Náhodná veličina 7.1. Motivace: Výsledky náhodného pokusu lze popsat reálnými čísly (resp. reálnými vektory) pomocí nějakého zobrazení X: O -> r ( x = (xl3...,Xn): O. -> Rn). Pokud bude toto zobrazení splňovat určité podmínky, nazveme ho náhodnou veličinou. Příklady náhodných veličin: počet členů náhodně vybrané domácnosti, počet chyb, jichž se dopustí nějaké zařízení za určitou dobu, doba do poruchy nějakého zařízení, hmotnost náhodně vybraného výrobku apod. Vztah mezi znakem a náhodnou veličinou Pojem „znak", který jsme zavedli v popisné statistice, je sice blízký pojmu „náhodná veličina", ale není s ním totožný. Znak může být považován za náhodnou veličinu, jestliže jeho hodnoty zjišťujeme na objektech, které byly vybrány ze základního souboru náhodně. 7.2. Definice: Nectiť {U,A),(RnJSn) jsou merit dne prostory. Zobrazení X : í 2 i-> Rn se nazývá náhodná veličina (vzhledem k A), právo když je bor d ov sky mčfitolrid (vzhledem k A). Pro n = \ hovoříme o skalární náhodné veličine, pro r; > 'i o náhodném vektoru. Přitom zobrazení A'i : í3 —> R.....A"n : í3 i-> R se nazývají složky náhodného vektoru. Obraz X(lj) = (Xi(oj), , r, ,Xn(üj)) se nazývá číselná realizace náhodne' vdičiny X příslušná možnému výsledku u. 1 Ilustrace náhodné veličiny Základní prostor Nechť (Q,A),(R",Bn) jsou měřitelné prostory. Zobrazení X : S2 ■-» Rn se nazývá borelovsky měřitelné (vzhledem k A), právě když úplný vzor každé a-rozměrné borelovské množiny je jev, tj, V5 € Bn : Xinv{B) ={wG Ü;X(lü) G B} G A. {v*n r je náhodná veličina vzhledem k A max, protože úplný vzor každé borelovské množiny je jev vzhledem k A max . Vzhledem k vzhledem k A však X není náhodná veličina: Úplný vzor množiny (-°°54)je {tol5o)2,o)3,o)4}ř A. 3 Príklad Zavedeme zobrazení Q -> R, které poloze kostky lichým číslem nahom přiřazuje 0 a sudým 1. A = ^WK^^}^^^}} J^ Toto zobrazení je náhodná veličina vzhledem k A a nazývá se ukazatel parity. 4 Náhodná veličina 7.4. Označení n) Jrstliíi? nehruzí nebezpečí iietloro/iitiietii, zapisujeme n aliud nun vel iŕ i hu i jtijí Ľisehiuu realixaei ivtiiž symbolem X. b) Množinu {u č í?;X{u) f D] zkrácené zapisujeme {X ť /?} a čteme: ná-I k Kiná veličina X se realizovala v borelovskč rnnožinč D. Ve spedálnírn prípad ŕ, kdy /? = {xj resp. B = (--ocx), píScme {X = x} reap. {X < x}. i) Zápis príivdépodulmosti zkrátíme takto: Pi[w* lí;X(w) ŕ /?}) = P(X f/?) H^f ií;XM '1 vektorová. Důkaz: ^_____V_ Aby zobrazení Y: Q ^> Rm bylo náhodnou veličinou vzhledem k A , musí platit: vše Bm: Yinv(B) = {cDGQ;Y(ca)GB}G A . Nechť tedy B e Bm Protože g je borelovská funkce, je ginv(B) <=Bn. Protože X je náhodná veličina, je Xinv(ginv(B)) e A . Ovšem Xinv(ginv(B)) = Yinv(B). Transformovaná náhodná veličina 7.6. Poznámka: (Příklady transformovaných náhodných veličin) NechťX = (Xh ..., Xn) je náhodný vektor. a) Nechť {i, ..., j} = {1, ..., n} - {k, ..., 1}. Náhodný vektor (X Í9 ..., Xj) se nazývá vybraný marginálni vektor, (Xk, ..., Xi) se nazývá zbylý marginální vektor. Původní náhodný vektor (X^ ..., Xn) se v této souvislosti nazývá zbylý marginální vektor. n b) XXj.max^,.....xj, sinOC;)... j sou transformované náhodné veličiny. 1=1 7.7. Definice: Posloupnost £cn J=1 spočetně mnoha náhodných veličin definovaných na témž měřitelném prostoru (Í2, A ) se nazývá náhodná posloupnost. 7 Distribuční funkce náhodné veličiny 8.1. Motivace: Při pozorování realizací náhodné veličiny si povšimneme, že některé její hodnoty se vyskytují s větší pravděpodobností, jiné s menší. Pravděpodobnostní chování náhodné veličiny X budeme popisovat pomocí distribuční funkce, která udává pravděpodobnost jevu, že náhodná veličina X se realizuje hodnotou nejvýše x: Vx g R: 0(x) = P(X < x) Je to zidealizovaný protějšek empirické distribuční funkce zavedené v popisné statistice: VxeR:F(x)=*fcýL) n Lze očekávat, že s rostoucím rozsahem výběrového souboru se budou hodnoty empirické distribuční funkce F(x) ustalovat kolem hodnot distribuční funkce O(x). Vlastnosti empirické distribuční funkce se přenášejí i na distribuční funkci. 8 Distribuční funkce náhodné veličiny 8.2. Definice: a) Nechť (Í2,^4,P) je pravděpodobnostní prostor, X : íí h- R je skalární náhodná veličina. Funkce : B i—> i? daná vzorcem: Vx € ií : *(x) = P(X < x) se nazývá distribuční funkce náhodné veličiny X, b) Nechť (íi, ^4, P) je pravděpodobnostní prostor, X = (Xi,..., Xn) : íl h-> i?'"' je náhodný vektor. Funkce : iľ" ^-» i? daná vzorcem: V(xi,..., xn) € Bn : <&(xi,..., xn) = P(Xj < x i A ... A Xn < xn) se nazývá distribuční funkce náhodného vektoru X. 9 Príklad 8.3. Příklad: Najděte distribuční funkci náhodné veličiny X, která udává, jaké číslo padlo při hodu kostkou a nakreslete graf této distribuční funkce. v Řešení: Náhodná veličina X muže nabývat hodnot 1, 2, 3, 4, 5, 6. Číselnou osu tedy rozdělíme na 7 intervalů. Xe (-00, l):0(x)=P(X/w v 7 6 6 6 6 6 6 xe (6,oo):0(x) = P(X(:r) \v distribuční funkce skalární náhodné veličiny A". Pak (.r) iná následuj iVí vi as tn us t i: a) #(aľ) je neklesající, tj. Vaľ] < x% i #(zi) < #(jľ2). 1)) #(#) je zprava, spojitá, tj, pro liboví íl 1 té, ak pevně ú rj.tté ;iľ(t G /i* je c) #(jľ) je normovaná, tj. liin #(x) — 1, liin ${x) — ÍL d) Va, 5 Efta< & => P {a < X < h) = #(&) - #(a). e) Pni libovolné, ale pevné dané ar© € i? : -P(A' ~ x«) - #(#). Důkaz: Jenom náznakem. ad a) Plyne z monotonie pravděpodobnosti P9. ad b) Plyne ze spojitosti pravděpodobnosti shora P17. ad C) lim 0(x) = lim p(x < x) = p(0) = 0, lim 0(x) = lim p(x < x) = P(q) = 1 x—>-co x—>-co x—>co x—>co ad d) Plyne ze subtraktivity pravděpodobnosti P8. ad e) Plyne ze spojitosti pravděpodobnosti zdola P16. P9: A i c A2 -, • P(A2) 10 a) Určete pravděpodobnost, že v náhodně zvolený den bude obsazeno právě 7, 8, 9, 10 pokojů. b) Jaká je pravděpodobnost, že bude obsazeno nejvýše 10 a nejméně 8 pokojů? v Řešení: ad a) Využijeme vlastnost (e) z věty 8.4. p(X = 7) = 0(7)- lim 0(x) = 0,02 - 0 = 0,02 p(X = 8) = 0(8) - lim 0(x) = 0,05 - 0,02 = 0,03 x—>8_ p(X = 9)= 0(9)- lim 0(x)= 0,12-0,05 = 0,07 x—>9_ p(X = 10)=O(l0)- lim 0(x)= 1-0,12 = 0,88 x—>10_ ad b) Využijeme vlastnost (d) z věty 8.4. P(8 < X < 10) = P(7 < X < 10) = O(l0)- 0(7) = 1 - 0,02 = 0,98 Príklad Je funkce 0(x) = sin x distribuční funkcí náhodné veličiny X v intervalu a) (0,7r) , b) (o,y2) ? Řešení: a) NE b) ANO 13 Príklad Určete a) konstanty A, B tak, aby funkce 0(x) = A + Be~x byla distribuční funkcí náhodné veličiny pro xg(o,oo)) b) pravděpodobnost P(l < X < 4), Řešení: a) 0 = limA + Be~x = A + Blime~x = A + B K j = 1 x^O x^O ' X ^ X l = lim^ + ^x=^ + lim^x=^ " 5 = -l 3 X^-00 X^-00 C) 0(x) = l-e b) p(l < X < 4) = 0(4) - 0(1) = ^—^ = 0,3496 e4 14 Vlastnosti distribuční funkce náhodného vektoru 8.6. Věta: Nechť $(jeis - - - ,xn) je distribuční funkce náhodného vektoru X. Pak<ř(xi.... ,xn) iná následující vlastnosti: a) $(x\, .. -,xfí) je neklesající vzhledem ke každé jednotlivé proménné. b} $(a?i, .. . ,xn) je /pravá spojitá v/hledcm ke každé jednotlivé proménné. c) lim #(aľi,.. -,xn) = 1 Vi 6 {L- --,n\ : lim $(ar1?... ?arn) = 0 d) Víi,,...,!,,]^ iťCvťAi,---,/!»)^^ : P(a:i < Jť! < a;j + /ij A-.. Axn < Xn < xn + kn) = {x] + hu - - - ,xn + hn) - n n 1 n Y, #(flJi+Ai, ...,£j,... ,a:n+fcn)+ 53 S *(*1+Äi, . ..tXit.. .,3^,.... 3ľn 4- /in}" i=l i=l j=i+l ...+ (-!)"*(*!,...,*„) e) Vi € {1,... ,n} : lim (xit.. .txn) = $í(xí). Xj—tou U+l —>OĽ 15 Vlastnosti distribuční funkce náhodného vektoru Důkaz: Jenom náznakem. ad a), ad b) Podobně jako ve skalárním případě. ad c) lim 0(x1,...,xn)= lim P(Xj < Xl a...aXd co x1—>co Xn^-CO Xn^OD Vie{l,...,n}: lim 0(x1,...,xn)= lim p(Xj co x1_1—>co Xl4i—»co Xi.i—»co P(X1 0, h2> 0 nás zajímá pravděpodobnost, že náhodný vektor (x^x2) se bude realizovat v obdélníku (x^ +h1)x(x2,x2 +h2 Pyxl (x1 +/i1,x2)-0(x]?i2 +h2) + ■% ■ i* !Hf MNM !« S »B h t, n 19 Príklad 8.8. Příklad: Náhodný vektor (Xi, X2) má distribuční funkci 0(xi, x2) = — (arctg xi + -)(arctg x2 + -). tí 2 2 Vypočtěte pravděpodobnost, že náhodný vektor (Xi, X2) se bude realizovat v jednotkovém čtverci (o,i)x(o,i Najděte obě marginální distribuční funkce Oi(xi), 02(x2). v Řešení: P(0 < Xi < 1 aO < X2 < 1) = 0(1,1) - 0(1,0) - 0(0,1) + 0(0,0) = =A(-+-)(-+-) - 4-(-+-)(o + -) - Mo + -)(-+-) + Mo + -)(o + *) = -i. i2V4 2A4 2; it2V4 2A 27 n2 v 27V4 27 n2 v 27V 27 16 O^xO = iimX2_ \ (arctg X! + ^(arctg x2 + ^ = -(arctg Xj + ^ 7T 2 2 7T 2 02(x2) = iimXi_ 4 (arctg Xl + ^ (arctg x2 + ^ = - (arctg x2 + ^ n 2 L tí 2 20 _l Existence distribuční funkce 8.9. Věta: (existenční věta) a) Skalární případ: Jestliže funkce <&(x) má vlastnosti (a), (b): (c) / vély o vlastnostech distribuční funkce skalární náhodné veličiny, pak existuje pravděpodobnostní prostor (£l,A, P) a na ném definovaná skalární náhodná veličina X tak. /e $>(x) je její distribuční funkce. b} Vektorový případ: Jestliže funkce $(#!,... 7xn) má vlastnosti (a), (b). (e) z věty o vlastnostech distribuční funkce náhodného vek toru. puk existuje pravděpodobnostní prostor {$1,-4. /*) a na něm definovaný náhodný vektor X = (X\..... A'„) tak. ze 4>(jri.,... x„) je jeho distribuční funkce. 21