Diskrétní náhodná veličina - motivace 9.1. Motivace: Distribuční funkce popisuje pravděpodobnostní chování jakékoliv náhodné veličiny. V praxi však mají význam dva speciální typy náhodných veličin, a to diskrétní a spojité náhodné veličiny. Diskrétní náhodná veličina nabývá nejvýše spočetně mnoha izolovaných hodnot. Je to např. počet zásahů do terče při střelbě, počet chyb, jichž se dopustí nějaké zařízení za určitou dobu, počet zákazníků ve frontě apod. Pravděpodobnostní chování diskrétní náhodné veličiny popisujeme pravděpodobnostní funkcí: VxgR:tt(x) = P(X = x). Je to zidealizovaný protějšek četnostní funkce zavedené v popisné statistice v souvislosti s bodovým rozložením četností: w p M N(X = x) Vx e R : p(xj = —--------- n S rostoucím rozsahem výběrového souboru se budou hodnoty četnostní funkce ustalovat kolem hodnot pravděpodobnostní funkce. Vlastnosti četnostní funkce se přenášejí i na pravděpodobnostní funkci, tedy pravděpodobnostní funkce je nezáporná Vx G R : 7l(x) > 0 , je normovaná 2>(x)=i, X=-00 s distribuční funkcí je spjata součtovým vztahem Ilustrace vztahu mezi cetnostní funkcí a pravděpodobnostní funkcí Provedeme n hodů kostkou. Zajímáme se o cetnostní funkci počtu ok. n = 60: 0,20 F r\ • P) 1 P\x)o^o\ • \J O • I 0,05 j 0,00 0 1 2 3 V 4 5 6 7 n = 600: 0,20 f r^i ms A P) 1 0,15 • Í9 vJ i) V Pix) ZI 0,00 0 1 2 3 4 5 6 7 t? —»oo: 0,20 f o M) -------•— —•------ A O j 0,15 í \J %J w W J 7T(x) 0,10 0,05 0.00 3 4 x Spojitá náhodná veličina - motivace Spojitá náhodná veličina nabývá všech hodnot z nějakého intervalu. Je to např. výsledek nějakého fyzikálního či chemického měření, hektarový výnos pšenice, hmotnost sériově vyráběného výrobku apod. Pravděpodobnostní chování spojité náhodné veličiny popisujeme hustotou pravděpodobnosti (p(x), což je zidealizovaný protějšek hustoty četnosti f(x) zavedené v popisné statistice v souvislosti s intervalovým rozložením četností. S rostoucím rozsahem výběrového souboru a klesajícími šířkami třídicích intervalů se budou hodnoty hustoty četnosti ustalovat kolem hodnot hustoty pravděpodobnosti. Vlastnosti hustoty četnosti se přenášejí i na hustotu pravděpodobnosti, tedy hustota pravděpodobnosti je nezáporná Vx G R : (p(x) > 0 , je normovaná uu jcp(x)dx = 1 s distribuční funkcí je spjata integrálním vztahem' 3 Ilustrace vztahu mezi hustotou četnosti a hustotou pravděpodobnosti Náhodně vybereme n sériově vyráběných součástek, změříme jejich délku a budeme se zajímat hustotu četnosti odchylek těchto měření od deklarované délky součástky, n = 40, r = 4: /(*) n=400,r = 8: /(*) JZZZZZZZZK ovvxvwa ft—»oo,r —»oo: q>(x) X 4 Diskrétní náhodná veličina 9.2. Definice: Nechť (Q.Á.P) je pravděpodobnostní prostor. X náhodná veličina defino vana na měřitelném prostoru (Í1, A), která má distribuční íunkoí Q(x). Sekneme. že náhodná veličina X je diskrétní (vzhledem k iJ). pravé když existuje reálná funkce 7r(x}, která je nulová v B. s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha bodň, kde je kladná a platí pro ni: Vx £ B. : (t)=l x=-oo x=-°o adc) P(x = x0)=O(x0)- lim 0(x)= Yn(t)- Um Yrc(t)= lim Y7i(t)=7i(x0) X^X»- t 4 c' 1 f^) 4^p=4f ■e)- ■fc < no ( ^ 'I W) O l ± Príklad Dva střelci (s pravděpodobnostmi zásahu px a p2) se střídají ve střelbě, dokud někdo nezasáhne. Určete pravděpodobnostní funkci počtu výstřelů. Řešení: n(2n + l) = (l-pl)n(l-p2)npl n(2n + 2) = \l-p1y+ (l- p2f p2 7? = 0,1,... Prop1=p2= 0,5: Pro p!=0,8 a p2= 0,3- 8 Príklad Lovec má 5 patron a pravděpodobnost zásahu 0,4. Střílí, dokud netrefí (a dokud má čím). Určete pravděpodobnostní funkci. Řešení: tt(T) = 0,6^-0,4 jt = l,...,4 7r(5) = 0,64 n(x) 9 Diskrétní náhodný vektor 9.5. Poznámka: Distribuční funkce diskrétní náhodné veličiny má schodovitý průběh. Pravděpodobnostní funkce je distribuční funkcí určena jednoznačně. 9.6. Definice: Xerhť (íí, A*P) jtf pravděpodobnostní prostor, X = (A'i. •♦. *Xn) náhodný vektor definovaný na měřitelném prostom (H, A}* Xedtť *t(^i----,xn) je jeho distribuční funkce. Sekneme, že náhodný vektor X je diskrétní (vzhledem k P), práve když existuje reálná funkce tt(x] ..... jr„), která je uniová v Ifir s výjimkou nejméně jednoho a nejvýše spočetně mnoha hodů. kde je kladná a platí pro ni: V(xi^..,xn)€-Rn:$(xi5...,j:n)= E - E ff(*i? ■ ■ ■:<»)■ Tato funkce se nazývá pravdépodol mostní funkce diskrétního náhodného vektoru X. Vlastnosti pravděpodobnostní funkce 9.7. Věta: Nechť n(x].___x7i) je pravděpodobnostní funkce diskrétního náhodného vektoru X, Pak platí:________________ i^-hj;:-: i:;^ :::"Í^"KW*«fsÍ**Í?-:": ^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—^—j Funkce 7Tj(xj) je pravd£|>odobnostní funkce náhodné veličiny Xj. Nazývá se marginální pravděpodobnostní fiitik<-^_ Funkce t:(x]___.xrí)sev této sou vislosti nazývá si t nu U á n ti í pravděpodobnostní funke«, Podobně lze zavést marginální pravděpodobnostní funkce A: proměnných, kde A' € {2.3.. ... n — 1}. 11 Príklad 9.8. Příklad: Je dán systém složený ze dvou bloků. Pravděpodobnost, že i-tý blok správně funguje, je Dj, i = 1, 2 a pravděpodobnost, že správně fungují oba bloky, je Di2. Nechť náhodná veličina Xj je ukazatel fungování i-tého |\ pokud i - tý blok funguje [O, pokud i - tý blok nefunguje vektoru (Xi, X2) a obě marginální pravděpodobnostní funkce 7Ei(xi) a 7i2(x2). bloku, tj. Xi , i = 1, 2. Najděte simultánní pravděpodobnostní funkci 7i(xi, x2) náhodného Řešení: Hodnoty pravděpodobnostních funkcí zapíšeme do kontingenční tabulky. Xl x2 7tl(Xi) 0 1 0 1 2 12 ô2 -ô12 l-»i 1 Qx -ô12 ô12 9l 7t2(x2) l-d2 B2 1 tt(0,0) = P(Xt=0 a X2=0) = 1 - P(Xi=l v X2=l) = 1 - (i)i + D2 -1)12) tt(0,1) = P(Xx=0 a X2=l) = P(X2=1) - P(Xt=l a X2=l) = x)2 - Di2 tt(1,0) = P(Xi=l a X2=0) = P(Xi=l) - P(Xi=l a X2=l) = \)i - d12 tt(1,0) = P(X1=1 a X2=0) = d12 7t(xi,x2) = 0 jinak 1 -1)i -1)2 + 1)12 12 Existenční věta 9.9. Věta (existenční věta) a) Skalární případ: Jestliže funkce ir(x) má vlastnosti Dl. T)2 z vety o vlast no stech pravděpodobnostní funkce skalární náhodne veličiny, pak existuje prav dcpodobnostní prostor (S~Ž. ^4. _/J) a na není definovaná skalární diskrétní náhodná veličina X tak. že n(x) je její pravděpodobnostní funkce. b) Vektorový pří pari: Jestliže funkce irfari- .... xn) má vlastní 3 s ti Dl. T)2 z věty o vlastnostech pravděpodobnostní funkce náhodného vektoru, pak exis tuje pravděpodobnostní prostor (fl7A7P) a na nein definovaný diskrétní ná hodný vektor X = (Xj..... Xn) tak. že 7r(scj.... . xn) je jeho pravděpodobnostní funkce. Spojitá náhodná veličina 9.10. Definice: Nechť (Q. A. ľ] je pravděpodobnostní prostor, X náhodná veličina defino váná na měřitelném prostoru (n,*4), která má distribuční funkci Q(x). fukneme, že náhodná veličina X je spojitá (vzhledem k P), práve když existuje po částech spojitá nezáporná reálná funkce ip(x) tak, že pro Vx € B, : (x)dx = lim íq>(t)dt = lim€>(x) = 1 J x—»°o J x—»°o -CO -CO x+h x+h x ad c) J(x) = P(x < X < x + h) x —co —CO x ad d) P(x = x) = Jcp(t)dt = 0 x r\ff}( \ A X ad e) —^ = — fcp(t)dt = cp(x) ve všech bodech spojitosti funkce cp(x). rlv rlv J dx dx 16 Príklad 9.13. Příklad: Na automatické lince se plní láhve mlékem. Každá láhev má obsahovat přesně 1000 ml mléka, ale v důsledku působení náhodných vlivů množství mléka kolísá v intervalu (980 ml, 1020 ml). Každé množství mléka v tomto intervalu považujeme za stejně možné. Náhodná veličina X udává množství mléka v náhodně vybrané lahvi. Najděte její hustotu pravděpodobnosti (p(x) a distribuční funkci O(x). Jaká je pravděpodobnost, že v náhodně vybrané láhvi bude aspoň 1000 ml mléka? Řešení: 1020 40 40 pro980 1000)= T—ár = — [x]Z = — = 0,5 v J J 40 40 40 1000 %V % wo 17 Príklad Napište distribuční funkci rozdělení daného hustotou f(x) = x/2 na (0, 1), 1/2 na (1, 2), (3 - x)/2 na (2, 3). Řešení: Na (0,1): F(x)= jf(t)dt= j-dt o 0 ^ Na (1,2): F(x) = - + -(x-íi Na (2,3): ^ . 1 1 xr3-ř , F(x) = - + -+ -----dt 4 2 l 2 l_ 2 L Jo X 1_I 4 2 (3-/ľ J2 t (3-^y 4 18 Príklad Rozdělení náhodné veličiny X je dáno hustotou f(x) = 2x+2, na (-1, 0) a nulovou jinde. Najděte P(-2^)=l-F(V^)=l-^7r ^ 1 n V —+ — 3 2 y 6 20 Spojitý náhodný vektor 9.14. Definice: Nechť (ŕŽ. A. P) je pravděpodobnostní prostor. X = (X]..... Xn) náhodný vektor definovaný na měřitelném prostoru (íl. A). Nechť ^(a?iľ..., xn) je jeho distribuční funkce. Sekneme, že náhodný vektor X je spojitý (vzhledem k iJ). práve kdyz existuje po částech spojitá nezáporná reálná funkce ip(x\r... TJCn) tak. že pro XI Xn V(jľi,.... a:n) E i£n : $(^i ■ ■ ■ ■ ■ xn) = j ... J" ip(t-[..... *n)^*i ■ ■ ■ dtn. Tato —oo —oo funkce se nazývá hustota pravda podol j r k ist i spojitého náhodného vektoru X. 21 Vlastnosti hustoty pravděpodobnosti 9.15. Věta: Nechť 9^,...,xn) je hustota pravděpodobnosti spojitého náhodného vektoru X = (Xi, ..., Xn). Pak platí: :;::äjxV|íS£Í;:i:::Í::^ ■■■:E;Í::-::$-:::+:í:!*:$^^ f:::oéx: :\ao0: Funkce ^>í(íCí) je hustota náhodné veličiny Jť;. Nazývá se rrmrgirmlrií lius-tnta. Funkce ^(íCi, - - - řJCn) se v této souvislosti nazývá smmH^imí hustni^. Podobné lze zavést marginální hustoty k proměnných, kde k G {2. 3..... r/ — 1}. Existenční věta 9.16. Věta: (existenční věta) a) Skalární případ: Jestliže funkce 2(x2) =---------z-. n(l + x22) 24