Vlastnosti číselných charakteristik NV
– střední hodnota
13.1. Věta: Nechť a, a1, a2, b, b1, b2 jsou reálná čísla, X, X1, ..., Xn, Y1, ..., Ym jsou náhodné veličiny definované na témž
pravděpodobnostním prostoru. V následujících vzorcích vždy z existence číselných charakteristik na pravé straně vyplývá
existence výrazu na levé straně.
1
Vlastnosti střední hodnoty
a) E(a) = a
b) E(a + bX) = a + bE(X)
c) E(X – E(X)) = 0
d) E 





∑
=
n
1i
iX = ∑
=
n
1i
i )X(E
e) Jsou-li náhodné veličiny X1, ..., Xn stochasticky nezávislé, pak E 







∏
=
n
1i
iX = ∏
=
n
1i
i )X(E
Vlastnosti číselných charakteristik NV
– kovariance
Vlastnosti kovariance
a) C(a1, X2) = C(X1, a2) = C(a1, a2) = 0
2
b) C(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = b1b2C(X1, X2)
c) C(X, X) = D(X)
d) C(X1, X2) = C(X2, X1)
e) C(X1, X2) = E(X1X2) – E(X1)E(X2)
f) C 







∑ ∑
= =
n
1i
m
1j
ji Y,X = ∑∑
= =
n
1i
m
1j
ji )Y,X(C
Vlastnosti číselných charakteristik NV
– rozptyl
Vlastnosti rozptylu
a) D(a) = 0
b) D(a + bX) = b2
D(X)
3
b) D(a + bX) = b D(X)
c) D(X) = E(X2
) - [ ]2
)X(E
d) D 





∑
=
n
1i
iX = ∑ ∑∑
−
=
+
1n
i=1
n
j=i+1
ji
n
1i
i )X,X(C2)X(D (jsou-li náhodné veličiny X1, ..., Xn nekorelované, pak D 





∑
=
n
1i
iX =
∑
=
n
1i
i )X(D )
Vlastnosti číselných charakteristik NV
– korelace
Vlastnosti koeficientu korelace
a) R(a1, X2) = R(X1, a2) = R(a1, a2) = 0
b) R(a + b X , a + b X ) = sgn(b b ) R(X , X )
4
b) R(a1 + b1X1, a2 + b2X2) = sgn(b1b2) R(X1, X2)
c) R(X, X) = 1 pro D(X) ≠ 0, R(X, X) = 0 jinak
d) R(X1, X2) = R(X2, X1)
e) R(X1, X2) =





>
jinak0
0)X(D)X(Dpro
)X(D)X(D
]X,X(C
21
21
21
Důkaz:
Pro vlastnosti střední hodnoty
ad a) X ~ Dg(a), ( ) ( ) ( ) ( ) a1aaaxxXE,
jinak0
axpro1
x
x
=⋅=π=π=


 =
=π ∑
∞
−∞=
ad b) Diskrétní případ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XbEaxxbxaxbxxaxbxabXaE
xxxxx
+=π+π=π+π=π+=+ ∑∑∑∑∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
Vlastnosti střední hodnoty - důkaz
5
xxxxx −∞=−∞=−∞=−∞=−∞=
ad c) Plyne z (b), kde a = -E(X), b = 1.
Spojitý případ: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )XbEadxxxbdxxadxxbxabXaE +=+=+=+ ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
ϕϕϕ
ad d) Spojitý případ: ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∑∫∫
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∑
=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−=
=++=++=
=





++





=
=++=
=++=





n
i
innnnn
nnnnnn
nnnnn
nnn
n
i
i
XEXEXEdxxxdxxx
dxdxdxxxxdxdxdxxxx
dxdxxxxdxdxxxx
dxdxxxxxXE
1
11111
1111211
11111
111
1
,,,,
,,,,
,,
LL
LKLLLKL
LKLLLKL
LKKL
ϕϕ
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
ad d) Diskrétní případ: analogicky jako ve spojitém případě.
( ) ( )∫∫∏
∞∞
 n
ad e) Spojitý případ:
Vlastnosti střední hodnoty - důkaz
6
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )∏
∫∫
∫∫
∫∫∏
=
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−=
=
=⋅⋅=
=⋅⋅⋅⋅=
=⋅⋅=





n
i
i
nnn
nnn
nnn
n
i
i
XE
dxxxdxxx
dxdxxxxx
dxdxxxxxXE
1
111
111
111
1
,,
ϕϕ
ϕϕ
ϕ
K
LKKL
LKKL
ad e) Diskrétní případ: analogicky jako ve spojitém případě.
ro vlastnosti kovariance
ad a) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) [ ] ( )[ ]( ) ( ) 00EXEXaaEXEXaEaEX,aC 2211221121 ==−−=−−=
ad b)
( ) ( )( )[ ] ( )( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )2121221121222222111111222111 X,XCbbXEXXEXEbbXEbaXbaXEbaXbaEXba,XbaC =−−=+−++−+=++
ad c) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )XDXEXEXEXXEXEX,XC
2
=−=−−=
Pro vlastnosti kovariance:
Vlastnosti kovariance - důkaz
7
ad c) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )XDXEXEXEXXEXEX,XC
2
=−=−−=
ad d) ( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( )121122221121 X,XCXEXXEXEXEXXEXEX,XC =−−=−−=
ad e)
( ) ( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )2121
2121122121211221221121
XEXEXXE
XEXEXEXEXXEXXEXEXEXEXXEXXXEXEXXEXEX,XC
−=
=+−−=+−−=−−=
ad f)
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]
( )∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
= =
= =========
=
=−−=







−−=
























−











−=







n
1i
m
1j
ji
n
1i
m
1j
jjii
m
1j
jj
n
1i
ii
m
1j
j
m
1j
j
n
1i
i
n
1i
i
m
1j
j
n
1i
i
Y,XC
YEYXEXYEYXEXEYEYXEXEY,XC
Pro vlastnosti rozptylu:
ad a) [ ]( ) [ ]( ) ( ) 00)()(
22
==−=−= EaaEaEaEaD
ad b) [ ]( ) [ ]( )
[ ]( ) )()(
)()()(
222
22
XDbXEXbE
XbEabXaEbXaEbXaEbXaD
=−=
=−−+=+−+=+
Vlastnosti rozptylu - důkaz
8
[ ]( ) )()( XDbXEXbE =−=
ad c) [ ]( ) [ ]( )
( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ]2222
222
)()(2
)()(2)()(
XEXEXEXEXEXE
XEXXEXEXEXEXD
−=+−=
=+−=−=
ad d) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )∑ ∑∑
∑∑∑∑∑
−
= +==
= ====
+=
=+++
+++++=
==







=





1
1 11
21
12111
1 1111
,2
,,,
,,,
,,
n
i
n
ij
ji
n
i
i
nnnn
n
n
i
n
j
ji
n
j
j
n
i
i
n
i
i
XXCXD
XXCXXCXXC
XXCXXCXXC
XXCXXCXD
K
KK
Pro vlastnosti koeficientu korelace:
ad a) Plyne přímo z definice, protože D(a1) = D(a2) = 0,
Vlastnosti korelace - důkaz
9
ad b)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )212121
2
2
1
1
2
2
2
222122
1
2
1
111111
222
222222
111
111111
222111
,sgn,
)()(
),(
XXRbbXXR
b
b
b
b
XDb
XEbaXba
XDb
XEbaXba
E
XbaD
XbaEXba
XbaD
XbaEXba
EXbaXbaR
⋅=⋅=
=







 −−+
⋅
−−+
=
=








+
+−+
⋅
+
+−+
=++
ad c) Pro D(X) = 0 plyne přímo z definice, jinak platí
( ) ( ) [ ]( ) 1)(
)(
1
)(
)(
1
)()(
),(
2
==−=







 −
⋅
−
= XD
XD
XEXE
XDXD
XEX
XD
XEX
EXXR
Vlastnosti korelace - důkaz
10
ad d) Zřejmé.
ad e)
( ) ( )
( )[ ] ( )[ ]( ) ( )
)()(
,
)()(
)()(
),(
21
21
21
2211
2
22
1
11
21
XDXD
XXC
XDXD
XEXXEXE
XD
XEX
XD
XEX
EXXR
⋅
=
⋅
−⋅−
=
=







 −
⋅
−
=
13.2. Příklad:
Vypočtěte střední hodnotu a rozptyl
a) centrované náhodné veličiny Y = X – E(X),
b) standardizované náhodné veličiny ( )
( )XD
XEX
U
−
= .
Příklad
11
Řešení:
ad a) E(Y) = E(X – µ) = E(X) – E(µ) = µ – µ = 0, D(Y) = D(X – µ) = D(X) = σ2
,
ad b) E(U) = E(
σ
µ−X
) =
σ
1
E(X – µ) =
σ
1
. 0 = 0, D(U) = D(
σ
µ−X
) = 2
1
σ
D(X – µ) = 2
1
σ
. σ2
= 1.
13.3. Příklad:
Náhodné veličiny X, Z jsou náhodné chyby, které vznikají na vstupním zařízení. Mají střední hodnoty E(X) = -2, E(Y) = 4 a
rozptyly D(X) = 4, D(Y) = 9. Koeficient korelace těchto chyb je R(X,Y) = -0,5. Chyba na výstupu zařízení souvisí
s chybami na vstupu funkční závislostí Z = 3X2
– 2XY + Y2
- 3. Najděte střední hodnotu chyby na výstupu.
Řešení: E(Z) = E(3X2
– 2XY + Y2
– 3) = 3E(X2
) – 2E(XY) + E(Y2
) – E(3) = 3{D(X) + [E(X)]2
} – 2[C(X,Y) + E(X)E(Y)] +
D(Y) + [E(Y)]2
– 3 = 3[D(X) + [E(X)]2
] – 2[R(X,Y) )Y(D)X(D + E(X)E(Y)] + D(Y) + [E(Y)]2
- 3 = 3(4 + 4) -2[-0,5×2×3
+ (-2) ×4] + 9 + 16 – 3 = 24 + 22 + 25 – 3 = 68
Příklad
Náhodná veličina X udává počet ok při hodu kostkou. NV Y = 2+ 3X. Vypočtěte:
a) E(X) a D(X),
b) E(Y) a D(Y),
c) C(X,Y),
d) R(X,Y).
12
d) R(X,Y).
Řešení: 5,3
6
1
)(
6
1
== ∑=x
xXEa)
b)
c)
d)
9167,25,3
6
91
)(
6
1
)( 22
6
1
2
=−=−= ∑=
XExXD
x
5,125,332)(32)32()( =⋅+=+=+= XEXEYE
25,269167,29)(3)32()( 2
=⋅==+= XDXDYD
7501,89167,23)(3),(3)32,(),( =⋅===+= XDXXCXXCYXC
111),()3sgn()32,(),( =⋅==+= XXRXXRYXR
Příklad
Náhodná veličina X udává součet počtu ok při hodu 2-mi kostkami. Vypočtěte E(X).
Řešení:
5,3)( =XE
Xi … počet ok při i-tém hodu, i = 1,…,6
13
5,3)( =iXE
( )∑ ∑∑ = ==
===





=
2
1
2
1
2
1
75,3)(
i i
i
i
i XEXEXE
Nebo:
7
36
252
)112211310495867
5645342312(
42
1
)()(
12
2
==⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+
⋅+⋅+⋅+⋅+⋅== ∑=x
xxXE π
součet počet možností možnosti
2 1 11
3 2 12 21
4 3 22 13 31
5 4 23 32 41 14
6 5 33 24 42 51 15
7 6 34 43 25 52 16 61
8 5 44 35 53 26 62
9 4 54 45 36 63
10 3 55 64 46
11 2 56 65
12 1 66
Celkem 36
13.4. Věta (Markovova nerovnost):
Nechť pro náhodnou veličinu X se střední hodnotou E(X) platí P(X> 0) = 1. Pak platí Markovova nerovnost:
0>ε∀ : ( )( )
ε
≤ε>
1
XEXP .
Ilustrace pro spojitý případ:
Markovova nerovnost
14
Ilustrace pro spojitý případ:
Důkaz: Pro spojitý případ:
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )( )
ε
ε
εεϕεϕεϕϕ
εεε
1
0
≤>⇒
>==≥≥= ∫∫∫∫
∞∞∞∞
XEXP
XEXPXEdxxXEdxxXEdxxxdxxxXE
XEXEXE
13.5. Příklad:
Nechť P(X > 0) = 1 a E(X) = δ, kde δ > 0 je konstanta.
a) Odhadněte ( )δ> 3XP .
b) Nechť X ~ 





δ
1
Ex . Vypočtěte ( )δ> 3XP .
Příklad
15
b) Nechť X ~ 


 δ
Ex . Vypočtěte ( )δ> 3XP .
Řešení:
ad a) ( ) 3,0
3
1
3XP =≤δ>
ad b) X ~ 





δ
1
Ex ( )





>
δ=ϕ⇒
δ
−
jinak0
0pro xe
1
x
x
, ( ) ( ) 04975,0eedxe
1
3XP,XE 3
3
x
3
x
==





−=
δ
=δ>δ= −
∞
δ
δ
−
∞
δ
δ
−
∫ .
13.6. Věta (Čebyševova nerovnost):
Nechť náhodná veličina X má střední hodnotu E(X) a rozptyl D(X). Pak platí Čebyševova nerovnost:
( ) ( )( ) 2
t
1
XDtXEXP:0t ≤>−>∀ .
Ilustrace pro spojitý případ
Čebyševova nerovnost
16
Důkaz: Pro spojitý případ: Plyne z Markovovy nerovnosti, kde položíme ( )[ ]2
XEXY −= . Pak ( ) 10YP => a pro
( )( )
ε
≤ε>>ε∀
1
YEYP:0 , tj. pro ( )[ ] ( )[ ]( )( ) ε
≤−ε>−>ε∀
1
XEXEXEXP:0
22
. Položme 2
t=ε . Po odmocnění máme
( ) ( )( ) 2
t
1
XDtXEXP:0t ≤>−>∀ .
13.7. Příklad: Nechť E(X) = µ, D(X) = σ2
.
a) Odhadněte P( )σ>µ− 3X .
b) Jestliže X ~ N(µ, σ2
), vypočtěte P( )σ>µ− 3X .
Řešení:
ad a) P( )σ>µ− ≤
11
== .
Příklad
17
ad a) P( )σ>µ− 3X ≤ 1,0
9
1
3
1
2
== .
(Tomuto výsledku se říká pravidlo 3σ a říká, že nejvýše 11,1% realizací náhodné veličiny leží vně intervalu
(µ - 3σ, µ + 3σ).)
ad b) P( )σ>µ− 3X = 1 – P(-3σ ≤ X – µ ≤ 3σ) = 1 – P(-3 ≤
σ
µ−X
≤ 3) = 1 – Φ(3) + Φ(-3) = 2[1 - Φ(3)] = 2(1 – 0,99865) =
0,0027. (Má-li náhodná veličina normální rozložení, pak pouze 0,27% realizací leží vně intervalu (µ - 3σ, µ + 3σ).)
13.8. Věta (Cauchyova – Schwarzova – Buňakovského nerovnost):
Nechť R(X1, X2) je koeficient korelace náhodných veličin X1, X2. Pak 1)X,X(R 21 ≤ a rovnost nastane tehdy a jen tehdy,
když mezi veličinami X1, X2 existuje s pravděpodobností 1 úplná lineární závislost, tj. existují konstanty a, b tak, že
P(X2 = a + bX1) = 1.
Důkaz: Zavedeme standardizované náhodné veličiny
( )
( )
ii
i
XD
XEX
U
−
= , i = 1, 2.
Cauchy – Schwarzova - Buňakovského
nerovnost
18
( )iXD
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 1X,XRX,XR12UDU,UC2UDUUD0 2121221121 ≤⇒±=+±=±≤ .
Předpokládejme nejprve, že R(X1, X2) = 1. V tomto případě počítáme ( ) ( )[ ] 0X,XR12UUD 2121 =−=− . To je možné jen tak, že
( ) ( ) 10UUP.tj,1UUP 2121 ==−== , tj.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) 







+−==







 −
=
−
= 1
1
2
1
1
2
22
2
22
1
11
X
XD
XD
XE
XD
XD
XEXP
XD
XEX
XD
XEX
P1 , tudíž
( )
( )
( )
( )1
1
2
2 XE
XD
XD
XEa −= ,
( )
( )1
2
XD
XD
b = .
Předpokládáme-li, že R(X1, X2) = -1, pak počítáme ( )21 UUD + .
Nechť naopak ( ) 1bXaXP 12 =+= . Pak ( ) ( ) ( ) ( ) ( )



<−
>
===+=
0bpro1
0bpro1
bsgnX,XRbsgnbXa,XRX,XR 111121 .