Podmíněná pravděpodobnost 5.1. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. Podmíněnou relativní četnost A za podmínky H jsme v popisné statistice zavedli vztahem p(A/H) = p(- n >. Tato podmíněná relativní četnost se s rostoucím počtem pokusů ustaluje kolem konstanty P(A/H), kterou považujeme za podmíněnou pravděpodobnost jevu A za podmínky H. 5.2. Definice: Nechť (Í2, A , P) je pravděpodobnostní prostor, HeA. jev s nenulovou pravděpodobností. Podmíněnou pravděpodobností za podmínky H rozumíme funkci P(./H): A —► R danou vzorcem: v A e A P(A/H) = p(A^H> P(H) 1 Podmíněná pravděpodobnost 5.3. Věta: Podmíněná pravděpodobnost je pravděpodobnost ve smyslu axiomatické definice a kromě toho pro ni platí: a) P(Ai n A2) = P(Ai) P(A2/Ai) pro P(Ai) *0. b) P(Ai n A2) = P(A2) P(Ai/A2) pro P(A2) * 0. c) Jevy Ai, A2 jsou stochasticky nezávislé, právě když P(Ai/A2) = P(Ai) nebo P(A2) = 0 a právě když P(A2/Ai) = P(A2) nebo P(Ai) = 0. Důkaz: Stačí ověřit platnost axiómů P2, P10, PÍ5. ad a), ad b) Plyne přímo z definičního vzorce. ad c) NechťAi, A2 jsou stochasticky nezávislé => p(Aj /a2)= ^ '/\ V \ =p(Ai)- Nechť naopak P(Ai/A2) = P(Ai). Z definice: p(a, / a2)= ZÍ^QAiL pC^i)=> p(a, ^ a2)= p^KaJ, tedy Ah A2 jsou stochasticky nezávislé. 2 Príklad 5.4. Příklad: Jaká je pravděpodobnost, že při hodu kostkou padlo sudé číslo, je-li známo, že padlo číslo menší než 5? Řešení: q = ^d1,...,cd6}, A ... padlo sudé číslo, a = {b2,co4,co6}, H ... padlo číslo menší než 5, h = ^1,cd2,cd3,cd4}, AnH= {ö2,®4} pk/H)=íkpH>=Í = í. P(k) 4 2 6 Příklad: Dvakrát hodíme kostkou. Jaká je pravděpodobnost, že součet přesáhne 10, víme-li, že padla (aspoň jedna) šestka? Řešení: | {[6,5],[5,6],[6,6]} | 6-6 _ 3 P(A\H) = 2-5 + 1 H 6-6 Věta o násobení pravděpodobností 5.5. Věta: (Věta o násobení pravděpodobností) Nechť (fž, A , P) je pravděpodobnostní prostor, A1; A2,..., An takové jevy, že P(Aj Pak n ... n An_i)*0. |P(Ai o A2 n n An) = P(Ai) P(A2/Ai) P(A3/Ai n A2) ... P(AJAj n ... n A^). Důkaz: Matematickou mdukcí. Předpokládáme, že vztah platí pro libovolné přirozené n > 2 a dokážeme jeho platnost pro n+1: P(A1n...nAnnAn+J=pínAInAn+1l = pínAI]pÍAn+1/nAIl = P(A1)p(A2/A1)...P(An+1/A1 Vi=i ) Vi=i y v 1=1 y n...n A.) 5.6. Příklad: Ze skupiny 100 výrobků, která obsahuje 10 zmetků, vybereme náhodně bez vracení 3 výrobky. Vypočtěte pravděpodobnost jevu, že první dva výrobky budou kvalitní a třetí bude zmetek. v Řešení: Jev Ai znamená, že i-tý vybraný výrobek je kvalitní, i = 1, 2, 3. Počítáme P(Ai n A2n Ä7) = P(A0 P(A2/A0 P^/Aín A2) = ^^^ = 0,083. 4 Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesův vzorec 5.7. Věta (vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec) Nechť (Í2,A ,P) je pravděpodobnostní prostor, Hi e A , i e I (I je nejvýše spočetná indexová množina) takové jevy, že P(Hi) > 0, IJh, = f2, Hin Hj = 0 pro i ^ j (říkáme, že jevy Hi, i e I tvoří úplný systém hypotéz). a) Pro libovolný jev A e A platí vzorec úplné pravděpodobnosti: P(A)=£P(H,)P(A/H,) b) Pro libovolnou hypotézu Hk, k e I a jev A e A s nenulovou pravděpodobností platí Bayesův vzorec: P(IVA) =5ttai x K J P(A) (P(Hk/A) se nazývá aposteriorní pravděpodobnost hypotézy Hk, P(Hk) je apriorní pravděpodobnost.) Důkaz: ad a) Jev A vyjádříme jako sjednocení neslučitelných jevů: a = y(AnH1). Pak p(A)=PM(AnH1)=Xp^nH,)=Zp(H1>(A/HI) ad b) P(Hk / A)= %^)l'p(Ht>P(A/Ht'>' 7 p(a) P(A) Ilustrace vzorce pro úplnou pravděpodobnost Q v? >^»7\ Príklad 1) Bez vracení taháme z urny s a černými a b bílými koulemi. Jaká je pravděpodobnost, že ve druhém tahu vytáhneme černou kouli, jestliže v prvním tahu jsme vytáhli kouli bílou? Řešení: _b_ a a+b a+b-1_ a P{A | H) = b a+b-\ a+b-l a+b a+b-l 2) V dostihu zvítězí kůň A (B) s pravděpodobností 0,5 (0,3). Kůň A ztratil na startu příliš a je jisté, že nezvítězí. Jaká j e nyní pravděpodobnost, že zvítězí B? v Řešení: p(a\h)=p^A(1ítK-^L = 91 = o,6 P(H) l-P(H) 0,5 6 Príklad V první urně je 6 bílých a 2 černé koule, ve druhé jsou 4 bílé a 2 černé koule. Náhodně zvolíme urnu a vytáhneme jednu kouli. Jaká je pravděpodobnost, že bude bílá? Řešení: Pravděpodobnost tahu z první (resp. druhé) urny, je 1/2. Označíme-li B =[tah bílé koule], Ui = [tah z urny i], je podle věty o celkové pravděpodobnosti P(B) = P(B | U,)• P(U,) + P(B | U2)• P(U2) = JL--i + -i--i = II = 0,708 6 + 2 2 4 + 2 2 24 Príklad Automat X vyrobí za směnu dvakrát více výrobku než automat Y. Pravděpodobnost vzniku zmetku je u automatu X 0,02, u Y 0,05. Po skončení směny se výrobky ukládají do jedné bedny. Jaká je pravděpodobnost, že výrobek náhodně vybraný z této bedny není zmetek? Řešení: Podle věty o celkové pravděpodobnosti (poměr výrobků v bedně je 2 : 1 ve prospěch automatu X, tj. 2/3 výrobků pochází od X a 1/3 od Y) 2 1 291 p (A) = - • 0,98 + - • 0,95 = -?— = 0,97 3 3 3 Príklad Mezi 20 střelci jsou 4 výborní, 10 dobrých a 6 průměrných s pravděpodobnostmi zásahu 0,9, 0,7 a 0,5. Jaká je pravděpodobnost, že dva náhodně vybraní střelci oba zasáhnou cíl? Řešení: Podle toho, která dvojice bude vybrána 4-3 4-10 10-9 P (A) = (0,9 • 0,9)---------+ (0,9 • 0,7)---------+... + (0,5 • 0,5)---------= 0,46 20-19 20-19 20-19 i Věta o úplné pravděpodobnosti, Bayesův vzorec Thomas B ayes (1702-1761): Presbytariánský duchovní 5.8. Poznámka (Návod na použití vzorce pro výpočet úplné pravděpodobnosti a Bayesova vzorce) Nejprve podle textu úlohy stanovíme úplný systém hypotéz, tj,. jevy, které se navzájem vylučují a přitom vyčerpávají všechny možnosti. V úlohách vedoucích na vzorec pro výpočet úplné pravděpodobnosti se zajímáme o pravděpodobnost jevu, který s hypotézami nesouvisí, zatímco v úlohách vedoucích na Bayesův vzorec nás zajímá pravděpodobnost některé hypotézy za podmínky, že nastal jev, který s hypotézami nesouvisí. 10 Príklad 5.9. Příklad: Test obsahuje 100 otázek. Zkoušený si nejprve vylosuje otázku a pak si jeho postup zjednodušeně představíme takto: zná.li správnou odpověď, zatrhne ji. Nezná-li správnou odpověď, zvolí se stejnou pravděpodobností kteroukoliv ze čtyř možných odpovědí. Předpokládejme, že ve skutečnosti zná zkoušený právě k správných odpovědí. a) S jakou pravděpodobností správně odpoví? b) S jakou pravděpodobností je při správné odpovědi pravdivé tvrzení, že zkoušený ve skutečnosti jenom hádal? v Řešení: Hi ... zkoušený zná správnou odpověď, H2 ... zkoušený nezná správnou odpověď, A ... zkoušený správně odpoví ^,p(h21) = ^Ap(a/Hi)=i,p(a/h2) = I 100 100 4 ada)p(A) = p(H1)p(A/H1)+p(H2)p(A/H2)= — .i+l°°zLI = ^±loo adb) p(h2/a): 100-k 1 p(H2)p(A/H2)_^00~'4_ 100-k P(A) 3k + 100 3k + 100 400 k 0 10 50 90 P(A) 0,25 0,325 0,625 0,925 P(H2/A) 1 0,692 0,2 0,027 11 Príklad p(a) 3k + 100 400 p(h9/a) 100-k 3k + 100 Závislost P(A) na k Závislost P(Hk/A) na k 1,1 1,0 0,9 0,8 g 0,7 Q- 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 y'' — -♦■" -20 0 20 40 60 80 100 120 k 1,2 1,0 0,8 = M^ = o,1951 ' V : ' P(a) 0,974 ad c) p(h2/a) = rteWA'H,) = M^98 = ' V 2 ' P(a) 0,974 ad d) p(h, /X)= ľtó/nj = o^ofis = w_ = 46 v ' p(a) 1-0,974 0,026 ad e) p(h2 /X)= p(hz)p(a/h;)^ M^02 = o^ = 13 v ' p(a) 1-0,974 0,026 Príklad 1) Jeden ze 3 střelců s pravděpodobnostmi zásahu 0,3, 0,5, 0,8 vystřelil a zasáhl. Jaká je pravděpodobnost, že střílel druhý střelec? Řešení: ^' ^ 5 P(A) =---------------3--------- = — = 0,3125 0,3- +0,5- +0,8- lö 3 3 3 2) Mezi 20 střelci je 5 výborných, 9 dobrých a 6 průměrných s pravděpodobnostmi zásahu 0,9, 0,8 a 0,7. Náhodně vybraný střelec ze 2 ran trefil jednou. Jaká je pravděpodobnost, že šlo o výborného (dobrého, průměrného) střelce? Řešení: 2 • 0,9 • 0,1 • — P(byl to výborný) =---------------------------------2fi------------------ = 0,143 2-0,9-0,l- — + 2-0,8-0,2- — + 2-0,7-0,3- — 20 20 20 P(byl to dobrý) = 0,457 P (byl to průměrný) = 0,4 14 Príklad Víme-li, že pravděpodobnost odhalení AIDS při testu je 0,999, že pravděpodobnost správného otestování zdravého jedince je 0,99 a že AIDS se vyskytuje u 0,006 lidí, jaká je pravděpodobnost, že člověk, u kterého byl test pozitivní, AIDS skutečně má? v Řešení: Označíme-li A = [má AIDS], T = [test říká AIDS], známe P(T |A) = 0, 999, P(T | A) = 0,99, P(A) = 0, 006. Bayesova věta nám dá P(A | T) - PiT I Á)PiA) P(T | A)P(A) + P(T | A)P(A) _________0,999-0,006__________ 0,999 • 0,006 + (1 - 0,99) • (1 - 0,006) 0,376 -I Geometrická pravděpodobnost 6.1. Motivace: V některých situacích je vhodné zvolit za základní prostor nikoliv obecnou množinu í2, ale n-rozměrný prostor Rn a za možné výsledky reálné vektory (xu...,xn). Za jevové pole však nevezmeme systém všech podmnožin prostoru Rn (ten totiž obsahuje i tzv. neměřitelné množiny), ale méně podrobné borelovské pole SEP. Emile Borel (1871 - 1956) - francouzský matematik politik, zabýval s teorií míry, teorií pravděpodobnosti a teorií her. Byl poslancem francouzského parlamentu a ministrem námořnictva. Na borelovském poli pak speciálním způsobem zavedeme geometrickou pravděpodobnost a dostaneme pravděpodobnostní prostor (Rn, 5T, Q). Borelovské pole, Borelovské množiny 6.2. Definice Nechť n je přirozené číslo. Množinu Rn = (—oc,oc) x ,,, x ( —oc,oc) = (—oc,oc)H nazýváme n-rozměrným prostorem. Minimální jevové pole na Rn obsahující třídu všech polouzavřenýcli intervalů typu (—oc,:ci) x ... x ( — oc, xn) pro (xj,...arn) € J?" nazýváme n-rozměrným b oře lov ský ni polem Bn a prvky tohoto pole nazýváme (ri-rozměrnými) borelovskými množinami. Dvojice (/?",£?") je tedy měřitelný prostor. (Není podstatné, že borelovské pole je generováno právě intervaly typu (- qo, x, ) x... x (- oo, x„). Mohlo by být generováno i jinými typy intervalů.) 6.3. Věta: Borelovské pole je jevové pole, tzn., že splňuje axiómy J2, J6, J8. 6.4. Věta: Mezi borelovské množiny náleží zejména prázdná množina, celý základní prostor, všechny jednobodové, konečné a spočetné množiny, intervaly všech typů, všechny uzavřené a otevřené oblasti a všechna konečná a spočetná sjednocení a průniky těchto množin. Rovněž kartézský součin borelovských množin je borelovská množina, ovšem vyšší dimenze. - i Borelovsky měřitelná zobrazení, Borelovské funkce 6.5. Definice Nechť (Si, v4), (B'\Bn) jsuu měřitelné prostory. Zobrazení X : Si i-> i?" se nazývá borelovsky měřitelné (vzhledem k .4), právě když úplný vzor každé n-rozměrné borelovské množiny je jev, tj. VB G Bn : X"íř (B) = {oj eíhX(uj) G B} G A Ye speciálním případě, kdy íí = Bm kr množiny G je nenulový a konečný. Geometrickou pravdepodobností soustředěnou na množině G rozumíme funkci Q : Br* h-» i? danou vzorcem VßeP.ßcG , pokud /ŕ/í ni ŕ?) cxÍM u jr. 6.9. Věta: Geometrická pravděpodobnost j e pravděpodobnost ve smyslu axiomatické definice, tj. splňuje axiómy P2, P10, P15. Trojice (Rn, Sľ, Q) je tedy pravděpodobnostní prostor. 19 Príklad 6.10. Příklad: Na úsečce AB délky d jsou náhodně zvoleny body X a Y, přičemž vzdálenost bodu X od bodu A je menší než vzdálenost bodu Y od bodu A. Jaká je pravděpodobnost, že délka úsečky AXje větší než délka úsečky XY? Řešení: G = {(x,y)e R2;0 < x < d,0 < y < d,x < y} B = {(x,y)e G;x > y -x} x A y ( > . r "-> x Y mes1 (O mes (B> B 2 .Qfe)= mes1 0) 1_ 2 2 ' ~ ' 2 2 4 ' " ' mes(G) Délka úsečky AXje větší než délka úsečky XY s pravděpodobností 0,5. 20 Príklad Dívka a chlapec si smluvili schůzku mezi 12:00 a 13:00. Přijdou náhodně v tomto rozmezí a čekají na sebe 20 minut, nejdéle však do 13:00. Jaká je pravděpodobnost, že se setkají? Řešení: 13:00 12:20 12:00 mes(G) = 1 mes(B) = — $ Q(B) 13:00 Príklad Volíme náhodně dvě čísla z intervalu (0,1). Jaká je pravděpodobnost, že jejich součet je menší nezjedná a současně jejich součin menší než 0,09? Řešení l-x = 0,09 x jc-jc + 0,09 = 0 xx = 0,1, x2 = 0,9 0,9/ Q{B) = -- U-x- o,v 0,09^ x j dx = 0,29775 0 0,2 0,4 0,0 0,8 1,0 X Príklad Buffonova úloha. V rovině jsou rozmístěny rovnoběžky ve vzdálenosti d > 0. Na rovinu hodíme náhodně jehlu délky 0 < 1 < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou rovnoběžku? v Řešení Předpokládejme, že náhodně znamená, že každá poloha (středu) a každá orientace jehly je stejně pravděpodobná a že tyto dvě nahodile proměnné jsou na sobě nezávislé. Nechť x je vzdálenost středu jehly od nejbližší rovnoběžky a cp je úhel, který jehla svírá s rovnoběžkami. 22 X J£- l sin >; ft = {0 < if < TT, 0 < x < d] A= {(tp,x) e Q : x < Ismip} Q(A) = mes (A) f/sin