Sbírka příkladů k přednášce Matematická analýza I a II Luboš Piek Obsah Kapitola 1. Opakování středoškolské látky, logika, axiomy reálnych čísel 1 1. Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce 1 Výsledky 3 2. Axiomy reálnych čísel 3 Výsledky 4 Kapitola 2. Posloupnosti 5 3. Vlastní limita posloupnosti 5 Výsledky 6 4. Věty o limitách 7 Výsledky 8 5. Monotónní posloupnosti, nerovnosti s logaritmy, číslo e 8 Výsledky 11 Příklady písemkové obtížnosti 11 Kapitola 3. Řady 12 6. Konvergence řad - úvod 12 Výsledky 12 7. Rady s nezápornými členy 12 Výsledky 15 8. Řady s reálnými členy 15 Výsledky 16 Kapitola 4. Limity funkcí 17 9. Limity funkcí 17 Výsledky 18 10. Derivace funkce, ľHospitalovo pravidlo 18 Výsledky 19 11. Průběh funkce 20 Kapitola 5. Taylorův polynom 21 12. Taylorův polynom 21 Kapitola 6. Primitivní funkce 23 13. Snadné úpravy 23 14. Integrace trigonometrických funkcí 23 15. Metoda integrování per partes 24 iii iv OBSAH 16. Substituce 24 17. Lepení 24 18. Integrace racionálních funkcí 24 19. Integrace iracionálních funkcí 25 20. Eulerovy substituce 25 Kapitola 7. Funkce více proměnných 26 21. Základní pojmy 26 Výsledky 27 22. Limita a spojitost 27 Výsledky 30 23. Derivace a totální diferenciál 30 Výsledky 32 24. Řetízkové pravidlo 32 Výsledky 33 25. Implicitní funkce 33 Výsledky 34 Kapitola 8. Metrické prostory II 35 26. Úplné metrické prostory 35 27. Banachova věta o kontrakci 36 28. Souvislé prostory 37 Kapitola 9. Obyčejné diferenciální rovnice 39 20. Základní rovnice, separace proměnných 39 21. Homogenní rovnice 41 22. Exaktní rovnice 42 23. Lineární rovnice 1. řádu 43 24. Lineární rovnice vyššího řádu 43 25. Systémy lineárních rovnic 1. řádu 44 Kapitola 10. Lebesgueův integrál v Era 46 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 47 Výsledky 48 36. Záměna řady a integrálu 49 Výsledky 50 37. Záměna limity a integrálu 51 38. Integrál závislý na parametru 51 Výsledky 53 Kapitola 11. Křivkový a plošný integrál v Era 54 39. Křivkový integrál 1. druhu 54 Výsledky 56 40. Křivkový integrál 2. druhu 56 Výsledky 58 OBSAH v 41. Greenova věta 58 Výsledky 59 42. Plošný integrál 1. druhu 59 Výsledky 60 43. Plošný integrál 2. druhu 61 Výsledky 62 KAPITOLA 1 Opakování středoškolské látky, logika, axiomy reálných čísel 1. Opakování středoškolské látky, logika, matematická indukce 1.1. V oboru reálných čísel řešte nerovnost logiíx2 — 3x + 3) > 0. 3 1.2. Nakreslete graf funkce f(x) = ||||x| — 1| — 1| — 1|. 1.3. Určete definiční obor a obor hodnot funkce f(x) = x — \Jx2 — 1. 1.4. Rozhodněte o správnosti následujících výroků a napište jejich negace. Vx G N 3y G N : (z > x y < z) Va G R 3e > 0 3a G R Vx G R: (x G {a,a + e) <^ |x — a| < 1); 3a G R Ve > 0 Va G R 3x G R : (x G {a,a + e) <^ |x — a| < 1). 1.5. Hádanky z ostrova poctivců a padouchů (podle R. Sniullyana): (i) Jdete kolem tří obyvatel ostrova a zeptáte se: Kolik je mezi vámi poctivců? A odpoví nezřetelně, tak se zeptáte B: Co říkal A? B odpoví: A říkal, že je mezi námi jediný poctivec. Nato řekne C: Nevěřte B, ten lže! Co jsou B a C? (ii) A řekne: Buď jsem já padouch a nebo B je poctivec. Co jsou A a B? (iii) A řekne: Já jsem padouch, ale B je poctivec. Co jsou A a B? (iv) A řekne: B a C mají stejnou povahu. Nato se zeptáte C: Mají A a B stejnou povahu? Co odpoví C? 1.6. (i) Dokažte, že (VŽ + VŠ) Č Q. (ii) Pro která n E N platí: \fň G Q? (iii) Dokažte pomocí vhodného protipříkladu, že neplatí výrok Vn G N : n2 + n + 41 je prvočíslo. (iv) Nyní dokažte, že neplatí ani výrok Vn G N, n < 41 : n2 + n + 41 je prvočíslo. i 1. OPAKOVÁNÍ STŘEDOŠKOLSKÉ LÁTKY, LOGIKA, AXIOMY REÁLNÝCH ČÍSEL 1.7. Dokažte, že následující vztahy platí pro všechna n G N: n +1\ /n\ / n \ k + 1) = U; U + V' t (3 =2n fc=0 v 7 n] = n2n-1 ^ \k fc=0 v 1.8. Dokažte zobecněnou Bernoulliovu nerovnost: Vn G N Vx > -2 : (1 + x)n > 1 + nx. (Návod: použijte matematickou indukci s krokem n — n + 2.) 1.9. Spočtěte n ^Hk+Ty 1.10. Nechť aian jsou kladná reálná čísla. Označme postupně An, Gn Hn aritmetický, geometrický a harmonický průměr čísel tedv An - ai + ■ ■ ■ + an n Gn = \faia2 ...ar. Dokažte nerovnost Hn ^ G n ^ An • Druhá z těchto nerovností se často označuje jako tzv. AG nerovnost. (Návod: použijte matematickou indukci s krokem n — 2n a potom znovu se zpětným krokem n — n — 1 k důkazu druhé nerovnosti. První nerovnost pak dokažte použitím druhé nerovnosti na převrácené hodnoty čísel ai,..., an.) 1.11. Dokažte nerovnost 11 12 - +-r +----h — > -• n n n 1.12. Dokažte nerovnost VneN: (1 + —l— } <(l + - n — n (Návod: použijte AG nerovnost pro čísla = -, inf i? = 0; 2 sup C neexistuje, inf C = 0; sup D = VŠ, inf Ľ neexistuje; sup E = -, inf E = —. KAPITOLA 2 Posloupnosti 3. Vlastní limita posloupnosti Limita posloupnosti - základy. 3.1. Který z následujících výroků platí? (3.1) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) (3.6) lim an = A n—oo lim an+i = A n—o an A n—o a n A n—o an A n—o an A n—o a n A n—o an A n—o Hm an — Hm bn; n—o n—o Hm an < Hm bn. 3.2. Nalezněte příklad posloupnosti an takové, že |an| konverguje, ale an diverguje. 3.3. Mějme dánu posloupnost (anj. Zkonstruujeme z ní novou posloupnost {bn} pomocí jedné z následujících úprav: vyhodíme z {an} konečně mnoho členů; { a n} { a n} { a n} { a n} { a n} zpřeházíme konečné množství členů. { b n} {an} 3.4. Pomocí definice limity posloupnosti určete, která z následujících posloupností má a která nemá limitu. V případech, kdy limita existuje, ji určete. 5 6 2. POSLOUPNOSTI 1 1\ 6í?2 7n3 (3-7) (-irié--), t-^W, (-ir 10 n / ' 1 — 5n2' n + 2n2 — 4 n4' (3.8) —5—, + 3 — 1/^, v^n + 2 — v^n — 1; 2™ n! 1 ; n!' 2™' n"" 3.5. Spočítejte následující limity: ,01A, ^+2-^+1 (n + 4)l00-(n + 3)im 3.10) lim -, -——, lim -;-—--——: n^oo ^+3_^ n^oo (n + 2)100 - U100 (3.11) lim (1 - (1 - ... (1 - , lim (| + J, + I + • • • + 2ra-n . 2n ) , (3.12) lim - - - + - - • • • + ( 1)n~ln, lim v^V^V^... % n^oo n n n n n n3 yfä (3.13) limy^—-—, lim (—1)-- v y fc(fc +1) V^6 + 4 3.6. Udejte příklad posloupnosti racionálních čísel, která konverguje k iracionálnímu číslu. Udejte příklad posloupnosti iracionálních čísel, která konverguje k racionálnímu číslu. 3.7. Jestliže se reálné číslo b opakuje nekonečně mnohokrát jako člen konvergentní posloupnosti {an}, pak limn^^ an = b. Dokažte! Výsledky Cvičení 3.1: Všechny výroky jsou platné kromě (3.4) a (3.6) —n Cvičení 3.4: (3.7) neexistuje, — |, 0. Všechny ostatní limity jsou rovny 0. Cvičení 3.6: (1 + 1 \n n 4. VĚTY O LIMITÁCH 7 4. Věty o limitách 4.1. Vyberte konvergentní podposloupnost divergentní posloupnosti On=(-l)n(k-&. 4.2. Nechť an konverguje k 0 a nechť bn je omezená. Potom lim anbn = 0. Dokažte! 4.3. Vyšetřete konvergenci posloupnosti \fn\ 4.4. Rozhodněte, která z následujících posloupností je (i) omezená, (ii) monotónní, (iii) konvergentní. Pokud existuje limita, určete ji. (4.1) n--, nľ-n, v^Tl-v^, n2 + (-l)n, 31/ř\ sin—. nn 4.5. Dokažte následující Stolzovu větu: Nechť {an} {bn} jsou dvě posloupnosti, {bn} je rostoucí a neomezená a platí: an — an lim--— = A. n-°> bn+i — bn Potom také an lim — = A. n—oo bn 4.6. Vypočítejte pro pevné p e N ,„0, v> + w + ■ ■■ + n / F + 2p + ■■■ + np n (4.2) lim -—-; lim--- n—oo n—oo \ np p + 1 (Návod: použijte Stolzovu větu.) Rekurentně zadané posloupnosti. 4.7. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: ai = k, k > 0, an+í = y/k + On. x, y x ao = y, an =---h ara_i ^ \an-l Dokažte, že an je klesající a konverguje k ^/x, a to bez ohledu na volbu y. Použijte 0,4 k přibližnému výpočtu \f2. 4.9. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: ai = 0, 02 = 1, CLn= \{Q>n-2 + CLn-í) ■ 4.10. Spočítejte limitu následující rekurentně zadané posloupnosti: ai = a, a2 = b, an = ^an-2 ■ On-i, a,b> 0. 8 2. POSLOUPNOSTI Výsledky Cvičení 4.1: (| - 4,). Cvičení 4.3: diverguje k +oo. Cvičení 4.6: -4r, 1 — Cvičení 4.7: § + aA+I- Cvičení 4.9: |. e 5.1. Nechť {an} a {bn} jsou posloupnosti reálných čísel, splňující cin+i > an - bn, n E N, a lim bn = 0. n—>oo Dokažte, že potom {an} má limitu. 5.2. Dokažte, že posloupnost (1 + je rostoucí a že posloupnost (1 + ^)n+1 je klesající. Odtud vyvoďte, že obě tyto posloupnosti mají společnou limitu. Tuto limitu označíme symbolem e. Pro každé n E N tedy platí nn (5.1) 1 + - oo 5.5. Dokažte nerovnost 2 < ( 1 + - | < e. n (Návod: použijte Bernoulliovu nerovnost a příklad 5.2.) 5.6. Dokažte nerovnost 1 , f 1\ 1 < log l + - < -, fceN. k + 1 toV k) k' (Návod: použijte nerovnost log(l + x) < x, která platí pro všechna x > — 1 (a pro všechna x ^ 0 je ostrá), a vztah 1 + | = (1 — ^j;)-1.) 5.7. Dokažte nerovnost 11 1 , -, 1 1 1 - + - + ••• + -< logn < 1 + - + - + ••• +--, n e N, n > 2. 23 n 23 n —1 (Návod: posčítejte nerovnosti v příkladu 5.6 pro k = l,...,n — 1.) 5.8. Dokažte, že konverguje posloupnost i 11 1 , an = 1 + - + - H-----1---log n. n (Návod: dokažte, že posloupnost je monotónní a omezená.) 5.9. Spočtěte limitu vr11 1 1 hm--1---1---1-----1-- ra^oo yn+1 n + 2 n + 3 2n 5.10. Dokažte nerovnosti n! < I —^— j , n\ < e (^-J , n > 2 (Návod: použijte matematickou indukci, Bernoulliovu nerovnost a definici čísla e.) 5.11. Dokažte nerovnost (5.5) 2. (Návod: použijte matematickou indukci a elementárni nerovnosti (5.1).) 10 2. POSLOUPNOSTI {an} splňující podmínku an lim -= A. n—o an Potom také lim ^/ä^ = A. n—o 5.13. Dokažte, že v^! 1 lim -= -. n—o n e (Návod: použijte větu z příkladu 5.12. Elementární důkaz plyne z odhadů (5.5) a věty o dvou policajtech.) 5.14. Dokažte, že věta z příkladu 5.12 neplatí obráceně. (Návod: an = 3+^~+T ■) Příklady pro koumáky. 5.15. Spočtěte limitu lim n (\fx — l) , x > 0. n—o 5.16. Nechť 6i = y/2, bn+l = V2 + bn, n G N. Spočtěte limitu lim 2V2 - bn- n—o Návod: Položte bn = 2 cos ^odné ^n. 5.17. Buďte an, bn posloupnosti, lim an = bn = B. Položme n—o n—o n tn / , dk^n—k- n fc=l Dokažte, že posloupnost tn konverguje a najděte její limitu. Co by se stalo, kdy-bvchom vvnechali faktor -? n Příklad pro extrémní koumáky. { a n} 0 — aTO+n — am + an, Vm, n G N. Potom existuje an lim —. n—o n Dokažte! PŘÍKLADY PÍSEMKOVÉ OBTÍŽNOSTI 11 Výsledky Cvičení 5.4: (5-2) e2, e3, \. (5.3) 0, oo. (5-4) ^, 0. Cvičení 5.9: log 2. Cvičení 5.15: logx. Cvičení 5.16: |. Příklady písemkové obtížnosti 5.19. Spočtěte limitu posloupnosti lim rř (2 cos f -4 | - 2 + 1 nn 5.20. Spočtěte limitu posloupnosti pro a, b E R, a > 0, b > 0, lim ( v/2řŤT+~čž — ^+6) • v>+l)(3 n. n—o 5.21. Pro která a E R je posloupnost {an} (i) omezená, (ii) konvergentní: an = (log(en2 + 1)Y ■ arcsin • (-l)n- aER lim n((l + -Y -ea n—o n 5.23. Spočtěte limitu posloupnosti lim ( 1 + log ( 1 + n—o n 5.24. Spočtěte limitu posloupnosti lim V^2 + 1 • ( ^ — arctgí n—o KAPITOLA 3 ftady 6. Konvergence řad - úvod 6.1. Zjistěte, zda následující řady konvergují a pokud ano, určete jejich součet. ffí -n \ " 1 -\\nU +3^ + 4 1 1 1 { j Z^n(n + i)' 2^" ) 2n2 + 5 ' 1^3 + 3^5 + 5^7 + "'; ri=l v y ra=l (6.2) 1-1 + 0 + 1-1 + 0+1-1 + 0 + ...; , x . 11111 (6.4) jestliže n je dělitelné třemi; jestliže n není dělitelné třemi. 6.2. Mějme dánu řadu Yľ^=i an- Provedeme jednu z následujících úprav: vyhodíme konečně mnoho členů; přidáme konečně mnoho členů; vyhodíme nekonečně mnoho členů; přidáme nekonečně mnoho členů. Rozhodněte, která z těchto operací může mít vliv na konvergenci. Výsledky Cvičení 6.1: (6.1) konverguje k součtu 1, diverguje, konverguje k součtu |. (6.2) diverguje. (6.3) konverguje k součtu 0. (6.4) diverguje. 7. Rady s nezápornými členy Srovnávací kritérium. 12 7. ŘADY S NEZÁPORNÝMI ČLENY 13 7.1. Pomocí srovnávacího kritéria zjistěte, zda následující řady konvergují či divergují. ~~ 9 , í-» , * oo o oo .. rr + 3n + 4 rr 1 , . \ li T Olo T "i \ ^ (2^2 + 5)2 ' Z-/n3 + 1> ^ v^TňV3n- 1' nn (7 2) g ^?+4- n 7.2. Dokažte následující větu: Řada Yl™=i a G E, je konvergentní právě tehdy, když a > 1. (Návod: dokažte, že pro a > 1 lze řadu ^ odhadnout shora konver- gentní geometrickou řadou Y^Li (^t)™? a ze Pr0 a < 1 lze řadu Yľ^Li ^ odhadnout zdola divergentní harmonickou řadou.) Cauchyovo, d'Alembertovo a Raabeovo kritérium. 7.3. Zjistěte, zda následující řady konvergují či divergují. Použijte buď srovnávací nebo Cauchyovo nebo d'Alembertovo nebo Raabeovo kritérium. °° 2n °° (nQ2 00 n| n n nn n n n oo , oo (7-4) £^r, 5](V2-^2)(V2-^2)...(V2- -V2); nn n2 V"^ 1 V"^ nra+" 00 2 TO i TO (7'5) XJ(2+I)n' ^v^' ^(n + n n n ra=l V- ' ri/ ra=l v ^ ra=l V" ' ri/ to ^3 //q , /_iyAn to , x2n-logn (7.6) E ti ■ ĚA + C0S" n nn a> n an TO (7-8) E TO n I ann nn n (7.9) na (log(n + l) — log n O (7-10) \4 n ne n 14 3. ŘADY (Návod: pro (7.9) použijte nerovnosti v příkladu 5.6 a pro (7.10) použijte Raabeovo kritérium.) 8. ŘADY S REÁLNÝMI ČLENY 15 Výsledky Cvičení 7.1: (7.1) konverguje, diverguje, diverguje. (7.2) konverguje. Cvičení 7.3: (7.3) konverguje (Cauchy & Cvičení 3.4), konverguje (ďAlembert), konverguje (Cauchy & Cvičení 5.13). (7.4) konverguje (Cauchy, Cvičení 4.3 & (3.9)), konverguje (ďAlembert). (7.5) konverguje (Cauchy), diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence), diverguje (není splněna nutná podmínka konvergence). (7.6) konverguje (Cauchy), konverguje (funkce je rostoucí na intervalu [—1,1], a tedy řadu lze shora odhadnout konvergentní řadou Yľ^Ĺi (!) Cvičení 7.4: (7.7) konverguje právě když a G (4, oo) (ďAlembert a Raabe), (7.8) konverguje právě když a G (0, e) (ďAlembert a první nerovnost ve Cvičení 5.11), (7.9) konverguje právě když a G (0,3) (základní limita linx^o log(^+^ = 1 a věta z Cvičení 7.2) (7.10) konverguje právě když a G (|,oo) (Raabe). 8. Rady s reálnými členy Dirichletovo, Ábelovo a Leibnizovo kritérium. 8.1. Vyšetřete konvergenci řad (8.1) (8.2) 16 3. ŘADY Různá kritéria pro konvergenci řad. 8.2. Určete, pro která z G R konvergují následující řady (8-3> E E ^r". E^. E n oo n U) 00 on 3*n» EV*' n n ^—r I—±1 z ^—r Z ^—"\ n=l n=l n=0 OO q n n n ( —1) n+ lzž n+í n n n 8.3. Přesvědčte se, že pro vyšetření konvergence řady E' n an 1 • 3 • 5 ... (2n - 1) 2 • 4•6 ... 2n nelze použít Cauchyovo, ďAlembertovo ani Raabeovo kritérium. Dokažte, že tato řada diverguje. Výsledky Cvičení 8.1: (8.1) konverguje neabsolutně (Leibniz), konverguje absolutně (řadu lze n0 (8.2) konverguje neabsolutně (Dirichlet), konverguje absolutně (řadu lze shora odhadnout konvergentní řadou J2n°=i (V^6 + nn '))• KAPITOLA 4 Limity funkcí 9. Limity funkcí 9.1. Spočtěte následující limity: . . ,, siní ax) ,, x ,,X co s x (9.1) lim-, a > 0, lim—r^-, lim---; x^O x a;^0 tg(f) x^o x2 (,, t^íj x sm x ,, 1 cos x 9.2) lim--- lim-——-. x—o x x— xsm(2x) 9.2. Spočtěte následující limity: ax - e x - x -(9.3) lim-, a > 0, lim—-- lim-. x—o x x— 3x x—e x — e a, b E R lim ( y/x2 — x + 1 — ax — b) = 0. x——oo V / 9.4. Spočtěte následující limity: (9.4) lim -—-, lim [ y x + y x + y/x — y/x ) ; x— x x—o ,nr. ,. 1 + - (1 + nx)m ,. tg3x -3tgx (9.5) lim---—-—, m, íiéN. lim ——-- *-o x2 cos(x + f) 9.5. Spočtěte následující limity: i (9.6) lim (tgx)^, lim * , lim log (l + ±) log(3* - 1). x^\ x^o yl + xbxJ x^oo v x> 9.6. Spočtěte následující limitv: (9.7) log(l + sinx) „ esin('2x^ - eArcsinx „ ex - 2sin(f + x) lim —, -, , lim-, lim -0 y/2x +l-y/x + ť tgX ' x-0 tg Z 9.7. Spočtěte limity následujících posloupností: (9.8) lim ( 1 + 1 y/n4 + 2n3 - y/n4 + lj (9.9) limn(v^-l), lim sin(27rVn2 +1). n—o n—o 17 18 4. LIMITY FUNKCÍ 9.8. Spočtěte: (9.10) lim arcsin(v^) lim(l + sin(7rx))cotg^; *-o+ log(l + Vx) x^V (9.11) lim 2 ar Vl + xsinx — -^/cosx Výsledky Cvičení 9.1: a, 2, |, |, |. Cvičení 9.2: loga, |, |. Cvičení 9.3: a = 1, b = |. Cvičení 9.4: 1, f, *f(m-ra), -12. Cvičení 9.5: |, |, 4 log 3. Cvičení 9.6: 2, 1, 1 — i/3- Cvičení 9.7: e, log 2, 0. Cvičení 9.8: 1, -, 4. 10. Derivace funkce, 1'Hospitalovo pravidlo 10.1. Spočtěte: (10.1) lim x f — arctg ^4 u x + 1 10.2. Spočtěte následující limity: (10.2) lim (cos(i/ž))*, lim —-v/cos^ ^ jjm u:^0+V ' z—0+ 1 - COs(v/x) ' ±0 ^ 10.3. Definujme funkci 1 1 pro x^0; /(*) = l eX~l n 1 | pro x = 0. Určete, zda má funkce f derivaci v bodě 0 a pokud ano, spočtěte j VÝSLEDKY 10.4. Spočtěte následující limity: (10.3) lim ^f"1 , lim(2 - xf*^; K 1 r 2siir.r 1 x^ŕ 1 i .„„ JX /arcsinx\ *2 (a + x)x — ď (10.4) hm - , hm--'--, a > 0. x—o y x J x—0 x2 10.5. Najděte asymptotu funkce /(x) = xx pro x —> +oo. 10.6. Spočtěte limity následujících funkcí: ,,„p, ,. , smx\l-cosx ex-ex-2x / n (lu.5) lim - ; lim-;-, lim x—o y x / x— x — sin x x—ooy2arctg x, 10.7. Spočtěte derivace (i jednostranné, pokud oboustranná neexistuje) sledujících funkcí: io.6) /(x) = {; arctg(tg2 x) pro x ^ f + kir, k e Z, pro x = f + A;7r, k E Z; 10.7) /(x) = max{min{cos x, (1/2)}, (—l/2)}; 10.8) /(x) = \/r 10.9) f(x) = arccos x x x2 (sin - + cos -) pro x ^ 0, /x x 10.11) /(x) = xx^, pro x > 0; / x { x x , x} . Výsledky Cvičení 10.1: |. Cvičení 10.2: e~^, 0, ±1. Cvičení 10.3: f'{x) = ^. Cvičení 10.4: (10.3) e, e*. 20 4. LIMITY FUNKCÍ (10.4) el, I. Cvičení 10.5: f + 1 2 Cvičení 10.6: e~3, 2, e^. 11. Průběh funkce 11.1. Vyšetřete průběhy následujících funkcí 2x (11.1) f(x) = arcsin 2 ^; (11.2) /(x) = ^; (11.3) /(x) = logx e; (11.4) /(x) = log (11.5) /(x) = (sinx) (11.6) /(z) = x - Vx2 - 1. 11.2. Vyšetřete průběhy funkcí (v prvních dvou příkladech nemusíte vyšetřovat konvexitu) /(*) = -^f, /(x) = (cosx)e§si-cos 2x x x tg4 \cosx. /(x) = (1 og |x|) — 3 log |x|, /(x) = (x — 1) exp x 11.3. Vyšetřete průběh funkcí: sin x + cos x, yr(l - x2N vT x .2 • 2 x /4 /--A — arctg —r-, arcsin — arctg VI -r n x — 1 \n / KAPITOLA 5 Taylorův polynom 12. Taylorův polynom 12.1. Napište Taylorův polynom funkce /(x) = e2x~jX stupně 3 v bodě 0. 12.2. Napište Taylorův polynom funkce /(x) = \fx stupně 3 v bodě 1. 12.3. Spočtěte přibližně -^250. 12.4. Řešte přibližně rovnici ex(3 — x) — 3 = 0. Porovnejte s přesným řešením x = 2.822 ... 12.5. Pomocí Taylorova polynomu spočtěte následující limity. (12.1 (12.2 (12.3 (12.4 (12.5 (12.6 (12.7; (12.8 (12.9 lim x—C lim cos x — e 2 ř"-o x4 ' ax + a"x — 2 x—o x2 ' ex x — x x lim---; x—0 xó sin(sinx) — x\/l — x2 lim- x- x 5 - — cotg X x lim--; x—o x lim ("V^x6 + x5 — -^x6 — x5 ) ; lim ( x — x2 log ( 1 + — x—00 y \ x 1 — fco sx)sl nx lim- x- x x lim — .3 _ii£ e s x- x 21 22 5. TAYLORŮV POLYNOM 12.6. Určete, pro které a G R jsou následující veličiny srovnatelné s xa pro x —► x0. Poté spočtěte Y\mx^Xo (12.10) f(x) = tg(sinx) — sin(t gx), x0 = 0+; (12.11) /(x) = (l + x)x — 1, x0 = 0+; (12.12) f(x) = (Vx + 1 + Vx - 1 - , x0 = oo. 12.7. Nechť /(x) = 1 + kx + o(x). Potom lim {f{x)Y = ek. Dokažte! KAPITOLA 6 Primitivní funkce 13. Snadné úpravy 13.1. Spočtěte následující primitivní funkce: (13.1 (13.2 (13.3 (13.4 (13.5 (13.6 (13.7; Vl - x2 ' J l + x4 ' J 1 + cosx' 13.2. Pomocí jednoduchých substitucí spočtěte následující primitivní funkce: dxx (' dxx (' dxx (14.1 (14.2 (14.3 (14.4 (x + 5)3 dx, / sin(2x + 7) dx, / -t=— dx; x dxx (' dxx x J ^2^5^' J V2 - 3x2' J l + x tg2xdx, J a/1 — sin(2x) dx, Varctg x x xx , (' xx , (' dxc x x' J (x+l)y/x' J X\Jxl - 1' sin x ľ 2x + 1 ľ x + 1 v'cos 2./- y x2 + x + 1 y x2 + 2x + 9 dx dx dx V^tt' y vi - e&' y v/^(1 + ^2)' 14. Integrace trigonometrických funkcí 14.1. Pomocí trigonometrických vzorců určete následující primitivní funkce: sin2xdx, / sin3xdx, / sin4xdx; dx xx dx x x x x x x dx dx dx cos4 x y sin3 x cos5 x J sin2 x cos x' t/iíy f sm xx ^ f dxc vWxcosSx y 1 + sinx y 2sinx-cosx + 5 23 24 6. PRIMITIVNÍ FUNKCE 15. Metoda integrování per partes 15.1. Pomocí metody integrování per partes spočtěte následující primitivní funkce: (15.1) j exsin xdx, j arcsinxdx, j logxdx; /etrcsin x f dx f x2 dx> J (i + x2)n» J arctg(V5) dar. 15.2. Pomocí metody integrování per partes odvoďte formule pro následující primitivní funkce: (15.3) j eax sin bxdx, j arcsinxdx, j sin(logx)dx. 16. Substituce 16.1. Pomocí vhodné substituce spočtěte následující primitivní funkce: (16 1) í^dx [ — dx í_—_• 1 j J x dX> J a* - 2J v/2 + cos(2x)' (!6-2) / ^ dx, í^dx, ÍJ{Xt+V^r) dx- 17. Lepení 17.1. Procvičte si lepení primitivních funkcí na následujících příkladech: (17.1) j |x| dx, j e"'x' dx, j max{x,x2} dx; (17.2) / -dX ; / |2ar + 1| dar; / (|1 + x\ - |1 - x\) dx. x 18. Integrace racionálních funkcí 18.1. Pomocí rozkladu na parciální zlomky spočtěte následující primitivní funkce: (18 1) / X?> ^ d [ X d [ ^ j x — 5x2 + 6x ' j x — x 2 J x4 + 5x2 + 4' (18-2) /^T^' /lf^' fa*-lx + 2dx- 20. EULEROVY SUBSTITUCE 25 19. Integrace iracionálních funkcí 19.1. Spočtěte následující primitivní funkce: f dx (19.1) / dx, I Vx2 — 2xdx, . ,_, v ; J VďT2 ' J J l + v^+3 (19.2) [Jl^-dx, f-ýX ,_, f , ^ dx. J \l+xx Jl + vAr + V^ + l J + x + x2 20. Eulerovy substituce 20.1. Pomocí Eulerových substitucí spočtěte následující primitivní funkce: (20.1) f dx f dx (20.2) x + \J x2 + x + 1' J 1 + -\A — 2x — x2' /' ./• \Jx2 + Zx + 2 /' x2 J x — \Jx2 + Zx + 2' J 2-\A — x2 KAPITOLA 7 Funkce více proměnných 21. Základní pojmy 21.1. Načrtněte grafy následujících funkcí: f(x, y) = 3 (l - | - |) , 0 < x < 2,0 < y < 4 - 2x; f(x,y) = v^-x2 -y2; f{x,y) = v/x2Ty2; f(x,y) = x2 + y2. 21.2. Načrtněte graf funkce (jedné proměnné) F(t) = f(cos t, siní), kde /(x'y) = \° (y 0). 21.5. Spočtěte /(l, f), jestliže /(x, y) = Jf^. 21.6. Určete /(ŕ), jestliže / (f) = v^!±Z (x > 0). 21.7. Nechť z = ^Jy + f (y/x — 1) a z = x pro y = 1. Určete funkce / a z. 21.8. Necht z = x + y + f (x — y) a z = x2 pro y = 0. Určete funkce f & z. 26 22. LIMITA A SPOJITOST 27 21.9. Určete f (x, y), jestliže f (x + y, -) = x2 — y2. Výsledky Cvičení 21.1 trojúhelník, sféra, kužel, paraboloid. Cvičení 21.2 F(t) i [-1^ + 2^,1 + 2^]; 0 (f + 2fcvr,f + 2fcvr). Cvičení 21.3: (—oo, oo) x [1, oo); kruh {x2 + y2 — 1}; doplněk téhož kruhu v K2; plocha ohraničená dvěma tupými úhly výmezenými přímkami y = 0 a y = 2x bez počátku; polorovina {x + y < 0}; sjednocení mezikruží {2kn — x2 + y2 — (2fc + l)7r}. Cvičení 21.4: rovnoběžné přímky, soustředné kružnice, hyperboly se společnou asymptotou y = ±x, rovnoběžné přímky, svazek paprsků vycházejících z počátku bez počátečního bodu; soustředné podobné elipsy, hyperboly ležící v kvadrantech I a III s asymptotami blížícími se k souřadným osám; křivky y = t^—. Cvičení 21.5: /(l, f) = f(x, y). Cvičení 21.6: f(t) = ^l + ť2. Cvičení 21.7: f(t) = 2t + t2, z(x,y) = x-l + y/y. Cvičení 21.8: f(t) = t2 - t2, z(x, y) = 2y + (x - yf. Cvičení 21.9: f(x,y) = x2j^-. 22. Limita a spojitost 22.1. Nechť f(x,y) x - y x + y Dokažte, že a tedy neexistuje. 28 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 22.2. Nechť fix ) = ' x2y2 + (x — y)2 Dokažte, že sice lim ( lim f(x, y) I = lim (lim f(x, y) ) = 0, x—0 \y-0JK ,yJJ y—0 \x-0JK 'yV ' ale přesto neexistuje. 22.3. Nechť f x, y [x,y] — [0,0]JK ^J Dokažte, že sice ani jedna z limit f x, y f x, y x- y- y- x- neexistuje, ale přesto f x, y [x,y]— [0,0]JK ^J existuje. Čemu se tato limita rovná? 22.4. Spočtěte f x, y f x, y x—a\y—bl y—b \x—a kde ■ľ(r- a = oo, 6 = 0+; f(x, y) = sin ( ——— ] , a = b = 00; xy f{x,y) = —tg[—- , a = 0,6 = oo; xy xy f x, y x x y , a , b . 22. LIMITA A SPOJITOST 29 22.5. Spočtěte následující limity: lim = x + y [x,y] ->[oo,oo] x2 — xy + y2' lim sin(xy) [x,y] — [0 ,a] X lim =(x2 + y2) xV; [x,y] — [0 ,a] ( \\*+v lim =11 + [x,y]—[oo,a] \ x lim = log (x + e y [x,í/]^[i,o] ^x2 + y2 22.6. Dokažte, že funkce 2xy y f(r v\ _ ; (x2 + ^2 ^ °); /lx'yj_ \o (x2 + y2 = 0), je spojitá jako funkce proměnné x i proměnné y, ale není spojitá jako funkce dvou proměnných. 22.7. Dokažte, že funkce je spojitá v bodě [0,0] po všech přímkách x = tosa y = tóna t G (0, oo), a G [0,271-], ale přesto není v bodě [0, 0] spojitá. 22.8. Zjistěte, zda je funkce x f(x,y) = arcsin y spojitá na svém definičním oboru. 22.9. Zjistěte, zda lze funkci x2 + y2 - x2y3 xy ,R 22.10. Zjistěte, zda lze funkci xa - ya f(x,y) =- x—y y x R 30 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 22.11. Zjistěte, zda lze funkci . . _ sin(x) sin3(y) 1 — cos (x2 + y2) dodefinovat v bodě [0,0] tak, aby byla spojitá na R2. 22.12. Najděte podmínky na konstanty a,b, c, aby existovala limita llHl = -. [x,y] ->[o ,a] ax2 + bxy + cy2 Výsledky Cvičení 22.3: 0 Cvičení 22.4: 0,1; |,1; 0,1; 0,1; l,oo. Cvičení 22.5: 0; a; 1; e; log 2. Cvičení 22.8: ano Cvičení 22.9: ano, f 0,0) = 1. Cvičení 22.10: ano, fx, xx 23. Derivace a totální diferenciál fx, y a E R platí -(x,a) = -f(x,a) 23.2. Spočtěte d f f [x — (x,l), jestliže f(x,y) = x + (y—ľ)axcsm[i — dx \ \ y 23.3. Spočtěte df df ^(0,0), ^(0,0), jestliže f(x,y) = ýxy. fx, y , 23.4. Má funkce f (x, y) = i/x3 + y3 , 23.5. Má funkce i f (x, y) = e x2+y2 , 23. DERIVACE A TOTÁLNÍ DIFERENCIÁL 31 23.6. Spočtěte d£ d£ (ř£ d2f d2f dxy 3y} dxv dxdy'' dy2 pro funkce f(x,y) = x4+ y4 - 4x2y2; f(x,y) = xy+-; f(x,y) = yy x f(x,y) =-; f(x,y) = xy; f(x, y) = log (x + y2) ; f(x, y) = arctg-; y x f(x,y,z)=(^j ; f(x,y,z) =x(*); f(x,y, z) = x(yZ). 23.7. Nechť Dokažte, že 23.8. Nechť xy 0, x2 + y2 = 0. f x, y x y 82f 82f 7 (0,0)^—^(0,0). dxdy ' dydx f x, y , Dokažte, že neexistuje x2 + y2^0; 0, x2 + y2 = 0. d2f -(0,0). dxdy 23.9. Spočtěte první a druhý diferenciál následujících funckí: f(x,y) = xmyn, f(x,y) = ^, f(x,y) = log^ x2 + y2; z f(x,y) = exy, f(x,y)=xy + yz + zx, f{X)y) = ——-. xy 23.10. Odhadněte chybu následujících veličin v závislosti na chybě jednotlivých promněnných: xy (1 + x)m(l + x)n, log(l+ x)log(l+ y), arctg xy 23.11. Objem válce s podstavou o poloměru r a výšce h je dán vzorcem V = nr2h. Je-li výška v = 5 cm změřena s přesností na 0.005 cm a poloměr r. V 32 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 23.12. Plocha trojúhelníka ABC je dána vzorcem bc sin a Víme-li, že veličiny b, c, a byly naměřeny s přesností na 1% a úhel a byl změřen na n/4, dokažte, že vvsledná plocha je určena s maximální chvbou menší než 2.8%. Výsledky Cvičení 23.2: 1. Cvičení 23.3: 0, 0, ne. Cvičení 23.4: ne. Cvičení 23.5: ano. Cvičení 23.10: 1 + mx + ny, xy, x + y. Cvičení 23.11: 0. 315,7. 24. ftetízkové pravidlo 24.1. Spočtěte kde 24.2. Spočtěte kde dT dT T(x, y) = x3 — xy + y3 x = r cos Q} y = rún Q. dH sin3x — y ./• = 2/J 3. y=--5r+l. r h ^^^^e o 3 cm za sekundu. Spočtěte míru růstu objemu V v okamžiku, kdy r = 5 cm a h = 15 cm. 25. IMPLICITNÍ FUNKCE 33 24.4. Lokální atmosférická teplota T závisí na prostorových souřadnicích x, y, z daného bodu a na čase t podle vzorce T(x,y,z,t) = Y^Tz(l + t)- Teploměr je připevněn k meteorologickému balónu, který se pohybuje atmosférou po křivce dané parametrickými rovnicemi x = t, y = 2t, z = t — t2. t Výsledky Cvičení 24.1: dT dr dT ~dě Cvičení 24.2: Cvičení 24.3: 3r2 (cos3 9 + sin3 9) — 2r cos 9 sin 9, 3r2 (sin 9 — cos 9) cos 9 sin 9 + r2 (sin2 9 — cos2 i d H — = (llí + 5) cos (f t2 + 5í - 10) . — = 125- cm3s . dt Cvičení 24.4: teplota roste o 14 stupňů za hodinu. 25. Implicitní funkce 25.1. Vypočítejte derivaci y'(x) implicitní funkce y = y (x) definované následujícími předpisy: x2 + 2xy - y2 = a2, log [\J x2 + y2) = arctg ; y — e sin y = x (0 < e < 1); xy = yx (x j£ y), y = 2xarctg ^—j . 25.2. Vypočítejte parciální derivaci |^ implicitní funkce z = z(x, y) definované předpisem xz z xy vané předpisem y dy 25.3. Vypočítejte parciální derivaci implicitní funkce x = x (y, z) defino- xy y — z. 34 7. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 25.4. Vypočítejte parciální derivaci |^ implicitní funkce y = y(x, z) definované předpisem x z logy = n. 25.5. Vypočítejte parciální derivaci ^ implicitní funkce z = z(x,y) definované předpisem F(x2 — z2,y2 + xz) = 0, kde F je diferencovatelná funkce dvou proměnných. Výsledky Cvičení 25.1: xy y—x Cvičení 25.2: Cvičení 25.3: Cvičení 25.4: x y y — x x — y' 1 — £ cos y' x2(l — logy) xy xz xy — zy 1 — 3xy2 y3 x ■2eyz Cvičení 25.5: 2x§^ (x2 xy logy — y e yzeyz — x z z2, y2 + xz) + z§^ (x2 — z2,y2 + xz) 2z%-(x2-z2,y2 + xz) x dF dx (x2 — z2, y2 + xz) KAPITOLA 8 Metrické prostory II 26. Úplné metrické prostory 26.1. Zopakujte si důležité definice z teorie metrických prostorů: metrika, metrický prostor, koule, otevřená množina, uzavřená množina, vnitřek, uzávěr, konvergentní posloupnost, limita posloupnosti, kompaktní množina, omezená množina, spojité zobrazení. 26.2. Průměrem neprázdné množiny A v metrickém prostoru (P, q) nazveme číslo diam A = sup {q(x, y); x, y E A} . Určete průměr následujících množin: [0,1], (0, 2), {3} U [—1, 0), jednotková koule v Rn, jednotková krychle v Rn, (0, oo), interval (1,5) s diskrétní metrikou. 26.3. Charakterizujte všechny neprázdné podmnožiny metrického prostoru (P, q), které mají nulový průměr. 26.4. Dokažte A A. 26.5. Nechť (P, q) je metrický prostor a nechť {xn} C P je posloupnost. Řek- { xn} tedy Ve > 0 žlno Vm, n > n : Q(xn, xTO) < e. V prostoru reálných čísel s eukleidovskou metrikou platí, že posloupnost je konvergentní právě když je cauchyovská. Dokažte na příkladu, že v obecném metrickém prostoru toto tvrzení neplatí. 26.6. Metrický prostor (P, q) se nazývá úplný, jestliže každá cauchyovská po- {xn} C P Dokažte, že a, b a, b C, Q(f,#) = sup |/(x) — #(x) | x€[0,1] je úplný. 35 36 8. METRICKÉ PROSTORY II 26.7. Charakterizujte všechny cauchyovské posloupnosti v diskrétním prostoru. Je diskrétní prostor úplný? 26.8. Dokažte následující Cantorovu větu: Metrický prostor (P, g) je úplný právě tehdy, když má následující vlastnost: pro libovolnou posloupnost uzavřených množin P D A D A D - --D An D ... splňující dianí An — 0 je množina f]n&N An jednobodová. Návod: K důkazu nutnosti vezměte pro každé n libovolný bod xn G An a dokažte, že posloupnost {xn} je cauchyovská a tedy konvergentní a že její limita je An {xn} množiny An { xn, xn , xn , . . . } a dokažte, že mají jednobodový průnik, který je zároveň limitou posloupnosti {xn} An An s vaší intuitivní představou? 26.10. Nechť P = R a ' j_ M j_ e(x,y) = { M je-li x ^ 0, y = 0; je-li x = 0, y ^ 0; xy kR + Ů je-li x ^ 0,y ^ 0,x ^ y. Určete, zda P, g P, g P, g P P, g 27. Banachova věta o kontrakci 27.1. Zobrazení T : P — P se nazývá kontrakcí, jestliže existuje 7 G [0,1) tak, že g(Tx, Ty) < 7g(x, y) pro každé x, y G P. Dokažte následující tvrzení: Nechť T je kontrakce na P a x G P je libovolný { x n} xn+i = Txn, n G N. 28. SOUVISLÉ PROSTORY 37 Potom {xn} je cauchyovská. 27.2. Dokažte, že důsledkem tvrzení z příkladu 27.1 je následující Banachova věta o kontrakci: Necht (P, q) je úplný metrický prostor a necht T : P — P je kontrakce. Potom T má na P právě jeden pevný bod, to jest existuje právě jedno x G P takové, že Tx x 27.3. Nechť P = N a p(m,n) = I — — -I. Určete, zda (i) (P, q) je metrický prostor; (ii) (P, q) je úplný; (iii) (P, q) je kompaktní. P žiny prostoru (P, q). jsou jednobodové množiny otevřené? 27.4. Nechť P = N a p(m,n) = I — — -I. Definujeme zobrazení mn T : n — n + 1. TT P 27.5. Nechť P = N \ {1} a g(m, ^) = |~ — ~| - Definujeme zobrazení T : n — nř. Zobrazení T zřejmě nemá pevný bod. Dokažte, že přesto je T kontrakce na P. Jak je to možné? 27.6. Nechť (P, q) je metrický prostor a nechť T : P — P splňuje q(Tx, Ty) < q(x, y) pro každé x, y G P, x ^ y. TP nazýváme neexpanzívní. Najděte příklad metrického prostoru a neexpanzívního zobrazení, které není kontrakcí. 27.7. Platí následující modifikace Banachovy věty (povšimněte si, čím je vy- T Nechť (P, q) je kompaktní metrický prostor a nechť T : P — P je neexpan-TP Návod: Studujte vlastnosti funkce f : P — R definované předpisem f(x) = Q{x,Tx). 28. Souvislé prostory 28.1. V prostoru C([0,1]) se supremovou metrikou definujeme pro dvě dané funkce g,h G C([0,1]) úsečku: f: [0,1] — C([0,1]), f(a) = g + a(h — g). 38 8. METRICKÉ PROSTORY II Dokažte, že: (i) úsečka je oblouk; f, (iii) C([0,1]) je obloukově souvislý prostor. Všimněte se, že stačí dokázat jen jedno z tvrzení (i)-(iii). Které? 28.2. Zkoumejte, jaké vlastnosti musíme vyžadovat od metrického prostoru, aby v něm bylo možno nějakým rozumným způsobem zadefinovat úsečku a aby platila analogie tvrzení z předcházejícího příkladu. Pro jakou třídu metrických prostorů takto automaticky zajistíme obloukovou souvislost? 28.3. Ukažte na příkladu, že uzávěr obloukově souvislé množiny nemusí být obloukově souvislá množina. Návod: Graf funkce f(x) = sin (|), x G (0,1). 28.4. Ukažte příklad množin A, B takových, že A C B C A, A je obloukově souvislá množina, B není obloukově souvislá množina. R směrnice ^ n E N. To je množina A Množinu B vytvoříc tak, že k A přidáte ještě úsečku {[x,y] G R2; x G [|, 1],y = 0}. Je A obloukově souvislá? Co je AI Platí A C B C XI Je B obloukově souvislá? KAPITOLA 9 Obyčejné diferenciální rovnice 20. Základní rovnice, separace proměnných 20.1. Uhodněte nějaká řešení následujících diferenciálních rovnic. Najdete všechna řešení? y' = 0; y' = 5; y' = -3x; y' = sin(2x); y' = -Ay. 20.2. Uhodněte partikulární řešení diferenciálních rovnic, která splňují příslušnou okrajovou podmínku: y' = -3x, y(2) = 4; y'= -Ay, y(0) = 7. 20.3. Zkuste najít některé obecné řešení diferenciální rovnice y" + A2y = 0. Nyní najděte partikulární řešení, které splňuje okrajové podmínky y , y' . 20.4. Najděte všechna maximální řešení diferenciálních rovnic y' = l + y»; y' = Sinx (,,/+ 2y + l); y'= (y > 0, y. Načrtněte integrální křivky řešení všech uvedených rovnic! 20.5. Jestliže se potkají dvě řešení rovnice y' = /(x,y), kde / je spojitá funkce dvou proměnných, pak na sebe tato dvě řešení navazují hladce. Dokažte! Rovnici y'x y y řeší například funkce y = 1 a y = e*, x G R. Tato dvě řešení se potkávají v bodě , tvrzením? 20.6. Najděte maximální partikulární řešení diferenciální rovnice y' x y y, procházející bodem [|,e] a načrtněte jeho graf. Jaký je maximální interval, na který lze toto řešení rozšířit? 39 40 9. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 20.7. Najděte všechna maximální řešení diferenciálních rovnic y' = l0*+«; y' - xy' = b(l + x2y'), y(l) = l. Načrtněte integrální křivky řešení! 20.8. Primitivní populační model popisuje vývoj určité populace tak, že růst počtu jedinců P v čase t je přímo úměrný P, takže podle tohoto modelu je vývoj populace řízen diferenciální rovnicí kde k > 0 je konstanta úměrnosti, závislá na typu populace, kterou studujeme. Dokažte, že pak P(t) = Aekt, kde A je nějaká kladná konstanta daná počátečním stavem populace. Promyslete si sestavení a vyřešení obecné rovnice a pak spočítejte následující příklad. tP Pt po dalších 12 hodinách více než 1000? Vedla by lineární aproximace ke stejnému závěru? 20.9. Podstatně lepší populační model než ten, který byl popsán v předcházejícím příkladu, bere v potaz tzv. maximální kapacitu životního prostředí. Ta je dána číslem N, což je nejvyšší možný počet členů dané populace, který se ještě v daném životním prostředí uživí. Ověřte si, že podle tohoto modelu je vývoj populace řízen diferenciální rovnicí f = kP(N-n Dokažte, že vývoj stavu populace je pak dán funkcí kNeNt P(í) = l + ke^' k křivky. Porovnejte s příkladem 20.8! Pak spočítejte následující příklad. Na ostrov, který skýtá pastvu pro nejvýše 120 králíků, dorazilo 30 králíků. Po prvním roce jich zde žije již 80. Bude jich za další rok více než 100? 20.10. Králík roste podle tzv. allometrického zákona dv v' kde , v označují šířku a výšku králíka a k je konstanta úměrnosti. Na začátku má králík šířku 5 cm a výšku 5 cm. Po nějaké době má králík 10 cm výšky a 5-\/2 cm šířky. Králík má k dispozici noru o šířce 12 cm a výšce 24 cm. Určete, zda mu bude dřív úzká nebo nízká. 21. HOMOGENNÍ ROVNICE 41 20.11. Brouk Pytlík nemá rád teplotu nižší než 60 mravenčích stupňů. V 8 hodin ráno mravenci zatopí v peci, na níž Pytlík leží, na 110 stupňů, a odejdou do práce. Ve 13 hodin je teplota v místnosti 80 stupňů. Místnost vychládá rychlostí úměrnou rozdílu okamžité teploty v místnosti a venkovní teploty, která je stabilně rovna 20 stupňům. Vydrží Pytlík do 18 hodin, kdy se mravenci vrátí z práce a zatopí? 20.12. Při pádu s padákem je směrem dolů působící gravitační síla rovna G = mg, kde m je hmotnost parašutisty a g je konstantní gravitační zrychlení. Směrem vzhůru působící síla F způsobená odporem padáku je úměrná kvadrátu okamžité rychlosti, tedy F = fcv2, kde k je materiálová konstanta vyjadřující kvalitu padáku. Vývoj okamžité rychlosti směrem dolů v = v(t) v čase t je tedy řízen diferenciální rovnicí mg — kv = m—. dt v době (za předpokladu, že parašutista skáče z dostatečné výšky) blížit konstantní rychlosti v = y^r- 20.13. Popište křivku v rovině, která prochází bodem [2, 3] s následující vlastností: úsečka libovolné její tečny, vymezená průsečíky této tečny se souřadnými osami, se půlí v bodě dotyku. 21. Homogenní rovnice 21.1. Má-li diferenciální rovnice tvar y' = /(^), lze ji převést substitucí z = ^ na tvar z'(x)x + z{x) = f (z), což je rovnice se separovanými proměnnými. Řešte diferenciální rovnice / -2/ y \ i y2 + xy < y < , x xy = y + xsm I — , xy =-, y =--1, xy = y log —, x, y > 0. Vx/ x x y 21.2. Řešte diferenciální rovnice xy' = xey/x + y, (x2 + y2) y' = 2xy. 21.3. Řešte diferenciální rovnice / y2 0 , % + y , x y y =-3-2, y=-, y=- + -. x x — y y x 42 9. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 22. Exaktní rovnice Má-li diferenciální rovnice tvar (22.1) h(x,y)y' + f(x,y) = 0 a existuje-li funkce dvou proměnných u(x,y) taková, že (22.2) % = h^y)> £ = /^ pak se taková rovnice nazývá exaktní. Dosud jsme chápali u jako funkci dvou proměnných. Protože ale y = y (x), můžeme chápat u = u(x, y (x)) jako funkci jedné proměnné (x). Pak ji derivujeme neparciálně,tj. Povšimněme si, že exaktní rovnici (22.1) lze přepsat ve tvaru ^ = 0 a že všechna řešení této rovnice jsou implicitně popsána pomocí křivek tvaru u(x, y) = C, C G R. Jak rozpoznat, zda je daná rovnice exaktní? Jsou-li funkce h a f spojité, pak k tomu, aby rovnice (22.1) byla exaktní, musí platit dh _ d f dx dy Tento vztah lze považovat za test exaktnosti rovnice. Navíc jej lze snadno ověřit. u u vztahů (22.2). 22.1. Řešte diferenciální rovnice y 1 (22.3) y1 (log(sinx) - 3y2) +ycotgx + 4x = 0, y'+-f- = -; xy (22.4) y' (3x2y2 + ey) + 2xy3 + 2 = 0; (22.5) y' (x2 sin(xy) — 2y) + cos(xy) — xy sin(xy) = 0. Jestliže rovnice není exaktní, můžeme ji někdy převést na exaktní tvar pomocí integračního faktoru. Rovnici (22.1) vynásobíme zatím neznámou funkcí Aby byla tato nová rovnice exaktní, musí splnit test, tj. musí platit ď(M = d{f'" = 4^7> ž/(0) = 0, y'(0) = y"(0) = 1. Návod: Položte z = y'. 24.5. Nalezněte reálný fundamentální systém řešení následujících lineárních homogenních diferenciálních rovnic: yW + y"' — 3 y'' — 5 y' — 2y = 0; y y''' y'' y'' y' y y'' y' — y . 25. Systémy lineárních rovnic 1. řádu 25.1. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G R. Řešte systém diferenciálních rovnic x' x — y — z y' x — y — z z' z — x y. 25.2. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G R. Řešte systém diferenciálních rovnic x' x — y — z y' x — y — z z' x — y. 25. SYSTÉMY LINEÁRNÍCH ROVNIC 1. ŘÁDU 45 25.3. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G R. Řešte systém diferenciálních rovnic x' = 2x + 2z — y y' = x + 2z z' = y — x — z. 25.4. Nechť x, y, z jsou diferencovatelné funkce proměnné t G R. Řešte systém diferenciálních rovnic x' x — y — z y' y — x z z' x — y. x, y, z t G R diferenciálních rovnic x' x y — z y' — x — y z z' —x — y z. x, y, z t G R diferenciálních rovnic x' x — y z y' x y — z z' z — y. x, y, z t G R diferenciálních rovnic x' x y y' y z z' x z. KAPITOLA 10 Lebesgueův integrál v R 46 35. KONVERGENCE LEBESGUEOVA INTEGRÁLU 47 35. Konvergence Lebesgueova integrálu 35.1. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Lebesgueovy integrály: ŕ'CO (35.1) / xs_1(logx)ke-x dx, k E Z; Jo (35.2) / xp^l - x)q_1 dx; o oo (35.3) / xpe~^dx; /o (35.4) / ■—— dx; x x (35.5) / (tg x ° dx; o (35.6) / -dx; Jo 1 + xq f °° 1 ^ sax (35.7) / -dx; J Jo x*> ' í'Tľ ax dx J (35.9) / xax dx; o r°° xa (35.10) / . dx; Jx (35.11) f ^ ®&x\ fa; o VT x 1 (35.12) / ,— — ~ ďx\ 'o Vxlogíl + e*) (35.13) / -dx; x °x (35.14) / . dx. K ! Jo 48 10. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V Rn 35.2. Vyšetřete, pro které hodnoty příslušných parametrů konvergují následující Lebesgueovy integrály: (35.15) (35.16) Cvičení 35.1: Cvičení 35.2: />oo / (n — 2arctg xa dx; Jo x dx. o log*(l/x Výsledky (35.1) : s > 0, k > —1; (35.2) : p,q>0; (35.3) : p> —i; (35.4) : a > —1, k > 1; (35.5) : a G — , (35.6) : 0 < p + 1 < q; (35.7) : a G R l—2, 35.12) : konverguje; 35.13) : nekonverguje pro žá 35.14) : . (35.15) f 35.16) a< q< 36. ZÁMĚNA ŘADY A INTEGRÁLU 49 36. Záměna řady a integrálu 36.1. V následujících příkladech rozviňte integrovanou funkci v řadu, ověřte možnost záměny řady a integrálu a vyjádřete integrál jako číselnou řadu. (36.1) r^I + flU; x (36.2) f^^dx; x r»00 x (36.3) /-- dx; K ' .L ex-l (36.4) /-- dx; K 1 1 ex + l CO x 00 xP-1 (36.5) /--dx: K ! Jo l + xq (36.6) / e x cos \fx dx; (36.7) ľ^dx; 'o x (36.8) C^^dx; 'o x (36.9) / —;—— dx; "l xp\og x x (36.10) / log x log( 1 — x) dx; Jo (36.11) j log x log(l + x) dx. o 50 10. LEBESGUEŮV INTEGRÁL V Rn Výsledky Cvičení 36.1: (36.1) (36.2) : (36.3) : (36.4) 7T2 12 ^2 6 7T2 6 n2 12' °° / 1 1 \ 36.5): ---řTTřT ' 0: E(-i)'(ägi fc=o v ' 00 / 1 \2 ^36-7): -Z i l ii , j>>-i; í=í Vp+k+iy o / , x2 oo V(-l)fc+1—^-: 36.9) : kp fc=0 ^ 2 (36.10) : 2 ~ : 2 (36.11): Y2-21°g2 38. INTEGRÁL ZÁVISLÝ NA PARAMETRU 51 37. Záměna limity a integrálu 37.1. V následujících příkladech vyšetřete, zda lze zaměnit limitu a integrál, a pokud ano, spočtěte limitu. (37.1) (37.2) (37.3) (37.4) (37.5) lim n—oo lim n lim n—o lim n nx o xn xn dx "OO lim , . "OO dx 1/n ' log(x + n) _x , - e cosx <±c; n OO e x dx. 38. Integrál závislý na parametru 38.1. Vyšetřete definiční obor funkce F a její spojitost, najděte limity v krajních bodech (nebo se o to aspoň pokuste), vyjádřete derivaci funkce podle věty 52 10. LEBESGUEÜV INTEGRÁL V R" o derivování integrálů závislých na parametru. (38.1) (38.2) (38.3) (38.4) (38.5) (38.6) (38.7) (38.8) (38.9) (38.10) (38.11) Fa Fa Fa Fa Fa Fa Fa Fa Fa Fa Fa xa e x dx o x x 1 + xa e ax x dx ax x x ax x / —X-— dx; eax - n log(l + Mnx) x ax x ax dx. VÝSLEDKY 53 38.2. Rozhodněte, pro které hodnoty parametrů konvergují následující Lebe-sgueovy integrály a spočtěte jejich hodnoty pomocí věty o derivování integrálů závislých na parametru. (38.12) J(a)= ri0g(1 + aC°Sl)&; x (38.13) F(a, k) = [°° e-^!^M dx; Jx ľ°° los(o2 + x2) (38.14) K(a,b)= / °f - ; dx; bx /or,ir\ i^i \ arctg(asinx) , (38.15) F(a) = / -^-- dx; x (38.16) F(p, q) = I 1 (1 XQ) dx; x o (38.17) F(a, b) = ľ &ľCtg{ax) ~ &ľCtg{bx) dx; x CO x (38.18) F(a) = j -^—^dx; J xa (38.19) F(a)= /--dx. x Výsledky Cvičení 38.2: (38.12) : J(a) = 7rarcsina, a E [—1, 1]; (38.13) : F(a, k) = arctg (^j , aeR, ke (0, oo); (38.14) : K(a,b) = ^-r log (\a\ + \b\), a, b G R, b ^ 0; lbl (38.15) : F(a) = | log (a + y/l + a2) , a G E; (38.16) : F(p, g) = log (^j^^^Yj^j , P >-1, q > -1, P + q >-1; (38.17) : F (a, b) = -logy, a, 6 > 0 nebo a = b G R; b 2 (38.18) : F(a) = a (38.19) : F (a) = log 1 a KAPITOLA 11 Křivkový a plošný integrál v Rn 39. Křivkový integrál 1. druhu 39.1. Spočtěte délku oblouku C= {[x, y, z] e R3; x = 3t, y = M2, z = 2t3} mezi body [0, 0,0] a [3,3, 2]. 39.2. Spočtěte délku křivky C={[r,tp] G R2; r = a sin3 (|) , tp G [0,3vr]} kde a > 0. C y = a arcsin —, z = - log- a 4 a + x od bodu [0,0,0] do bodu [xo,yo, zo], kde a > 0. a elipsa s poloosami |, 2a, kde a > 0. 39.5. Spočtěte křivkový integrál \/x2 + y2 ds, kde C je kružnice se středem v bodě [|, 0] o poloměru |. 39.6. Spočtěte křivkový integrál Ja C souřadnicích pomocí následujících parametrizací: p = 0, r e [0,a]; n r = a, ^ G [0,-]; n ^ = -, r G [0,a], a> 54 a 39. KRIVKOVÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 55 39.7. Spočtěte křivkový integrál / (x2 + y2 + z2) ds, Ja kde C je oblouk šroubovice, zadaný parametricky x = acosŕ, y = asinŕ, z = 6ŕ, t G [0, 27r]-39.8. Spočtěte křivkový integrál 4 4 2 2 4 x3 + y3 ) ds, C C = {[x, y] G E2; xt + yf = at, kde a > 0. C /(x, y), má souřadnice T = [xo,yo], kde xo = ^ J^xf(x,y)ds, y0 = j yf(x,y)ds, přičemž M = Ja /(x, y) ds je hmotnost drátu. Určete souřadnice těžiště oblouku homogenní cykloidy, zadané parametricky x = a (ŕ — sin ŕ), y = a(l — to s ŕ), ŕ G [0, n, kde a > 0. 39.10. Dokažte, že je-li křivka zadána v polárních souřadnicích v R2 tak, že r = r(p) (kde jako obvykle x = r cos ŕ, y = r sin ŕ), pak platí vztah (39.1) ds = \Jr(p)2 + r'(p)2 dp. 39.11. S pomoci (39.1) spočtěte křivkový integrál /= / |y|ds, a C ) ( ) a> 39.12. S pomoci (39.1) spočtěte délku kardioidy (srdcovky), zadané rovnici 2 xy x \J x2 + y2 56 Cvičení 39.1: Cvičení 39.2: Cvičení 39.3: Cvičení 39.4: Cvičení 39.5: Cvičení 39.6: Cvičení 39.7: Cvičení 39.8: Cvičení 39.9: Cvičení 39.11: Cvičení 39.11: 11. KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V Rn Výsledky -na lxo | + lzo I elipsa 7re" a + V2(ea — 1) Í2nl 3 4a s T = 4a 4a 3 ' 3 2a2 (2 - V2) 40. Křivkový integrál 2. druhu 40.1. Spočtěte křivkový integrál x — xy dx y — xy dy, J(C) kde C je část oblouku paraboly y = x2 s počátečním bodem [—1,1] a koncovým , 40.2. Spočtěte křivkový integrál ľ (x + y) dx — (x — y) dy J (c) (x2 + y2) Ca 40. KRIVKOVÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 57 40.3. Spočtěte křivkový integrál / (2a — y,x)ds, J (C) kde C je cykloida, zadaná parametricky x = a(t — sin t), y = a{\ — cos t), t G [0,2n], jejíž orientace je dána touto paramaterizací, a kde a > 0. 40.4. Spočtěte křivkový integrál — y dx x dy 6 6 ) (C) 13 + y?, C 2 2 2 x?. + j/3 = as, a > , a a, 40.5. Spočtěte křivkový integrál y z dx + xz dy + xy dz, C C f(ť) = i a cos t, a sin í, — t j , ŕe[0,27r], jejíž orientace je dána touto paramaterizací, a kde a, b > 0. 40.6. Spočtěte křivkový integrál y dx z dy x dz, C C z xy, x y , xy 40.7. Vypočtěte práci silového pole F(x,y,z) = (x,y,xz — y) po obvodu křivkv {[t2,2t,4ř], t G[0,1 ]}, jejíž orientace je dána touto paramaterizací. x, y, z x, y , z zz čtvrtkružnici C = {[cosŕ, 1,siní], í G [0, — ]}? 2 58 11. KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V Rn 40.9. Kapalina proudí rychlostí V(x,y) = (x,2y). Určete množství kapaliny, která proteče za jednotku času elipsou, zadanou rovnicí 2 2 — + yi = i 4 9 Cvičení 40.1: Cvičení 40.2: Cvičení 40.3: Cvičení 40.4: Cvičení 40.5: Cvičení 40.6: Cvičení 40.7: Cvičení 40.8: kde k je konstanta úměrnosti. Cvičení 40.9: Výsledky 14 ~15 —2 n -2na2 3 4 16 18n 41. Greenova věta 41.1. Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál — y x dx x y dy, J(C) kde (C) je kladně orientovaná hranice oblasti G={[x,y]eR2, l 0. 41.3. Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál / (x + y) dx — (x — y) dy, •>(C) 2 2 kde (C) je kladně orientovaná elipsa ^2+^ = 1,a,6>0. 41.4. Pomocí Greenovy věty vypočítejte křivkový integrál 1= — co sy)dx — (y — sin y)dy), J(C) C G = {[x,y] E R, 0 < x < n, 0 < y < sinx} . Výsledky Cvičení 41.1: Cvičení 41.2: Cvičení 41.3: Cvičení 41.4: 03 n ~Y2 A na ~2~ 42. Plošný integrál 1. druhu 42.1. Spočtěte obsah sféry M= {[x, y, z] E R,x2 + y2 + z2 = r2}, r > 0. 42.2. Spočtěte obsah rovinné plochy M= {[x, y, Z E R, z = ax + 6y, x2 + y2 < 1}, a, b > 0. 42.3. Spočtěte obsah části povrchu rotačního hyperboloidu M { x, y, z E R, z xy, x y < }. 42.4. Spočtěte obsah stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu M = {[x, y, z] E E3, z = l- {x2 + y2) , x2 + y2 < 1}. 60 11. KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V Rn 42.5. Spočtěte obsah povrchu anuloidu, jehož průřez má poloměr R2, přičemž vzdálenost středu průřezové kružnice od jeho osy je R, R > R2. 42.6. Spočtěte plošný integrál 1. druhu z dS, M kde M je helikoid, zadaný parametrizací M= {[t cos s, t sin s,s] G R3, t G [0,a],s G [0, 2vr]}. M T = [xt,yt,zt] = jj1^ [jj xdS.jj vdS.jj zds \ . M M M M Vypočítejte těžiště homogenního rotačního paraboloidu M = {[x,y,z] G R3, x2 + y2 = 2z, 0< z < 2}. 42.8. Podle Pascalova zákona je hydrostatická síla působící v daném bodě povrchu tělesa dána výrazem F% = gg J J hrii dS, i = \ .2.'i. M kde n je hloubka v daném bodě, je i-tá složka vnější jednotkové normály plochy M Dokažte, že (v souladu s Archimedovým zákonem), hydrostatická síla, která působí na stěny nádoby tvaru rotačního paraboloidu M= {[x,y,z] G R3,x2 + y2 = z, 0< z < 1}, je rovna F(0,0, ^ Cvičení 42.1: Cvičení 42.2: Cvičení 42.3: Cvičení 42.4: 2 • Výsledky 4nr2 vrVl + a2 + b2 3 -n (2V2 — 1 *-l2\'2 1 43. PLOŠNÝ INTEGRÁL 2. DRUHU 61 Cvičení 42.5: Cvičení 42.6: 7r2 (aVl + a2 + log (a + Vl + a2 Cvičení 42.8: 50^ + 2 T = ,, 50^ - 10 43. Plošný integrál 2. druhu 43.1. Spočtěte integrál z dx dy, J(M) kde (M) je kladně orientovaná plocha sféry M = {[x, y, Z e R, x2 + y2 + z2 = 1}. 43.2. Spočtěte integrál y - z dy dz z - x dz dx x - y dx dy, M M M= {[x, y, Z e R, x2 + y2z2, z e [0}. s vnější orientací. 43.3. Spočtěte integrál x dy dz y dz dx z dx dy, M M M = {[x, y, z e R, (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R, a, b, c, R > 0}. 43.4. Spočtěte integrál x dy dz y dz dx z dx dy, M M M = {[x, y, z e R, x2 + y2 + z2 = a2, a>0}. 62 11. KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL V Rn 43.5. Spočtěte integrál f dydz dz dx dxdy / ~^— +-+--, J(M) x y z kde (M) je vnější povrch elipsoidu 2 2 2 M = {[x, y, z] E R3, ^ + ^ + ^ = 1, a, b, c> 0}. 43.6. Spočtěte integrál xz dy dz xy dz dx yz dx dy, M Mx y = 0, z = 0ax + y + z = l. FV x, y, z x, y, z P= {[x,y, z] G R3 ,x2 + y2 < a2, z G[—h,h]}, a,h>Q. FV x, y, z z, , x kou střechou M { x, y, z G R , x y z, x, y G — , }. FV x, y, z yz, — xz, x y plochou zadanou parametricky $(r, t) = (er cos t, er sin t, r). Cvičení 43.1: Cvičení 43.2: Cvičení 43.3: Cvičení 43.4: Cvičení 43.5: Cvičení 43.6: Výsledky 4 SnaR3 3 4nR3 , , bc ac ab 4vr ( — + — + — a b c VÝSLEDKY 63 Cvičení 43.7: Qirha2 Cvičení 43.8: 4 3 Cvičení 43.9: 7r(e4 - 1)