IB112 Základy matematiky Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan StrejCek Obsah ■ Soustava lineárních rovnic ■ Vektor a matice ■ násobení matic ■ maticový zápis soustavy lineárních rovnic ■ schodovitý tvar ■ Řešení soustavy lineárních rovnic ■ Gaussova eliminace ■ Zpetná substituce ■ Geometrický význam lineárních rovnic ■ s dvema neznýmými ■ s tremineznámými IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Soustava lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 3/53 Lineární rovnice Definice (Lineární rovnice) Lineární rovnicí o n neznámých x1, x2,..., xn rozumíme rovnici tvaru ai xi + a2X2 + ... + anXn = b, kde a1, a2,..., an jsou koeficienty a b je absolutní Clen. Příklad ■ x + 3 = 2y - 4 —> x - 2y = -7 ■ lze chápat i jako rovnici nad 3 neznámými: x - 2y + 0z = -7 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 4/53 Soustava lineárních rovnič Definice (Soustava lineárních rovnič) Je-li dáno m rovnic o n neznámých x1, x2,xn, hovoříme o soustavě lineárních rovnic nebo systému lineárních rovnic. au xi + ai2x2 + ... + ai nxn = bi a2i xi + a22x2 + ... + a2nxn = b2 am1 x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm Řešením soustavy rozumíme n-tici císel (u1, u2,..., un), po jejichž dosazení za promenné (x1} x2,..., xn) se levá strana každé rovnice vyhodnotí na odpovídající pravou stranu. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 5 53 Motivační příklad 1 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnič, matiče, vektory 6/53 Motivační příklad 1 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Řešení ■ Soustava má jediné řešení (5,1, -2). ■ Jinak zapsáno: x = 5, y = 1, z = -2 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnič, matiče, vektory 7/53 Motivační příklad 2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnič, matiče, vektory 8/53 Motivační příklad 2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 Řešení ■ Soustava má řešení (5,1, -2). ■ Existují další řešení: (-1, -3,1), (2, -1, -^), (11,5, -5),... IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnič, matiče, vektory 9/53 Motivační příklad 2 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 8 Řešení ■ Soustava má řešení (5,1, -2). ■ Existují další řešení: (-1, -3,1), (2, -1, -^), (11,5, -5),... ■ Řešením je každá trojice (t, 2-77, ^), kde t je libovolné. ■ Řešení je tedy nekonečne mnoho. ■ Tato situace obvykle nastává, je-li rovnič méne než promennýčh (v tomto příkladu třetí rovnice nepřidává žádnou informaci, je pouze součtem prvních dvou rovnič). IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 10/53 Motivační příklad 3 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 9 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnič, matiče, vektory 11/53 Motivacní príklad 3 Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x -3y +2z = 9 Resení ■ Neexistuje žádné řešení: souctem prvních dvou rovnic dostáváme 3x - 3y + 2z = 8, což odporuje tretí rovnici. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 12/53 Vyrešení a ekvivalenče soustavy rovnič ■ Vyřešením soustavy řovnic rozumíme nalezení všech řešení. ■ Obvyklým postupem je převod soustavy na jednodušší soustavu se stejnou množinou řešení. Definiče (Ekvivalenče soustav lineárníčh rovnič) Soustavy lineárních rovnic se nazývají ekvivalentní, mají-li stejnou množinu rešení. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 13/53 Úpravy soustavy Následujícími úpravami získáme vždy ekvivalentní soustavu lineárních rovnič: j výmena libovolných dvou rovnič soustavy ^ vynásobení obou stran libovolné rovniče nenulovým číslem c ^ pričtení c-násobku i-té rovniče k j-té rovniči (/ = j) Každá z uvedenýčh úprav je vratná. Puvodní soustavu dostaneme jj opakováním výmeny rovnič. ^ vynásobením stejné rovniče číslem ±. B k j-té rovniči přičteme (-c)-násobek /-té rovniče. IB112 Základy matematiky: lešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 14/53 Poznámky k úpravám soustavy Obecne nelze kombinovat více úprav v jednom kroku (mohlo by to vést k neekvivalentní soustave rovnic): 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 Soucasným přictením 2. rovnice k 3. a 3. rovnice k 2. dostaneme 2x -3y = 7 4x +3y +4z = 15 4x +3y +4z = 15 Tato soustava není ekvivalentní: původní soustava má jedno řešení, upravená soustava jich ma nekonecřneř mnoho. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 15/53 Vektory a matice IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 16/53 Vektory Definice (Vektor) Vektor je uspořádaná n-tice prvků. m Vektor se zapisuje do řádku či do sloupče jedním z následujících zpusobu (vpravo jsou sloupcové vektory): (-3,2,8) (-3 2 8) /-3\ x2, x3) (x1 x2 x3) \ 8 J \x3y ■ Vektory stejného typu lze sčítat po složkáčh: (-3,2,8)+ (5, -5,0) = (2, -3,8) ■ Násobení vektoru číslem: 5 • (-3,2,8) = (-15,10,40) IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 17/53 Matice Definice (Matice) Maticí typu m/n rozumíme obdélníkové schéma ( a11 ai2 ■ ■ ■ aln^ A = a21 a22 a2n \am1 am2 ^ ^ ^ amnJ m Zápis A = (aj) znamená, že prvky matice A oznaCujeme jmény tvaru aj dle uvedeného schématu. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 18/53 Součin matič Definiče (Součin matič) Součinem matic A = (aj) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (cik) typu m/o spinující n cik = aj • bjk. j =1 Příklad '2 0 1 3 ' ,0 4 -1 -1 0 1 0 -2 -2 -2 1 0 0 2 0 -3 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 19/53 Součin matič Definiče (Součin matič) Soudnem matic A = (aj) typu m/n a B = (bjk) typu n/o je matice C = (cik) typu m/o spinující n cik = aj • bjk. j =1 Příklad '2 0 1 3 ' ,0 4 -1 -1 0 1 0 -2 -2 -2 1 0 0 2 0 -3 ( 7 2 -9) -11 -8 -5 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 20/53 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Soustavu lineárních rovnic aiixi + ai2*2 + ••• + ainxn = b ami xi + am2X2 + ^ ^ ^ + amnxn = bm lze zapsat pomocí matic následovne: a2i a22 ain\ a2n \ami am2 ^ ^ ^ amnJ [bmj \*nj Oznacíme-li matici a vektory pořade A, x, b, dostáváme rovnici Ax = b IBii2 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 2i/53 Maticový zápis soustavy lineárních rovnic Soustavu lineárních rovnic lze ještě úsporněji reprezentovat tzv. rozšířenou maticí soustavy: (A | b) = aii ai2 a2i a22 ai n a2n amn bi b2 bm Příklad 2x -3y = 7 x +2z = 1 3x +3y +2z = 14 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 3 2 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 22/53 Schodovitý tvar matice Definice (Schodový tvar matice) Vedoucí prvek i-tého rádku matice je nejvější nenulový prvek na i-tém řádku (nulový řádek nemá vedoucí prvek). Matice je v (řádkove) schodovitém tvaru, jestliže |i| za nulovým řádkem následují už jen nulové řádky a 12 vedoucí prvek v každém nenulovém řádku je v pravejším sloupci než vedoucí prvky všech předcházejících rádku. Příklad 2 -3 0 3 2 -3 0 3 2 -3 0 3 0 0 17 1 4 0 17 1 4 0 17 1 4 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 0 0 0 \0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 3 ■ Vedoucí prvky jsou cervené. ■ Pouze matice vlevo je ve schodovitém tvaru. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 23/53 Řešení soustavy lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 24/53 Elementární rádkové transformače matič Dříve zmínené úpravy soustavy lineárníčh rovnič, které začhovávají ekvivalenči, přesne odpovídají následujíčím elementárním řádkovým transformacím provedeným na rozšírené matiči soustavy. Definiče (Elementární rádkové transformače) Elementární řádkové transformace matic jsou |1| výmena dvou řádkU matice, 12 vynásobení jednoho řádku nenulovým císlem, |3| přictení násobku nekterého rádku k jinému řádku. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 25/53 Gaussova eliminace Každou matici lze pomocí konecne mnoha elementárních řádkových úprav převést na Cádkove schodovitý tvar. Důkaz Prevod do schodovitého tvaru lze provést následujícím algoritmem. j Nechť j-tý sloupec je nejlevejší nenulový sloupec matice. Vymeníme řádky tak, aby na prvním řádku byl v j-tém sloupci nenulový prvek a1j. ^ K ostatním řádkům, které mají v tomto sloupci nenulový prvek aij přicteme (-jL)-násobek prvního rádku. Tím vynulujeme celý j-tý sloupec až na a1j. ^ Tím jsme dostali první řádek do požadovaného tvaru. Opakovanou aplikací kroku 1 a 2 na zbylé rádky prevedeme matici do požadovaného tvaru. □ IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 26/53 Řešení soustavy lineárníčh rovnič Postupujeme následovne: j Zapíšeme soustavu pomočí rozšířené matiče soustavy (A | b). ^ Řozšířenou matiči prevedeme Gaussovou eliminačí na matiči (A' | b') ve sčhodovitém tvaru. Jelikož eliminače používá pouze elementární úpravy, reprezentuje výsledná rozšířrená matiče ekvivalentní soustavu lineárníčh rovnič. ^ Z rozšířené matiče (A' | b') vyčteme kolik řešení má soustava rovnič. Řozlišujeme tri situače: ■ Matiče (A' | b') obsahuje řádek tvaru (0 0 ... 0 | k), kde k je nenulové číslo. Tento rádek odpovídá rovničiO = k a soustava proto nemá rešení. V opačnýčh prípade soustava má řešení a nastává jeden z následujíčíčh prípadu. ■ Matiče A' má v každém sloupčinejaký vedoučí prvek. Pak má soustava práveř jedno řrešení. ■ V matiče A' existuje sloupeč, ve kterém není vedoučí prvek. Pak má soustava nekonečřneř mnoho řrešení. ^ Řešení spočítáme pomočí tzv. zpetné substituce. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 27/53 Zpetná substituče ■ Nečhť (A | ti) je matiče ve sčhodovitém tvaru neobsahujíčí řádek tvaru (0 0 ... 0 | k) s nenulovým k. ■ Promenné odpovídajíčí sloupčum matiče A bez vedoučího prvku nahradíme parametrem. Tyto promenné mohou nabývat libovolné hodnoty. Hodnoty ostatníčh promennýčh jsou v každém rešení závislé na konkrétníčh hodnotáčh parametru. ■ Každý neprázdný řádek (0 0 ... 0 äijáiij+1) ... | tii) přrevedeme na rovniči xj = ~ZT ^ (b/ - a/(j+1)xj+1 . . . - ainxn) ij tyto rovniče postupneř odspodu řrešíme dosazením níže spočítanýčh hodnot a parametru. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 28/53 Príklady Příklad 1 = 7 +2x3 = 1 +2x3 = 9 2x1 -3x2 x1 3x1 -3x2 IB112 Základy matematiky: IŘešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 29/53 Príklady Příklad 1 2x1 -3x2 = 7 x1 +2x3 = 1 3x1 -3x2 +2x3 = 9 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 9 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 30/53 Príklady Příklad 1 2x1 -3x2 = 7 X1 +2x3 = 1 3x1 -3x2 +2x3 = 9 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 9 102 —► 10 -3 -4 0 0 0 ■ Uvedená soustava lineárníčh rovnič nemá rešení. IB112 Základy matematiky: lešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 31/53 Príklady Príklad 2 2x1 -3x2 3x1 -3x2 = 7 +2x3 = 1 +2x3 = 8 IB112 Základy matematiky: Rešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 32/53 Príklady Příklad 2 2x1 -3x2 7 x1 +2x3 = 1 3x1 -3x2 +2x3 = 8 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 3 2 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 33/53 Príklady Príklad 2 2x1 -3x2 1 0 2 1 0 -3 -4 5 0 0 0 0 7 x1 +2x3 = 1 3x1 -3x2 +2x3 = 8 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 3 2 8 IB112 Základy matematiky: Rešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 34/53 Príklady Příklad 2 2x1 -3x2 1 0 2 1 0 -3 -4 5 0 0 0 0 7 x1 +2x3 = 1 3x1 -3x2 +2x3 = 8 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 -3 2 8 x1 = 1 - 2x3 x2 = 33 (5 + 4x3) IB112 Základy matematiky: IŘešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 35/53 Príklady Příklad 2 2x1 -3x2 = x1 +2x3 = 3x1 -3x2 +2x3 = 1 0 2 1 0 -3 -4 5 0 0 0 0 7 1 8 x1 x3 2 -3 0 7 1 0 2 1 3 3 2 8 x1 = 1 - 2x3 X2 = 33 (5 + 4X3) 1 2t X2 = A (5 + 4t) Řešením je tedy každá trojiče (1 - 2t, -3(5 + 4t), t) kde t je libovolné. To je totéž jako (t,2-7,^). IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 36/53 Príklady Příklad 3 2x1 -3x2 x1 +2x3 = 1 3x1 +3x2 +2x3 = 14 7 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 37/53 Efektivita Gaussovy eliminace ■ Gaussova eliminacní metoda je velmi efektivní pri rucním řešení malých soustav rovnic i pro pocítacové řešení vetších soustav (stovky až tisíce rovnic). ■ Pro rozsáhlejší soustavy existují efektivnejší algoritmy. IBii2 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 38/53 Geometrický význam lineárních rovnic IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 39/53 Lineární rovnice o dvou neznámých ■ Lineární rovnice o dvou neznámých má nekonecne mnoho řešení, které tvorí prímku v dvojrozmerném prostoru. ■ Řešením x + 2y = 8 je každá dvojice tvaru (t, 4 - 2). 6 0 I-i-1-1-i-1-1 0 12 3 4 5 6 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 40/53 Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je prUnik odpovídajících přímek. ■ x + 2y = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 41/53 Soustava lineárníčh rovniče o dvou neznámýčh Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je prUnik odpovídajících přímek. ■ x + 2y = 8 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 44/53 Soustava lineárníčh rovniče o dvou neznámýčh Soustava lineárních rovnice o dvou neznámých Řešením soustavy lineárních rovnic o dvou neznámých je průnik odpovídajících přímek. ■ x + 2y = 8 ■ 2x - 3y = -3 má rešení (™, ^) IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 46/53 Lineární rovnice o trech neznámých IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 47/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je prUnik odpovídajících rovin. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 48/53 Soustava lineárních rovnic o trech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o trech neznámých je prunik odpovídajících rovin. ■ 2x -3y^B = 7 ■ x +2z = 1 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 49/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je prUnik odpovídajících rovin. IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 5O/53 Soustava lineárníčh rovnič o trečh neznámýčh ■ Řešením soustavy lineárníčh rovnič o trečh neznámýčh je průnik odpovídajíčíčh rovin. ■ 2x -3y^B = 7 ■ x +2z = 1 ■ 3x +3y +2z = 14 IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 51/53 Soustava lineárních rovnic o třech neznámých ■ Řešením soustavy lineárních rovnic o třech neznámých je prUnik odpovídajících rovin. U 2x -3j^H = 7 ■ x +2z = 1 ■ 3x +3y +2z = 14 jediné řešení je (5,1, -2) IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárních rovnic, matice, vektory 52/53 Soustava lineárníčh rovnič o trečh neznámýčh ■ Všečhna rešení soustavy lineárníčh rovnič o trečh neznámýčh mohou tvořrit: ■ rovinu (typičky pokud máme jednu rovniči) ■ přímku (typičky pokud máme dve rovniče) ■ bod (typičky pokud máme trirovniče) ■ Soustava také nemusí mít žádné rešení (typičky pokud máme víče jak tři rovniče nebo pokud nejaké dve rovniče odpovídají rovnobežným rovinám). IB112 Základy matematiky: Řešení soutavy lineárníčh rovnič, matiče, vektory 53/53