrace * * /• * • *\ • * E-základní soubor £-0 bjekt výběrový soubor množina G Příklad Příklad: Základním souborem E je množina všech ekonomicky zaměřených studentů 1. ročníku českých vysokých škol. Množina Gi je tvořena těmi studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z matematiky a množina G2 obsahuje ty studenty, kteří uspěli v prvním zkušebním termínu z angličtiny. Ze základního souboru bylo náhodně vybráno 20 studentů, kteří tvoří výběrový soubor {si,..., &2o}-Z těchto 20 studentů 12 uspělo v matematice, 15 v angličtině all v obou předmětech. Zapište absolutní a relativní četnosti úspěšných matematiků, angličtinářů a oboustranně úspěšných studentů. v Řešení: N(G1) = 12,N(G2) = 15,^ nG2) = ll,n = 20^(0^ = |l = 0,6,p(G2) = ^ = 0,75, p(G, oG2) = —= 0,55 20 Vidíme, že úspěšných matematiků je 60%, angličtinářů 75% a oboustranně úspěšných studentů jen 55%. Relativní četnost Vlastnosti relativní četnosti: Relativní četnost má následujících 12 vlastností, které jsou obdobné vlastnostem procent. . p(0) = O • p(G) > 0 (nezápornost) • P(G)<1 . p(GiuG2) + p(GioG2) = p(Gi) + p(G2) . l+p(GinG2)>p(Gi) + p(G2) . p(Gi u G2) + 0 < p(Gi) + p(G2) (subaditivita) . Gi n G2 = 0 ^> p(Gi u G2) = p(Gi) + p(G2) (aditivita) . p(G2\Gi) = p(G2)-p(GioG2) . Gi c G2 => p(G2 \ Gi) = p(G2) - p(Gi) (subtraktivita) . Gi c G2 => p(Gi) < p(G2) (monotonie) . p(E) = 1 (normovanost) . p(G) + p(g) = 1 (komplementarita) Podmíněná relativní četnost Pokud se v daném základním souboru zajímáme o dvě podmnožiny, můžeme zavést pojem podmíněné relativní četnosti jedné podmnožiny v daném výběrovém souboru za předpokladu, že objekt pochází z druhé množiny. Nechť E je základní soubor, Gi, G2 jeho podmnožiny,{£i •> • • • •> £n j výběrový soubor. Definujeme podmíněnou relativní četnost množiny Gi ve výběrovém souboru za předpokladu G2: p(G1/G2) = ^V^) = £to-)a FV ZJ n(g2) p(g2) podmíněnou relativní četnost G2 ve výběrovém souboru za předpokladu Gi: P(G2/Gi) n(g,) pfo) Príklad Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech vypočtěte podmíněnou relativní četnost úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtinári a podmíněnou relativní četnost úspěšných angličtinářů mezi úspěšnými matematiky. (Připomínáme, že z 20 studentů 12 uspělo v matematice, 15 v angličtině a 11 v obou předmětech.) v Řešení: NCGj) = 12,N(G2) = 15, N^ nG2) = ll,n = 20, p(Gi/G2) = N(G'n(^) = - = 0,73 (tzn., že 73% těch studentů, kteří by- ťV J n(G2) 15 V J li úspěšní v angličtině, uspělo i v matematice) p(G2/Gi) = N(G'nf2)=-= 0,92 (tzn., že 92% těch studentů, kteří byli ťV J NÍGj) 12 V J úspěšní v matematice, uspělo i v angličtině) Cetnostní nezávislost Pojem četnostní nezávislosti dvou množin: O četnostní nezávislosti dvou množin v daném výběrovém souboru hovoříme tehdy, když informace o původu objektu z jedné množiny nijak nemění šance, s nimiž soudíme na jeho původ i z druhé množiny. V příkladě se studenty by množiny úspěšných matematiků a úspěšných angličtinářů byly četnostně nezávislé, pokud podíl úspěšných matematiků mezi úspěšnými angličtinári by byl stejný jako podíl úspěšných matematiků mezi všemi zkoušenými studenty a stejně tak podíl úspěšných angličtinářů mezi úspěšnými matematiky by byl stejný jako podíl úspěšných angličtinářů mezi všemi zkoušenými studenty, tj. n(Gt n G2) = n(Gt) n(Gt n G2) = n(G2) n(G2) n nfo) n Po snadné úpravě dostaneme multiplikativní vztah n(Gi^G^=n(G1) nÍGj tj ^ n0 ) = „(0 ^j ) n n n Řekneme tedy, že množiny Gi, G2 jsou četnostně nezávislé v daném výběrovém souboru, jestliže p(Gj nG2)= p(Gj)p(G2). (V praxi jen zřídka dojde k tomu, že uvedený vztah platí přesně. Většinou je jen naznačena určitá tendence četnostní nezávislosti.) Příklad Příklad: Pro údaje z příkladu o studentech zjistěte, zda úspěchy v matematice a angličtině jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé. (Připomínáme, že oboustranně úspěšných studentů bylo 55%, úspěšných matematiků 60% a úspěšných angličtinářů 75%.) v Řešení: p(Gi o G2) = 0,55, p(G0p(G2) = 0,6x0,75 = 0,45, tedy skutečná relativní četnost oboustranně úspěšných studentů je větší než by odpovídalo četnostní nezávislosti množin Gi, G2 v daném výběrovém souboru. Znamená to, že úspěch v matematice se zpravidla sdružuje s úspěchem v angličtině a naopak. Skalární a vektorový znak Pojem skalárního a vektorového znaku: Vlastnosti objektů vyjadřujeme číselně pomocí znaků. Nechť E je základní soubor. Funkce X:E^R,Y:E^R,...,Z:E^R, které každému objektu přiřazují číslo, se nazývají (skalární) znaky. Uspořádaná p-tice (X, Y,..., Z) se nazývá vektorový znak. 5 1 1 * • * 0 P\\"\ M) m &í) £ Označení: Nechť je dán výběrový soubor {si,..., sn} c E. Hodnoty znaků X, Y, ..., Z pro i-tý objekt označíme Xi = X(sí), y i = Y(sí), ..., Zi = Z(sO, i=l,...,n. Datový soubor Pojem datového souboru: ÍV v ... 7 > Matice xi Yi x2 y2 zi z, typu n x p se nazývá datový soubor. Její řádky w vxn yn •• odpovídají jednotlivým objektům, sloupce znakům. Libovolný sloupec této matice nazýváme jednorozměrným datovým souborem. Jestliže uspořádáme hodnoty některého znaku (např. znaku X) v jednorozměrném datovém souboru vzestupně podle velikosti, do- staneme uspořádaný datový soubor x(i) VX(n)J káQX{l) VAnV v němž znak X nabývá r variant Pro j = 1, ..., r definujeme: nj = N(X = x y]) - absolutní četnost varianty x yj ve výběrovém souboru Pi = —L - relativní četnost varianty x m ve výběrovém souboru n Nj = N(X 0) 00 a normovaná ( Zp(x)= 1)- Pomocí kumulativních relativních četností zavedeme empirickou distribuční funkci. Funkce F(x) = distribuční funkce. Oprox x[r] Empirická distribuční funkce je neklesající (Vx1; x2 e R, Xi < x2: F(xí) < F(x2)), zprava spojitá ( vx0 e R libovolné, ale pevně dané: Hmx^Xo F(x) F(xo» a normovaná (iimx^ o0F(x) = O, Hmx^o0F(x) = 1). Platí VXER:F(x)=^p(t). Príklad Příklad: Pro známky z matematiky nakreslete graf četnostní funkce a empirické distribuční funkce. v Řešení: Variační řada xm ni Pi N, Fi 1 7 7/20=0,35 7 7/20=0,35 2 3 3/20=0,15 10 10/20=0,50 3 2 2/20=0,10 12 12/20=0,60 4 8 8/20=0,40 20 20/20=1,00 Z 20 1,00 - - pM= Vzorce [pjprox = xD]J = l, ...,r [O jinak 0prox x[r] Grafy Vztah mezi cetnostní funkcí a empirickou distribuční funkcí VXGR:F(x)=^p(t) 0,4 0,2 -0,0 1 2 1,0 0,8 ■ 0,6 ■ 0,4 ■ 0,2 ■ 0,0- 1 2 H-------------->- 3 4 í —i------------r" 3 4 Grafické znázornení jednorozmerného bodového rozdělení četností Tečkový diagram: na číselné ose vyznačíme jednotlivé varianty znaku X a nad každou variantu nakreslíme tolik teček, jaká je její absolutní četnost. —r-2 3 Polygon četnosti: je lomená čára spojující body, jejichž x-ová souřadnice je varianta znaku X a y-ová souřadnice je absolutní či relativní četnost této varianty. Polygon četností pro známky z m ate matiky Grafické znázornění jednorozměrného bodového rozdělení četností Sloupkový diagram: je soustava na sebe nenavazujících obdélníků, kde střed základny je varianta znaku X a výskaje absolutní či relativní V_J__ __ _J_ J-JL A____ __ " __ _J_ Sloupkový diagram známek z matematiky četnost teto varianty. 12 3 4 Výsečový graf: je kruh rozdělený na výseče, jejichž vnější obvod odpovídá absolutním četnostem variant znaku X. Dvourozměrné bodové rozložení četností Nechť je dán dvourozměrný datový soubor f xn yn A , kde znak X má r variant a J znak Y má s variant. Pak definujeme: njk = N(X = x [j] a Y = y [k]) - simultánní absolutní četnost dvojice (x ^, y[k]) ve výběrovém souboru — - simultánní relativní četnost dvojice (x^j, y^) ve výběrovém souboru Pjk Pj. N(X = X[j]) = nji + ... + njs - marginální absolutní četnost varianty x^ — = Pji + ... + pjS- marginální relativní četnost varianty x^ n.k = N(Y = y[k]) = n^ + ... + nrk - marginální absolutní četnost varianty y^ p.k = — = Pik + ... + Prk- marginální relativní četnost varianty y[k] Njk = N[X < Xy] a Y < y[k])= 2^ Z-(nuv Absolutní kumulativní četnost dvojice (x^, yM) u.! ! v L 2 3 4 Pj sAlit- i 0,20 0,05 0,10 0,00 0,3-5 2 0,00 0,10 0tOS 0,00 0,15 3 0,00 0,00 0,05 0,05 0,10 4 0,00 0,05 0,15 0,20 0,40 L,00 ŕ-* (1,20 0,20 0,35 0,25 Simultánní a marginální četnostní funkce Pomocí simultánních relativních četností zavedeme simultánní četnostní funkci: Funkce / \ ÍPJkProx = xD],y = y[k]J = l,...,r,k = l,...,s [O jinak se nazývá simultánní četnostní funkce. Pomocí marginálních relativních četností zavedeme marginální četnostní funkce pro znaky X a Y. Odlišíme je indexem takto: / \ ÍPj. prox = xmJ = l,...,r [O jinak ()= ÍP-kPr°y = yM»k=1»---»s [o jinak Mezi simultánní četnostní funkcí a marginálními četnostními funkcemi platí vztahy: CO CO Pi(x)= Zp(x,y), p2(y)= Zp(x,y)- Příklad Příklad: Sestrojte graf simultánní četnostní funkce pro známky z matematiky a angličtiny. v Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních relativních četností. v L 2 3 4 P: 1 _LJ_EíL L 0£0 ftW :í,ic ť>,oo .{)E QOo ojn i OflO 0,05 OJE 0,20 U,4U ŕ-fc 0,20 0,30 0,3Č 0,25 [ »iW Četností nezávislost znaků v daném výběrovém souboru Řekneme, že znaky X, Y jsou v daném výběrovém souboru četnostně nezávislé, právě když pro všechna j = 1,..., r a všechna k = 1,..., s platí multiplikativní vztah: Pjk = Pj. P.k neboli pro v (x, y) e R2: p(x, y) = pi(x) p2(y). Příklad: Ověřte, zda v našem datovém souboru jsou známky z matematiky a angličtiny četnostně nezávislé. v Řešení: Vyjdeme z kontingenční tabulky relativních četností. i v 1 2 3 4 í*j z 1 Pjk 1 3 4 0,20 0,05 0,10 0,00 0,00 0,10 0,05 0,00 0,00 0,00 (}.{)B 0,05 0,00 0,05 0ř15 0,20 0,3-3 0,ló 0,10 0,40 P-k (l.ííl 0,20 0,35 0,25 [ lf0D [ Známky z matematiky a angličtiny nejsou četnostně nezávislé, protože už pro j = 1, k = 1 je multiplikativní vztah porušen: pn = 0,20, pí. = 0,35, p.i = 0,20, tudíž 0,20 * 0,35.0,20 Řádkové a sloupcové podmíněné relativní četnosti Sloupcově podmíněná relativní četnost varianty Xr-n za předpokladu y[k] n _ "jk Řádkově podmíněná relativní četnost varianty y[k] za předpokladu x^ P(J)k ~ Příklad Příklad: Pro datový soubor známek z matematiky a angličtiny sestavte kontingenční tabulku sloupcově a poté řádkově podmíněných relativních četností. v Řešení: Nejprve se budeme zabývat sloupcově podmíněnými relativními četnostmi. Použijeme vzorec pl(k) = —. Vyjdeme z kontingenční tabulky simultánních absolutních četností. y 1 2 3 4 T VHk\ 1 2 i 1 1.00 0,25 0,29 0,00 Oľ0O 0,50 0,14 0,00 0,00 0,00 0,14 0,20 0,00 0,25 0,43 0,80 i Z 1,00 1,00 1,00 1,00 i------ V "i 2 ..... ^ ns. Z r^k i 4 1 2 0 ■ 2 n :■! i í- S 3 0 0 í : 3 4 50 1 3 ■! S : n.j, ■i <1 ? 5 n=2ů| Interpretujeme např. třetí sloupec: z těch studentů, kteří měli trojku z angličtiny, mělo 2/7 = 29% jedničku z matematiky, 1/7 = 14% dvojku z matematiky, 1/7 = 14% trojku z matematiky a 3/7 = 43% čtyřku z matematiky. Příklad Dále se budeme zabývat řádkově podmíněnými relativními četnostmi. Použijeme vzorec p,0k = —. Opět nám poslouží kontingenční tabulka absolutních četností. v 1 2 S 4 »f- X n,ik [ ■1 1 ■.: * 7 *} r,i ■> i i:- a 3 0 0 L 2 ± \o i 3 ■] . 6 : vi.ŕ- ■I <1 ? 5 n=2Ů | V 12 3 4 E X PWJ+l) di nj Pj h NJ *t 1 (lir,Ur+i) h • Ír Fi F.- Součet a i se nazývá tabulka rozložení četností. Příklad Příklad: Do laboratoře bylo dodáno 60 vzorků a byly zjištěny a hodnoty znaku X -mez plasticity (v kp/cm2) a Y - mez pevnosti (v kp/cm2). Datový soubor má tvar: " iw 178 ' 83 &3 73 76 133 1Ö4 186 111 77 ss ss rs 83 104 17 iil 145 ni. &5 103 58 H 94 107 112 113 137 142 1L-Í 141 3* 102 44 ÖS Síi 97 lft3 10Ö 92 115 121 127 39 119 141 157 110 L3Ö 104 126 155 lös 112 125 107 US 138 L55 Sř 87 99 140 &2 81 41 TI 9? 11S 13 fi 1Í3 9G 113 MS 101 73 79 45 89 71 93 S5 81 sa 109 3d 69 42 51 51 95 11ÍE 147 M3 12? 1(11 114 33 52 42 85 ISO 189 78 117 133 L47 8ľ i;:: LL4 137 15& >T9 S3 l:;u 13 Ô L4fl . &s ftl .: a) Pro znak X stanovte optimální počet třídicích intervalů dle Sturgersova pravidla. b) Sestavte tabulku rozložení četností. Příklad v Řešení: ad a) Rozsah souboru je 60. Podle Sturgersova pravidla je optimální počet třídicích intervalů r = 7. Budeme tedy volit 7 intervalů stejné délky tak, aby v nich byly obsaženy všechny pozorované hodnoty znaku X, z nichž nejmenší je 33, největší 160; volba Ui = 30,..., u8 = 170 splňuje požadavky. adb) (upuj+l) dj XD] nj Pj Nj Fj t, (30, 50) 20 40 8 8/60 = 0,13 8 8/60 = 0,13 8/(60-20) = 0,006 (50,70) 20 60 4 4/60 = 0,06 12 12/60 = 0,2 4/(60-20) = 0,003 (70, 90) 20 80 13 13/60 = 0,216 25 25/60 = 0,416 13/(60-20) = 0,0183 (90,110) 20 100 15 15/60 = 0,25 40 40/60 = 0,6 15/(60-20) = 0,0125 (ll0,130) 20 120 9 9/60 = 0,15 49 49/60 = 0,816 9/(60-20) = 0,0075 (l30,150) 20 140 7 7/60 = 0,116 56 56/60 = 0,93 7/(60-20) = 0,00583 (l 50,170) 20 160 4 4/60 = 0,06 60 60/60 = 1 4/(60-20) = 0,003 Součty 60 1 Histogram, hustota četnosti, intervalová empirická distribuční funkce Intervalové rozložení četností graficky znázorňujeme pomocí histogramu. Je to graf skládající se z r obdélníků, sestrojených nad třídicími intervaly, přičemž obsah j-tého obdélníku je roven relativní četnosti pj j-tého třídicího intervalu, j = 1, ..., r. Histogram je shora omezen schodovitou čarou, která je grafem funkce zvané hustota četnosti: ffj proUj o) a normovaná (j"f(x)dx=i). Intervalová — 00 empirická distribuční funkce je neklesající, spojitá a normovaná (iimx^ o0F(x) = O, limx_F(x)=l). Príklad Příklad: Pro mez plasticity oceli nakreslete histogram a pod histogram graf intervalové empirické distribuční funkce. Řešení: Vyjdeme zi tabulky rozložení četností. tj,Uj+1) dj XD] nJ Pj Nj Fj fj (30,50) 20 40 8 8/60 = 0,13 8 8/60 = 0,13 8/(60-20) = 0,006 (50,70) 20 60 4 4/60 = 0,06 12 12/60 = 0,2 4/(60-20) = 0,003 (70,90) 20 80 13 13/60 = 0,216 25 25/60 = 0,416 13/(60-20) = 0,0183 (90,110) 20 100 15 15/60 = 0,25 40 40/60 = 0,6 15/(60-20) = 0,0125 (i 10,130) 20 120 9 9/60 = 0,15 49 49/60 = 0,816 9/(60-20) = 0,0075 (30,150) 20 140 7 7/60 = 0,116 56 56/60 = 0,93 7/(60-20) = 0,00583 (50,170) 20 160 4 4/60 = 0,06 60 60/60 = 1 4/(60-20) = 0,003 Součty 60 1 Príklad (jj,UJ+i) dj XD] nj Pi N Fj í ($0,50) 20 40 8 8/60 = 0,13 8 8/60 = 0,13 8/(60-20) = 0,006 (50,70) 20 60 4 4/60=0,06 12 12/60 = 0,2 4/(60-20) =0,003 (70,90) 20 80 13 13/60 = 0,216 25 25/60 = 0,416 13/(60-20) = 0,0183 (90,110) 20 100 15 15/60 = 0,25 40 40/60 = 0,6 15/(60-20) = 0,0125 (llO,130) 20 120 9 9/60 = 0,15 49 49/60=0,816 9/(60-20) = 0,0075 (l30,150) 20 140 7 7/60=0,116 56 56/60 = 0,93 7/(60-20) = 0,00583 (l 50,170) 20 160 4 4/60=0,06 60 60/60 = 1 4/(60-20) =0,003 Součty 60 1 llílt ÍLlt J. * F(x) = f f (t) dt a 30 50 rô, ■60 1 ]0 ::hj isa na isú i3ú Dvourozměrné intervalové rozložení četností Dále se budeme věnovat dvourozměrnému intervalovému rozložení četností, tj. budeme pracovat s dvourozměrným datovým souborem. Zavedeme podobné pojmy jako u dvourozměrného bodového rozložení četností Nechť je dá n dvourozměrný datový soubor \ y^ vxn yv kde hodnoty znaku X ro ztřídíme do r třídicích intervalů (^uj+1), j = 1,..., r s délkami d i, ..., d r a hodnoty znaku Y roztřídíme do s třídicích i, -,hs- intervalů (vk, vk+1), k = 1,..., s s délkami hi, Obdélník \^p uj+1) x (vk, vk+1> se nazývá (j,k) -tý dvourozměrný třídicí interval. Simultánní a marginální četnosti njk = N(uj < X < Uj+i a Vk < Y < Vk+i) - simultánní absolutní četnost (j, k)-tého třídicího intervalu. Pjk = — - simultánní relativní četnost (j, k)-tého třídicího intervalu. n nj. = nji + ... + njs - marginální absolutní četnost j-tého třídicího intervalu pro znak X. Pj = — - marginální relativní četnost j-tého třídicího intervalu pro znak X. n.k = nik + ••• + nrk - marginální absolutní četnost k-tého třídicího intervalu pro znak Y. v - marginální relativní četnost k-tého třídicího intervalu pro znak Y. - simultánní četnostní hustota v (j, k)-tém třídicím intervalu, marginální četnostní hustota v j-tém třídicím intervalu pro znak X. - marginální četnostní hustota v k-tém třídicím intervalu pro znak Y. Kteroukoliv ze simultánních četností zapisujeme do kontingenční tabulky. Kontingenční tabulka simultánních absolutních četností: p.k = n fjk= Pjk djhk f,= Pj d, f.k= Pk h, {^k^k-Vi) (vi,v2) . ■ C«*,ue+i) nj. (Uj.lij+l) n3k (íiríUrH_l) «i. n.k n.\ :t.. n Příklad Příklad: Pro datový soubor obsahující údaje o mezi plasticity (znak X) a mezi pevnosti (znak Y) oceli a) stanovte dle Sturgersova pravidla optimální počet třídicích intervalů pro znak Y b) sestavte kontingenční tabulku simultánních absolutních četností. v Řešení: ad a) Rozsah datového souboru je 60. Podle Sturgersova pravidla je tedy optimální počet třídicích intervalů 7. Nejmenší hodnota je 52 a největší 189. Volíme ví = 50, v2 = 70,...,v8=190. adb) (v/hifc+i) (50,70) (70,30) (90,110) (110,130) (130,150) (L5ĎSL70) 1170,190) ny (Wj,«J+L> <** I (3d, RO) (50,70) (70,1)0) (90, ILO) (110,130) (130,150) (150,170) b jí n n o o o 0 3 10 0 0 0 0 4 7 1 10 0 o o e a i o o 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 2 S 0 0 0 0 d 0 1 3 9 1 13 15 7 4 n.it & 10 14 13 íl 6 a IL=fi0 Stereogram Dvourozměrné intervalové rozložení četností graficky znázorňujeme pomocí stereogramu. Je to graf skládající se z r x s kvádrů, sestrojených nad dvourozměrnými třídicími intervaly, pnčemž objem (j, k)-tého kvádruje roven relativní četnosti pj^ (j, k) -tého třídicího intervalu, j = l,..., r, k=l, ...,s. Výška kvádru tedy vyjadřuje simultánní četnostní hustotu. / V VÉ VUI y .' / v/ / A K V našem příkladě s mezí plasticity a mezí pevnosti oceli bude mít stereogram tvar: Simultánní a marginální hustota četnosti Pomocí simultánních četnostních hustot zavedeme simultánní hustotu četnosti: t- i i \ íf,k Prou, vk J.«J+L> •Vt ■[30, 50) (SO, 70} Í 70,!J0) (SC, ILO) i 110,131)} il30,150) 1150,170} 5 3 0 n 0 0 0 0 3 10 0 0 0 0 4 7 1 1 0 0 0 0 6 íl 1 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 0 2 a fl 0 0 0 d ■:: i a & 1 13 ? i 7 4 n.it & 10 14 13 'J r; :í f„ =-------------= 0,000208, f. =—-— = 0,006667, f. =—-— = 0,004167, tudíŽ 60-20-20 60-20 60-20 0,000208 í 0,006667.0,004167 = 0,000028