Konstrukce diskrétní pravdepodobnosti 3.1. Motivace: V Kolmogorovově axiomatické definici pravděpodobnosti se nespecifikuje jak na daném měřitelném prostoru (fž, A) zkonstruovat pravděpodobnost P. Jednou z možností je zavedení tzv. diskrétní pravděpodobnosti. Používá se v situacích, kdy pouze spočetně mnoho možných výsledků náhodného pokusu má reálnou šanci na uskutečnění. Šance těchto výsledků se ohodnotí vahami a pravděpodobnost jevu se pak získá jakou součet těch vah možných výsledků, které jsou příznivé nastoupení daného jevu. Jestliže je možných výsledků pouze konečně mnoho a všechny mají stejnou šanci na uskutečnění, dostáváme klasickou pravděpodobnost jako speciální případ diskrétní pravděpodobnosti. Konstrukce diskrétní pravděpodobnosti 3.2. Označení: Nechť m^0,bc M,g: m -> (-<»oo) je funkce, která je všude nulová s výjimkou nejvýše spočetné množiny G c m . Pak symbol X§(x) má tento význam: xEB a) Je-li b n g = 0, pak £g(x)= ° • xEB b) Je-li BnG konečná množina, pak prvky tohoto průniku uspořádáme do konečné posloupnosti ^l5...,xn} a Eg(x)=Eg(xI). XEB 1=1 c) Je-li bog spočetná množina, pak prvky tohoto průniku uspořádáme do spočetné posloupnosti &15x2,...} a CO Z§(x)= Z§(xiX pokud tato suma absolutně konverguje. Není- li podmínka absolutní konvergence splněna, xEB i=l nemá uvedený symbol smysl. 00 Je-li b = (- * co) nebo b = (- °°, x), pak píšeme Zg(x)= E§(x) Eg&)=Eg(0 xeB x=-í» xEB t^x Konstrukce diskrétní pravděpodobnosti 3.3. Definice (definice diskrétní pravděpodobnosti): Nechť (o; A ) je měřitelný prostor, rcfi nejvýše spočetná podmnožina základního prostoru. Funkce y: & -> r , která je kladná pouze na r a jinak je nulová a splňuje podmínku £y(p)= i , se nazývá váhová funkce. Reálná množinová funkce P: A —► R daná vzorcem COG Q VA e A : p(a)= ^ y(ra) se nazývá diskrétní pravděpodobnost. OOGA 3.4. Věta: Diskrétní pravděpodobnost je pravděpodobnost ve smyslu axiomatické definice, tzn., že má vlastnosti PÍ-P17. Důkaz: Stačí ověřit platnost axiómů P2, P10, PÍ5. P2: P(A) > 0 - plyne z definice váhové funkce. P10: p(q)=2>(q)=i -splněno. oogQ í co A co P15: a^a^..^ A jsou neslučitelné ^> p (JA, = 2Mo>)= ^y(p)+ £y(g>)+... = p(Ai )+p(a2 )+... = £p(Aí) -splněno. 1=1 J °° OOGÄ! OOGJjAj Príklad 3.5. Příklad: Házíme kostkou, jejíž těžiště je posunuto z geometrického středu k onomu vrcholu, v němž se stýkají stěny s nejnižším ohodnocením. Vypočtěte pravděpodobnost, že padne sudé číslo. Řešení: Q = {üu...,®6 }, A = A max = {a; a c q}. V souladu se zadáním a vzhledem k symetrii úlohy volíme váhy y(o4)=y(ra5)=y(o6)=-, -<& a = o. Důkaz: Klasická pravděpodobnost je speciálním případem diskrétní pravděpodobnosti s vahami y(©)=—t^. m[íi) Poslední dvě implikace vyplývají z definice klasické pravděpodobnosti. Príklad Dřevenou, natřenou krychli o straně 4 cm rozřežeme na jednotkové krychličky. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraná krychlička a) má právě 2 natřené stěny, b) nemá žádnou natřenou stěnu? Řešení: P(4) = 8-3 3 P(A.) = 64 8 64 ~ 8 ^J ■ ^^^ ^m H Príklad 1) Jaká je pravděpodobnost, že slovem náhodně sestaveným z písmen A, A, A, E, I, K, M, M, T, T bude MATEMATIKA? Řešení: P(A) = 3!-2!-2! 1 10! 151200 2) Jaká je pravděpodobnost, že z n lidí někteří dva slaví narozeniny ve stejný den (n < 365)? P(A) = l-P(A) = 365-364.....(365-w + l) 365! 365' (365-«)!-365A Přes pravděpodobnost 1/2 se dostaneme už při n = 23: n P 10 0,117 20 0,411 22 0,476 23 0,507 30 0,706 40 0,891 50 0,870 60 0,994 Príklad 3.9. Příklad: V dodávce 100 kusů výrobků nemá požadovaný průměr 10 kusů, požadovanou délku 20 kusů a současně nemá požadovaný průměr i délku 5 kusů. Jaká je pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z této dodávky má požadovaný průměr i délku? v Řešení: Jev A spočívá v tom, že výrobek má požadovaný průměr a jev B v tom, že výrobek má požadovanou délku. Počítáme 10 20 5 P(AnB) = P(ÄuB)=l-P(AuB)=l-[P(A)+P(B)-P(AnB)] = l- — + — -—= 0,75 V /V / V / LV/V/V /j ^100 100 100j Pravděpodobnost, že náhodně vybraný výrobek z dodávky má požadovaný průměr i délku, je 0,75. Príklad Jsou dány dvě různé rovnoběžné přímky a, b. Na a je n různých bodu A1? . . . ,An, Ytäb m různých bodu Bl5 . . . ,Bm- Jaká je pravděpodobnost, že 3 náhodně vybrané body tvoří trojúhelník? Řešení: I m V tví \ P(A) = n v2y m vly ( vi\( wi\ + n vly m v2y 3mn mn{n — X) nm{m — X) 2 + 2 (m + n)(m + n- \){m + n — 2) 3-2-1 (m + n)(m + n -1) Príklad Po číselné ose se posuneme o jedničku vpravo, nebo vlevo, podle toho, zda nám na minci padne rub, nebo líc. Začínáme v 0. Jaká je pravděpodobnost, že po 2n krocích budeme v 0? Řešení: Pravděpodobnostním prostorem mohou být posloupnosti nul a jedniček délky 2n (označující kam v kterém kroku jdeme). Abychom po 2n-tém kroku stáli v nule, musíme jít v průběhu stejněkrát (tj. n krát) doleva a n krát doprava: (2n\ P(A) = Kn_j •\2n Např. pro n=5 (2n=10): P(A) = í10l ^»10 10-9-8-7-6 63 5-4-3-2-1024 256 = 0,246 Príklad v Čísla 1, . . ., n promícháme. Jaká je pravděpodobnost, že aspoň jedno číslo bude na svém místě? Najděte její limitu při n —>oo. Řešení: Nechť jev Aj je „číslo i na svém místě". Podle vzorce pro sjednocení í=l n\l'l...l ^. ^fcm\(n--*;)! ^ (-l)fc _ir+lQ^ (_l)fc(:)1!i_^E fc! fc=i fc=i -e"1*!. Príklad 3.1t). Příklad: Z množiny {al5...,an} zvané základní soubor rozsahu n vybereme k-krát po jednom prvku, který vždy vrátíme zpět. Získáme uspořádanou k-tici [a15...,alk J, která se nazývá uspořádaný výběrový soubor rozsahu k s vracením. Předpokládáme, že v základním souboru je právě r prvků označeno, r < n. Zavedeme jevy a^b^Ci takto: A: ... jev, že každý z prvků základního souboru se ve výběrovém souboru ocitne nejvýše lx, Bi ... jev, že předem pevně daný prvek základního souboru se ve výběrovém souboru ocitne aspoň lx, Ci ... jev, že ve výběrovém souboru se ocitne právě x označených prvků, x < k. v Řešení: Qj ... množina všech uspořádaných k-tic utvořených z prvků al5...,an, kde se prvky mohou opakovat, m(Q1)=nk. Jevu A: j sou příznivé ty k-tice, kde se prvky neopakuj í, tedy m(A1) = n(n - íXn - 2) •... • (n - k +1). ,M.^-')->-^)i-i|[l-i|.,i-^.)](,. n v n A n 1=1 Bj ... jev, že předem pevně daný prvek základního souboru se do výběrového souboru vůbec nedostane. Jevu b7 jsou příznivé ty k-tice, ve kterých se daný prvek vůbec nevyskytuje. Je zřejmé, že m(Ě7)= (n -i)k. Pak P(B1)=l-P^)=l-fc# = l-íl-lY. Jevu Ci jsou příznivé ty k-tice, které mají na x místech označené prvky a na zbylých k-x místech neoznačené x( - Y~x prvky. Pak m(Cl) = r*(n-rHk], P(Cl) = ^L--------= ík]WTl- vxy vxy vny v n Príklad 3.11. Příklad: Za jinak stejných podmínek jako v př. 3.10. nevracíme vybrané prvky zpět do základního souboru (předpokládáme, že k < n, x < r). Získanou uspořádanou k-tici nazveme uspořádaný výběrový soubor rozsahu k bez vracení. Jevy a2,b2,c2 jsou definovány stejně jako v př. 3.10. Vypočtěte jejich pravděpodobnosti. v Řešení: Q2 ... množina všech uspořádaných k-tic utvořených z prvků a,,...,an, kde se prvky nemohou opakovat, m(Q2) = 7—^-. V ' (n-k) A2=Q2,P(A2)=1 (n-1) p(b2)=i-p(b;)=i-Íi^>=i-Í^^ p(c2)= (n-k) r! (n -r) fk) (r - x) ' (n - r - k + x) n n k! (n-r) ŕrV KXJ !(k-x) (r-x) (n-r-k + x) vxy n! n! (n-k) (n-k) n-r vk~xy Príklad 3.12. Příklad: Za jinak stejných podmínek jako v př. 3.11. považujeme za výběrový soubor rozsahu k bez vracení nikoliv uspořádanou k-tici, ale podmnožinu {a^,...^ }. Vypočtěte pravděpodobnosti jevů a3,b3,c3. v Řešení: Q3 ... množina všech neuspořádaných k-tic utvořených z prvků al,...,an, kde se prvky nemohou opakovat, m(Q2): A3=Q3,P(A3) = 1 'n-f| _(n-l) p(b3)=i-p(ě;)=i Ik J vky k!(n-l-k) n-k_k n! n n k!(n-k) ír\í P(C3): vxy n-r vk-xy vky Dospěli jsme ke stejným výsledkům jako v příkladě 3.11., i když jsme použili jiný model. Je to způsobeno tím, že v př. 3.11. jsme použili variace bez opakování a v př. 3.12. kombinace bez opakování. Každé kombinaci {a; alt} odpovídá právě k! variací. Príklad 3.13. Poznámka: Nemá smysl uvažovat o kombinacích s opakováním. Model by byl nerealistický, protože možné výsledky pokusu by neměly stejnou šanci na uskutečnění. Např. kombinaci ^!,...,ak} odpovídá k! variaci (s opakováním), zatímco kombinaci ^„.„aj odpovídá pouze jediná variace s opakováním. 3.14. Příklad: Nechť rn je počet předem označených prvků v základním souboru rozsahu n. Nechť rozsah k výběrového souboru je pevný a předpokládejme, že lim~ = ô • Dokažte, že ijmp(c2)= pCcJ při označení s. Řešení: fr Y limP(c2)=lim v* y n-rn vk-xy (n-rn) ír lim- !(rn-x) (k-x)(n-rn-k + x) n | n^°° n! kj k!(n-k) ŕk] rn(rn-l>...-(rn-x + lXn-rnXn-rn-l>...-(n-rn-k + x + l). lim- vXyn^co n(n-l)-...-(n-k + l) lim U n. f V n n A n A n , f \ n k-x-1 11- k-1 vxy ôx(i-ô^x =p(d) Príklad 3.15. Příklad: Předpokládáme, že rozsah k výběrového souboru je pevný. Vypočtěte limity pravděpodobností jevů a: , Bj, a2 , b2 z příkladů 3.10. a 3.11. pro n -> oo. v Řešení: limP(A1)=limn(n"l)-k(n"k + l) = l, limP(A2)=liml = l limP(B1)=lim 1-1 1-1 = 0, limP(B2)=lim- = 0 n—>co n—>co Yl Závěr plynoucí z příkladů 3.14. a3.15.: Pokud je rozsah výběrového souboru konstantní a rozsah základního souboru roste nade všechny meze, stírá se rozdíl mezi výběrovým souborem s vracením a bez vracení. Stochasticky nezávislé jevy 4.1. Motivace: Při provádění pokusu se může stát, že z informace o nastoupení či nenastoupení jednoho jevu jsme schopni odvodit, zda jiný jev nastoupí či nenastoupí, tzn., že platí jedna z inkluzí AcB,ÄcB,AcB,ÄcB.V takovém případě hovoříme o deterministicky závislých jevech. Jejich protipólem jsou jevy stochasticky nezávislé - informace o nastoupení či nenastoupení jednoho jevu nijak neovlivní šance, s nimiž očekáváme nastoupení jiného jevu. V popisné statistice jsme zavedli četnostní nezávislost dvou množin g15g2 v daném výběrovém souboru pomocí multiplikativního vztahu: p(Gj nG2)= p^^Gj. V počtu pravděpodobnosti požadujeme pro stochasticky nezávislé jevy a15a2 splnění multiplikativního vztahu: p(Aj n a2) = p(a1)p(a2). Pro tři jevy budeme požadovat, aby i jevy A,nA2 a a3 byly stochasticky nezávislé, což vede ke vztahu p(Aj n a2 n a3) = p(a1)p(a2)p(a3). Tak můžeme pokračovat pro libovolný počet jevů. 4.2. Definice: Nechť (Í2, A , P) je pravděpodobnostní prostor. Řekneme, že jevy A, B e A jsou stochasticky nezávislé (vzhledem k P), jestliže P(A o B) = P(A) P(B). - Stochasticky nezávislé jevy 4.3. Věta: Pro libovolné jevy A, B e A platí: a) 0 a A jsou stochasticky nezávislé jevy. b) Cl a A jsou stochasticky nezávislé jevy. c) Jsou-li A, B stochasticky nezávislé jevy, pak jsou stochasticky nezávislé též jevy ä,b a a,b a X,b Důkaz: ad a) p(0 n a) = p(0)p(a) : o = o • p(a) = o ad b) p(q n a) = p(q)p(a) : p(a) = i • p(a) = p(a) ad c) p(a o b)=p(b - (a o b)) = p(b) - p(a o b) = p(b) - p(a)p(b) = p(b)[i - p(a)] = p(a)p(b) Tvrzení projevy a, b se dokáže analogicky. p(X n b) = p(ÄÜb) = 1 - p(A ^j B) = 1 - [p(a) + p(b) - p(A n B)] = 1 - p(a) - p(b) + p(a)p(b) = 1 - p(a) - p(b)[i - p(a)] = = [i-p(a)][i-p(b)]=p(ä)p(b) Stochasticky nezávislé jevy 4.4. Definice: Nechť (Í2, A , P) je pravděpodobnostní prostor. Jevy Ai,..., An e A jsou stochasticky nezávislé (vzhledem k P), jestliže platí systém multiplikativních vztahů: vi < k j < n: P(Ai o Aj) = P(Ai) P(Aj) (dvojmístný multiplikativní vztah) ví < k j < k < n: P(Ai o Aj o Ak) = P(Ai) P(Aj) P(Ak) (trojmístný multiplikativní vztah) P(Ai An) = P(Ai) ... P(An) (n-místný multiplikativní vztah) Jevy Ai, A2,... e A jsou stochasticky nezávislé (vzhledem k P), jestliže pro všechna přirozená n jsou stochasticky nezávislé jevy Ai,..., An e A . 4.5. Příklad: V osudí jsou 4 lístky s číslicemi 000, 011, 110 a 101. Označme Ai jev, že na náhodně vytaženém lístkuje 1 na i-tém místě. Zjistěte, zda jevy Ai, A2, A3 jsou stochasticky nezávislé. v lil i i i Řešení: p(Aj) = -, p(a2) = -, p(a3) = -, p(AjnA2) = -, p(A1nA3) = -, p(a2 na3) = -. Vidíme, že dvoumístné multiplikativní vztahy jsou splněny, avšak trojmístný vztah nikoli, neboť p(a1 nA2 nA3)= 0 a p(a1)p(a2)p(a3) = -. Jevy A1; A2, A3 nejsou stochasticky nezávislé. - Příklad Ukázka příkladu, kdy jsou jevy po dvou nezávislé, ale jsou celkové závislé. Uvažujme náhodný pokus „hod dvěmi mincemi", kdy sledujeme zda na mincích padl líc (L) nebo (RJ. Množina všech možných výsledků (elementárních jevů) je tedy SI = {LL,LR,RL,RR} a všechny elementární jevy jsou stejné pravděpodobné, tj. mají pravděpodobnost —. Najděte pravděpodobnost a zjistěte zda jsou nezávislé a po dvou nezávislé jevy (a) Ai na první mince padne Ke; (b) A2 na druhé minci padne líc; (c) A3 na obou mincích padne totéž. Řešení: ft = {^,w2,^^}, P(wť) = 1/4 A1 = {wi,^}? P(Ai) = 1/2 4i = {wi,í*}, P(A2} = 1/2 ;4i = {<*,«■}, P(AS) = 1/2 jevy Ai a A2 jsou nezávislé, protože Ai n A2 = {^i} a PÍA, n iía) = 1/4 = 1/2 ■ 1/2 jevy Ai a A3 jsou nezávislé, protože Ai n A3 = {^1} a P(A! n Aa) = 1/4 = 1/2 ■ 1/2 jew A2 a A3 jsou nezávislé, protože A2 H A3 = {wi} a 'P(A2nA3) = 1/4= 1/2-1/2 jevy Ai,An a A3 jsou závislé, protože AL n A3 n A3 = {^í} a 'P(Ax n A2 n A3) = 1/4 ^ 1/2 ■ 1/2 ■ 1/2 J Příklad Mohou být neslučitelné (disjunktní) jevy A a B nezávislé? Řešení: 0 = P(0) = P(AHB) = P(A)P(B) tedy disjunktní jevy mohou být nezávislé, jen když alespoň jeden z nich má nulovou pravděpodobnost. Stochasticky nezávislé jevy 4.6. Příklad: Zjistěte, zda existuje jev, který je stochasticky nezávislý sám se sebou. Řešení: p(a n a) = p(a)p(a) , tedy p(a) = p(a)2 . To je možné jen tak, že p(a) = o nebo p(a) = i. 4.7. Věta: a) Jestliže z třídy n stochasticky nezávislých jevů vybereme libovolnou podtřídu r jevů (2 < r < n), dostaneme opět třídu stochasticky nezávislých jevů. b) Stochastická nezávislost se neporuší, jestliže některé (nebo i všechny) jevy nahradíme jevy opačnými. c) Jestliže z třídy n stochasticky nezávislých jevů vybereme r disjunktních podtříd jevů (2 < r < n) a členy těchto podtříd libovolně sjednotíme nebo pronikneme, pak vzniklá sjednocení a průniky jsou opět stochasticky nezávislé jevy. d) Neslučitelné jevy nemohou být stochasticky nezávislé (pokud nemají všechny nulovou pravděpodobnost). e) Nemožný jev je stochasticky nezávislý s každým jevem. f) Jistý jev je stochasticky nezávislý s každým jevem. - Príklad 4.8. Příklad: Firma investovala do tří nezávislých projektů. Pravděpodobnost zisku z těchto projektuje 0,4, 0,5 a 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že firma bude mít zisk a) právě jedenkrát (jev A) b) alespoň jedenkrát (jev B) c) právě dvakrát (jev C) Řešení: d) aspoň dvakrát (jev D) Označme Ai jev, že firma bude mít zisk z i-tého projektu, i = 1, 2, 3. e) ze všech tří projektů (jev E) ad a) _ _ _ _ _ _ f) ze žádného projektu? Gev F) p(a)=P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) = = 0,4 • 0,5 • 0,3 + 0,6 • 0,5 • 0,3 + 0,6 • 0,5 • 0,7 = 10~3 (ó0 + 90 + 210)= 0,36 adb)______________ _ _ p(b)= l-p(A7nA2 ^A3) =1-p(ai) p(a2 )p(a3)=1 - 0,6 • 0,5 • 0,3 = 1 - 0,09 = 0,91 ad c) P(C)=P(A1)P(A2)P(A3) + P(A1)P(Ä7)P(A3) + P(A1)P(A2)P(A3) = = 0,4 • 0,5 • 0,3 + 0,4 • 0,5 • 0,7 + 0,6 • 0,5 • 0,7 = 10~3 (60 +140 + 210)= 0,41 add) p(d)= P(c)+ p(A! n A2 n A3)= p(c)+ P(Aj)• P(A2)• P(A3) = 0,41 + 0,4• 0,5• 0,7 = = 0,41 + 0,14 = 0,55 ad e) p(E)=p(A1nA2nA3)=P(A1)-P(A2)-P(A3) = 0,4-0,5-0,7 = 0,14 adf) _ _ p(f)= P^ n A2 n A3)= P^) P^) p(^)= 0,6 • 0,5 • 0,3 = 0,09 Pravděpodobnost a statistika na webu Michal Friesl; výukové texty (např. Pravděpodobnost a statistika, Posbírané příklady z pravděpodobnosti a statistiky,...): http://home.zcu.cz/~friesl/Archiv/DldTeach.html Blanka Šedivá; Pravděpodobnost a statistika: http://home.zcu.cz/~sediva/pse/ Michal Čihák; výukové texty: http://www.cihak.com/michal/ Petr Otipka, Vladislav Šmajstrla; Pravděpodobnost a statistika: http://homen.vsb.cz/~oti73/cdpastl/ Jana Novovičová; Pravděpodobnost a matematická statistika: http://euler.fd.cvut.cz/publikace/files/skripta3.pdf