Stochasticky nezávislé náhodné veličiny - motivace 10.1. Motivace: Při provedení pokusu se může stát, že se realizace jedné náhodné velič iny Y dají jednoznač ně urč it ze známé realizace druhé náhodné velič iny X, tedy je mezi nimi funkční vztah Y = g(X). Takové náhodné velič iny se nazývají deterministicky závislé. Jejich protipólem jsou náhodné velič iny stochasticky nezávislé: informace o realizaci jedné z nich nijak nemění šance, s nimiž př i témž pokusu o č ekáváme realizaci druhé. Nap ř. náhodný pokus spočívá v hodu dvěma kostkami. Náhodná velič ina X udává počet ok, která padla na 1. kostce a náhodná velič ina Y udává počet ok, která padla na druhé kostce. Náhodné velič iny X, Y jsou stochasticky nezávislé. Stochastickou nezávislost náhodných velič in zavádíme na základ ě analogie s četnostní nezávislostí znaků v daném výb ěrovém souboru, která se používá v popisné statistice. Musí platit multiplikativní vztah: "(x, y) G R2 : p(x, y) = p1 (x)p2 (y) pro bodové rozložení četností, V(x,y)e R2:f (x,y) = f (x f (y) pro intervalové rozložení četností. V počtu pravd ěpodobnosti nahradíme č etnostní funkci pravd ěpodobnostní funkcí resp. hustotu č etnosti nahradíme hustotou pravd ěpodobnosti. Místo dvou náhodných velič in X, Y můžeme uvažovat n náhodných velič in: Náhodné velič iny X1, ..., Xn jsou stochasticky nezávislé, když platí: v diskrétním případ ě, "(xi, k , xn ) G Rn : j(xi,..., xn ) = j ) - k -j n ) ve spojitém případ ě, "(xi,k,xn)e Rn : F(xpk,xn) = Fi(xi)-...-Fn) v obecném případě. i Stochasticky nezávislé náhodné veličiny 10.2. Definice: a) Obecný případ: Řekneme* že náhodné veličiny X\y ,.^Xn s marginálními distribučními funkcemi [x])..... ... • P(Xn < y)= Fj (y> ... •fn (y) fmin (Z)= P(Z < Z)= P(min{Xj,k,Xn }< Z)= P(Xj < Z v k v Xn < Z)= 1 - P(Xj > Z a ... a Xn > Z)= 1 - P(Xj > Z> ... • P(Xn > Z> = 1 -[1 - P(X1 < z)} ... [1 - P(Xn < Z)]= 1 -[1 (z)} ... [1 -f n (z)] 6 Příklad 10.9. Příklad: Na automatické lince jsou láhve plněny mlékem. Je známo, že množství mléka v láhvích kolísá od od 0,98 l do 1,02 l. V tomto intervalu považujeme každémnožství mléka za stejně možné. Za 1 sse naplní 3 láhve. Jakáje pravděpodobnost, že a) nejméně naplněná láhev obsahuje aspoň 1 l mléka, b) v nejvíce naplněné láhvi není víc než 1,01 l mléka? Řešení: Náhodná veličina Xi udává množství mléka v i-té láhvi, i = 1, 2, 3. Je to spojitá náhodná veličina, její hustota pravděpodobnosti je konstantní na intervalu (0,98; 1,02). Z podmínky normovanosti S2 dostaneme, že hustota Í0 prox e(-¥,980) prox e (980,1020) 40 [0 jinak Distribuční funkce: F(x)= f—dt =—[x L = 2^-980 proxe (980,1020) 9J040 40 980 40 1 proxe (1020,«) ad a) p(z > 1000)= 1 - p(z £ 1000)= 1 - Fmin (1000)= [1 - F(1000)] 3= 1- 1000 - 980 40 . 3 (1Y = v 2 j 1 0,125 ad b) p(y £ 1010) = fmax (1010) = [f(1010)] 3= (3' v 4 = 27 = 64 0,42 8 3 7 Vybraná rozložení diskrétních a spojitých náhodných veličin Motivace Nyní se seznámíme s přehledem důležitých pravděpodobnostních funkcí a hustot pravděpodobnosti. Uvedeme nejenom analytické vyjádřenítěchto funkcí, ale téžjejich grafy. Vysvětlíme rovněž, v jakých situacích se lze s uvedenými rozloženími pravděpodobností setkat. Zvláštní pozornost budeme věnovat normálnímu rozložení, které hraje velkou roli v celé řadě praktických aplikací počtu pravděpodobnosti i v matematické statistice. Označení Známe-li distribuční funkci O(x) náhodné veličiny X (resp. pravděpodobnostní funkci n(x) v diskrétním případě resp. hustotu pravděpodobnosti (p(x) ve spojitém případě), pak řekneme, že známe rozložení pravděpodobností (zkráceně rozložení) náhodné veličiny X. Toto rozložení závisí na nějakém parametru J, cožje nejčastěji reálné číslo nebo reálný vektor. Zápis X ~ L( J ) čteme: náhodná veličina X má rozložení L s parametrem J. Na webu: http://en,wikipedia,org/wiki/List of probability distributions 8 Vybraná rozložení diskrétních náhodných veličin Důležitá diskrétní rozdělení: > Degenerované rozložení > Alternativní (Bernoulliho) rozdělení > Binomické rozdělení > Multinomické rozdělení > Poissonovo rozdělení > Negativně binomické (Pascalovo) rozdělení > Geometrické rozdělení (zvláštnípřípad negativně binomického rozdělení) > Hypergeometrické rozdělení > Rovnoměrné rozdělení 9 _ Degenerované rozložení Degenerované rozložení: Náhodná veličina X nabývá pouze konstantní hodnoty m, píšeme X ~ Dg( m ). [1 pro x = m 0 jinak Pravdep. funkce Dg(1) 10 Alternativní rozložení Alternativní rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v jednom pokusu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je J. Píšeme X ~ A( J ). Í1 -J pro x = 0 f , X1 ' Jx (1 -J)1-x pro x = 0, 1 J pro x = 1 neboli n(x) 0 jinak Pravdep. funkce A(0.75) 10 jinak 11 Binomické rozložení Binomické rozložení: Náhodná veličina X udává počet úspěchů v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu J. Píšeme X ~ Bi(n, J ). n v x 0 J x(1 -J)n-x pro x = 0, ... , n 0 jinak (Alternativní rozložení je speciálním případem binomického rozložení pro n = 1. Jsou-li Xb Xn stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ A( J ), i = 1, n, pak X = ^Xi ~ Bi(n, J ).) Pravdep. funkce Bi(5,0.5) i=1 12 Příklad Příklad na binomické rozložení pravděpodobností: Firma se účastní čtyř nezávislých výběrových řízení. Pravděpodobnost, že uspěje v kterémkoliv z nich, je pro všechny konkurzy stejná a je rovna 0,7. Jaká je pravděpodobnost, že firma uspěje a) právě 2x b) aspoň 2x c) nejvýše 2x? Řešení: X ... počet úspěšných konkurzů, X ~ Bi(4; 0,7) ad a) P(X = 2 ) = p(2 ) = ía\ v 2 y 0,720,32 = 0,2646 ad b) P(X > 2) = p(2) + p(3) + p(4) = v 2 y 0,720,32 + v3 y 0,730,3+ v4y 0,74 = 0,9163 ad c) P(X £ 2) = F(2) = p(0) + + p(2) = ía\ v0y ía\ 0,34 + v1 y 0,7 • 0,33 + v2y 0,720,32 = 0,3483 13 Příklad Pravděpodobnost narození chlapce je 0,515. Určete takový počet dětí, aby pravděpodobnost, že mezi nimi bude aspoň jeden chlapec, byla vetší než 0,99. Řešení: Označme jako X veličinu udávající počet chlapců mezi n dětmi, je X~Bi(n,0,515). Hledáme takové n, aby P(X >0) > 0,99, přitom platí P (X > 0 ) = 1 - P (X £ 0 ) = 1 - P (X = 0 ) = 1 -5=> 1 - (0,485)n > 0,99 ' n ^ V 0 0 0,5150 • (1 - 0,515) n-0 ln0,01 n >-@ 6,36 ln0,485 ^> n > 7 14 Multinomické rozložení Multinomické rozložení: Zobecnění binomického rozložení. Složky náhodný vektoru (Xj,...Xk) udávají počty úspěchů (nastane jev Ai?...Ak) v posloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů, přičemžpravděpodobnosti úspěchů jsou Jk. Předpokládáme, že při každém pokusu nastane právě jeden z jevů Aiv. .Ak , přičemž platí Ji +,...,+Jk = i. Píšeme X ~ Mu (n,J,..., Sk) k e {i,...,n},^xf = n = 0 jinak Platí: Xj ~ Bi(n,Jj) X ' X ' ik 15 Multinomické rozložení -příklady využití > Předvolební průzkum: ■ n - počet tázaných ■ Jj - skutečný podíl voličů j-té strany v populaci ■ X - počet (četnost) voličů j-té strany ve výběru > Hody hrací kostkou: ■ n - počet hodů ■ J6 - pravděpodobnost jednotlivých stran kostky ■ X1?.. .X6 - absolutní četnosti jednotlivých stran kostky > Krevní skupiny: ■ n=4 (skupiny 0,A,B,AB) ■ J0, JA ,JB, JAB - pravděpodobnosti skupin 0, A, B, AB ■ X0, XA, XB, XAB - počty osob se skupinami 0, A, B, AB 16 Poissonovo rozložení: Náhodná veličina X udává počet událostí, které nastanou v jednotkovém časovém intervalu (resp. jednotkové oblasti), přičemž události nastávají náhodně, jednotlivě a vzájemn ě nezávisle. Parametr X > 0 je střední počet těchto událostí. Píšeme X ~ Po(X). (Poissonovým rozložením se řídí např. počet výzev, které dojdou na telefonní ústřednu během určitého časového intervalu nebo počet mikroorganizmů v zorném poli mikroskopu. Jde o tzv. řídce se vyskytující jevy.) 17 Příklad Vztah mezi pravděpodobnostní funkcí binomického a Poissonova rozložení: Nechť náhodná veličina X ~ Po(X) a náhodná veličina Y ~ Bi(n, Jn). Nechť Jn — 0 pro n — oo a přitom n Jn — X. Pak pravděpodobnostní funkce náhodné veličiny Y konverguje k pravděpodobnostní funkci náhodné veličiny X, tj. lim n —»ool iy j (Aproximace binomického rozložení pomocí Poissonova rozložení je vyhovující, když n > 30 a J < 0,1.) Příklad na Poissonovo rozložení: Dělnice v prádelně obsluhuje 800 vřeten. Pravděpodobnost toho, že se příze přetrhne během časového intervalu délky t, je pro všechna vřetena stejná a je rovna 0,005. Určete pravděpodobnost, že během intervalu délky t dojde k nejvýše 10 přetržením. Řešení: Y - počet přetržení v časovém intervalu délky t, Y ~ Bi(800;0,005). Přesný výpočet: P(Y £ 10) ~ X y=01y J 0,005y (1 _ 0,005)800_y = 0,997239 Aproximativní výpočet: podmínky dobré aproximace jsou splněny, parametr 10 ay X = n J = 800.0,005 = 4, P(Y £ 10) = X — e_4 ~ 0,9971602 =0 y 18 Příklad 1) Průměrný telefonní hovor trvá 1,5 min. Má-li ústředna 10 linek a dochází-li průměrně k 120 hovorům za hodinu, jakáje pravděpodobnost ztráty volání? Řešení: X udává počet volajících, X~Po(2*1,5). Ke ztrátě volání dojde, pokud chce současně volat více než 10 volajících (tj. není volná linka). Tedy 10 3 x P (X > 10 )= 1 - P (X £ 10 )= 1 -X — e 3 @ 0,001. x=0 x! 2) Průměrný telefonní hovor trvá 1,5 min. Kolik linek musí ústředna mít, dochází-li průměrně k 240 hovorům za hodinu a pravděpodobnost ztráty volánínemápřekročit a) 0,01, b) 0,001? Řešení: X udává počet volajících, X~Po(240/60*1,5). Hledáme n tak aby P (X > n) £ 0,01 tj. P(X £ n )> 0,99 ^> X X e ~6 > 0,99 ^> n = 12. x=0 x! Pro případ b) chceme X"7e"6 > 0,999 n = 15. 19 x=0 x! Negativní binomické rozložení (Pascalovo): Náhodnáveličina X udávápočet neúspěchů před n-tým úspěchemvposloupnosti n nezávislých opakovaných pokusů,přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu J. Píšeme X ~ NB(n, J). p( x) n + x - W v x Jn(1 -J), x = 0,1,k, 0 < J < 1 0 0 jinak NB (2,0.2) i ° a NB (2,0.4) 0.1 o • • O o o o 8 9 10 > Negativně binomické rozdělení lze definovat obecněji. Tak jak je zde uvedeno jde o rozdělení Pascalovo. 20 Geometrické rozložení: Náhodná veličina X udává počet neúspěchů v posloupnosti opakovaných nezávislých pokusů předcházejících prvnímu úspěchu, přičemž pravděpodobnost úspěchu je v každém pokusu rovna J. Píšeme X ~ Ge( J) (1 - J)x J pro x = 0, 1, ... [0 jinak Pravdep. funkce Ge(0.25) 21 Příklad Dva hráči střídavě házejí kostkou. Vyhrává ten, kdo první hodí šestku. Jaká je pravděpodobnost, že vyhraje ten, který začínal? Řešení: X udává počet nehození šestky (neúspěch) před prvním hozením šestky (úspěch), X ~ Ge(1/6). Hledáme tedy pravděpodobnost jevu A: 1. úspěch po sudém počtu neúspěchů. 2 k 22 Hypergeometrické rozložení: V souboru N prvků je M prvků označeno. Náhodně vybereme n prvků bez vracení. Náhodná veličina X udává počet vybraných označených prvků. Píšeme X ~ Hg(N, M, n) vx 0v N - M n - x N vn 0 pro x = max {0, M - N + n}, ..., min{M, n} [0 jinak 23 Příklad V klobouku jsou 3 černé a 4 bílé koule. Určete pravděpodobnost, že při vytažení 3 koulí budou aspoň 2 černé. Řešení: X udává počet vytažených černých koulí, X ~ HG(7,3,3). Hledaná pravděpodobnost je Í3Y4>1 Í3Y4>1 + P (X > 2 ) = 1 - P (X £ 1)= 1 - V 0 A 3 0 V10V20 í 71 V3 0 1 -1^ = 1 - 22 = 13 = 0,371. 35 35 35 24 Rovnoměrné diskrétní rozložení: Nechť G je konečná množina o n prvcích. Náhodná veličina X nabývá se stejnou pravděpodobností každé hodnoty z množiny G. Píšeme X ~ Rd(G) ' 1 G — pro x g G n(x) = 1 n 0 jinak (Typickým příkladem je náhodná veličina udávající počet ok při hodu kostkou.) Pravdep. funkce Rd({1,2, 0.18i 0 123456789 1011 25 Vybraná rozložení spojitých náhodných veličin Důležitá spojitá rozdělení: > Rovnoměrné rozdělení Normální rozdělení (označované také jako Gaussovo rozdělení) > Logaritmicko-normální rozdělení (také log-normální rozdělení) > Studentovo rozdělení > Fischerovo-Snedecorovo rozdělení > x2 rozdělení (Chí kvadrát) > Cauchyho rozdělení > Exponenciální rozdělení > Laplaceovo rozdělení (nebo také dvojitě exponenciální rozdělení) > Weibullovo rozdělení 26 Rovnoměrné spojité rozložení: Předpokládejme, že veličina X - může nabýt jakékoliv hodnoty mezi čísly a, b - pravděpodobnost, že nabude hodnoty z jakéhokoliv intervalu v tomto rozmezí je stejná jako pravděpodobnost, že nabude hodnoty z jakéhokoliv jiného intervalu stejné délky. Jsou-li tyto podmínky splněny, pak X má rovnoměrné spojité rozložení na intervalu (a, b). Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X je konstantní na intervalu (a, b) a plocha pod křivkou hustoty tvoří obdélník. Píšeme X ~ Rs(a, b). (p(x) 1 b-a 0 jinak pro x g (a, b) F ( x) = 0 x - a b - a 1 x x £ a g (a, b ) x > b 27 Normální rozložení: Tato náhodná veličina vzniká např. tak, že ke konstantě p se přičítá velké množství nezávislých náhodných vlivů mírně kolísajících kolem nuly. Proměnlivost těchto vlivů je vyjádřena konstantou a > 0. . (x-m )2 1 -.2 2 Píšeme X ~ N(p, a ), hustota (p(x) Gaussova křivka. 2p 2s2 11— ■ i ~* i— ■ i * \ ŕJ = Ú, tfŕ=D2,- ŕJ = o, cr=ijo,— p = u, a*=bn,— \ í \ i - -J i \ > -— / , i " 1 -S -1 0 1 2 1 4 .V Grafem této hustoty je tzv. 28 Ilustrace vzniku normálního rozložení pomocí Galtonovy desky: Deska obsahuje n řad pravidelně uspořádaných klínů, a to tak, že v k-té řadě je právě k klínů. Do otvoru nahoře padají kuličky, které jsou v každé řadě se stejnou pravděpodobností 1/2 vychylovány vlevo nebo vpravo. Pod poslední radou je n 1 přihrádek, ve kterých se kuličky shromaždují. Nasypeme-li do tohoto systému velké množství kuliček, vytvoří v přihrádkách jakýsi "kopec", jehož tvar je velmi podobný tvaru grafu hustoty náhodné veličiny s normálním rozložením. Náhodné vychylování kuliček jednotlivými řadami překážek je možno chápat jako speciální případ velkého množství chybových faktorů, náhodně působících na nějaký proces, jako působení mnoha blíže nespecifikovatelných vlivů, které ovlivňují zcela náhodně rozložení jeho výsledku. Obrázek 29 Standardizované normální rozložení: 2 Pro u = 0, a = 1 se jedná o standardizované normální rozložení, píšeme -3-2-10123 -3-2-10123 ur 1 — O(u) = I -==e 2 dt je tabelována pro u > 0, pro u < 0 se používá přepočtový vzorec O(-u) = 1 - O(u). 30 v Příklad na normální rozložení: Výsledky u přijímacích zkoušek na jistou VS jsou normálně rozloženy s parametry |i = 550 bodů, a = 100 bodů. S jakou pravděpodobností bude mít náhodně vybraný uchazeč aspoň 600 bodů? Řešení: X - výsledek náhodně vybraného uchazeče, X ~ N(550, 100 ), P(X > 600) = 1 - P(X < 600) + P(X = 600) = 1 - P(X < 600) = =1 - P X-ju £ 600-jit s s 1 - P U £ 600 - 550 100 1 - 0(0,5) = 1 - 0,69146 = 0,30854. ■ Některé vlastnosti normálního rozložení: Jestliže x~ n (m, s2), pak u = x—^ ~ n(0,1) . s Jestliže X~ N (m, s2), a Y = a + bX, pak Y~ N (a + bjm,b2 s2). Jestliže xp ... ,xn jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi~ N(mi, si2), i = 1, ... ,n, y = X xi, pak y ~ Význam normálního rozložení: Normální rozložení hraje ústřední roli v počtu pravděpodobnosti i matematické statistice. Jeho význam spočívá jednak v tom, že normálním rozložením se řídí pravděpodobnostní chování mnoha náhodných veličin a jednak v tom, že za určitých podmínek konverguje k normálnímu rozložení součet nezávislých náhodných veličin s týmž rozložením (viz centrální limitní věta). nn V i=1 i=1 „koncentrace hodnot" normální NV: Přes 68% hodnot „leží" v intervalu (ji-g, jj+g). Přes 95% hodnot „leží" v intervalu (ji-2g, ji+2g). Přes 99% hodnot „leží" v intervalu (ji-3g, jj,+3g). 32 Definice: O spojitém náhodném vektoru X = říkáme, že má dvojrozměrné normální rozložení s parametry fi = a S = í °~L P^1^ j ^ když jeho hustota je dána vzorcem j( x) , atlasy [V -i ; -i -a V *í J J x e R2 Zkráceně píšeme X = ™ jV2(jfi, E). Pro jti = a E = Q !jj mluvíme o standardizovaném dvojrozměrném normálním rozložení. Poznámka: Význam parametrů je následující: AU = E(X±), p* = E(X2). a\ = D{X1)) a\ = D(X2), p= R{XlyX2) 33 Logaritmicko normální rozložení: Náhodná veličina X ~ LN(|i, a) vzniká v situacích, kdy kladná konstanta logaritmu |i je násobena velkým množstvím nezávislých náhodných veličin, kolísajících mírně kolem jedníčky. Variabilita jejich logaritmů je charakterizována parametrem a. Logaritmicko normální rozdělení má hustotu xa e i*1 x > 0 35 Pearsonovo rozložení chí-kvadrát s n stupni volnosti: Nechť X1, Xkjsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ N(0, 1), i = 1, k. Pak náhodná veličina X = X12 + ... + Xk2 ~ %2(k). j( x, k ) 1 = < 2k/2 -r (k /2) 0 - xk12-1 - e~x/2 x > 0 jinak r (s ) = Je "ř - ť-1 dt 36 0 Studentovo rozložení s n stupni volnosti: Nechť X1, X2 jsou stochasticky 2 nezávislé náhodné veličiny, X1 ~ N(0, 1), X2 ~ % (n). Pak náhodná veličina X X1 X2 n t(n). j (x, n) = n +1 "\ 4nň T(n I2) n+1 -2\ ~ 1 + n 0 X E (-00,00) 0.40 0.35 0 30 0.25 - / n =1 / n =2 / n =5 — n =« -2 -4 -2 37 Fisherovo-Snedecorovo rozložení s nx a n2 stupni volnosti: Nechť X1, X2 jsou stochasticky nezávislé náhodné veličiny, Xi ~ % (ni), i = 1, 2. X /n Pak náhodná veličina X = —1—-~ F(n1? n2). X2 /n2 n + n2 | n1/2 n2/2 1 2 n n 2 '2 T(nl/2 )r(n2/2 ) V ( n2 x(n1 -2)/2 + n1 x )(n1 +n2)/2 pro x > 0 c T n1 = 1, n2 = 1 n1 = 2, n2 = 1 n1 = 5, n2 = = 100, n2 2 n1 =1 n1 = 100, n2 =100 38 Cauchyho rozložení pravděpodobnosti s parametry x0 a y, pro -oo< x0 < o a y > 0, je definováno hustotou pravděpodobnosti ve tvaru 1 q>(x;x0,Y) = — fl"7 1 + i 7T (x -x0)2 + 72 kde x0 je parametr, určující umístění největší hodnoty rozdělení. Zvláštnípřípad, kdy x0 = 0 a y = 1 se nazývá standardní Cauchyho rozdělení s hustotou pravděpodobnosti vyjádřenou vztahem j( x;0,1) 1 7T(1+S2) Standardní Cauchyho rozděleníje speciální případ Studentova rozdělení (pro n = 1). 39 Exponenciální rozložení: Náhodná veličina X udává dobu čekání na příchod nějaké události, která se může dostavit každým okamžikem se stejnou šancí bez ohledu na dosud pročekanou dobu. (Jde o tzv. čekání bez paměti.) Přitom — vyjadřuje střední dobu čekání. Píšeme X ~ Ex(^) 40 Příklad na exponenciální rozložení: Doba (v minutách) potřebná k obsloužení zákazníka v prodejně potravin je náhodná veličina, která se řídí rozložením Ex í -1. Jaká je pravděpodobnost, že doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka v této prodejně bude v rozmezí od 3 do 6 minut? Řešení: X - doba potřebná k obsloužení náhodně vybraného zákazníka, X ~ Ex P(3 < X < 6) = Jle-3dx = 3 (- 3) L = -e-2 + e-1 = 0,233. S pravděpodobností 0,233 bude zákazník obsloužen v době od 3 do 6 minut. Laplaceovo rozložení: Náhodná veličina, která vznikne rozdílem dvou NV z exponenciálního rozložení, se řídí tímto rozložením. Využití ve fyzice, ekonomii - Brownův pohyb. Hustota je dána vzorcem j( x; m, b) tt^-xp \x — fi\ Platínapř.: f X ~ Lapiace(0, b) => X ~ Ex 1 ^ V b 0 X1 ~ ExX2 ~ Ex(12) =^> 11X1 -12X2 ~ Lapiace(0,1) 42 Weibullovo rozdělení: Náhodná veličina X ~ Wb(ô, s) vyjad5uje dobu čekání na nějakou událost, která se každým okamžikem může dostavit se šancí úměrnou mocninné funkci pročekané doby. Přitom čísla ô > 0 a s > Ose nazývají parametry měřítka a formy. 0 pro x > 0 pro x £ 0 Jiná forma zápisu: 0 pro x £ 0 43