Náhodný výběr z nc rmálního rozdělení Bodové a intervalo\ 'é odhady Testovaní hypotéz ooooooooooo OOOOOOOOOOO oooooooooooooo Matematika IV - 12. přednáška Náhodný výběr z normálního rozdělení a intervalové odhady Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 18. 5. 2011 Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Obsah přednášky Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz •oooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr - připomenutí Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin X\,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz •oooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr - připomenutí Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin X\,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodným výběrem rozsahu n z p-rozměrného rozdělení rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených p-rozměrných náhodných vektorů. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz •oooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr - připomenutí Náhodným výběrem rozsahu n rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených náhodných veličin X\,... ,Xn ~ Fx(x) (někdy také hovoříme o n nezávislých kopiích náhodné veličiny X). Náhodným výběrem rozsahu n z p-rozměrného rozdělení rozumíme n-tici nezávislých a stejně rozdělených p-rozměrných náhodných vektorů. _ V matematické statistice často pracujeme s transformacemi náhodného výběru, takovým náhodným veličinám (příp. vektorům) říkáme statistiky. V následujícím zavedeme několik důležitých statistik a ukážeme jejich souvislost s číselnými charakteristikami náhodných veličin. Náhodný výběr z normálního rozděleni o«ooooooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Základní statistiky Definice Nechť Xl,..., Xn je náhodný výběr. Statistiku 1 " n ^ ;=i nazýváme výběrový průměr, statistiku i=l výběrový rozptyl a statistiku S = VŠ^ výběrová směrodatná odchylka. Analogicky se definují i výběrová kovariance, příp. výběrový korelační koeficient pro dvourozměrný náhodný výběr. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz oo«oooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Věta Necht X\,... ,Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou [i a rozptylem a2 . Pak platí: 9 E(M) = n, Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz oo«oooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Věta Necht Xi,.. ., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou [i a rozptylem a2 . Pak platí: 9 E(M) = = li, 9 D(M) -- = var(M) = a2/n, □ rgi - ■ * -r)c^(y Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz oo«oooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Vlastnosti statistik Protože jsou uvedené statistiky náhodnými veličinami, lze se přirozeně ptát po jejich číselných charakteristikách. Věta Necht Xi,.. ., Xn je náhodný výběr rozsahu n z rozdělení se střední hodnotou [i a rozptylem a2 . Pak platí: • E(M) -- = li, • D(M) -. = var(M) = a2/n, • E(S2) - = a2. Náhodný výběr z no rmálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz ooo«ooooooo OOOOOOOOOOO oooooooooooooo Důkaz. Ukážeme jen (nejsložitější) 3. tvrzení. Snadno se odvodí, že platí £(X; - /x)2 = £(X; - M)2 + n(M - /x)2. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz ooo«ooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Důkaz. Ukážeme jen (nejsložitější) 3. tvrzení. Snadno se odvodí, že platí Proto je n — 1 1 n — 1 n n — 1 ^2 ji -a = a . □ Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ 'é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo oooooooooooooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru /x. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru jjl. Náhodný výběr z normálního rozděleni oooo»oooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru /x. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /x. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Náhodný výběr z normálního rozděleni oooo»oooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru /x. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /x. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Všimněme si rovněž, že „přirozeněji" definovaná statistika — M)2 není nestranným odhadem a2, její střední hodnota je totiž ^o2. Náhodný výběr z normálního rozděleni oooo»oooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo V předchozí větě jsme ukázali, že výběrový průměr M splňuje E(M) = [i, jeho střední hodnota je tedy rovna odhadovanému parametru /x. V takovém případě říkáme, že statistika M je nestranným odhadem parametru /x. Podobně jsme viděli, že S2 je nestranným odhadem parametru a2. Všimněme si rovněž, že „přirozeněji" definovaná statistika — M)2 není nestranným odhadem a2, její střední hodnota je totiž ^o2. Rozmyslete si, je-li S nestranným odhadem směrodatné odchylky a. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. 4 Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. • M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 - x2(n - 1). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 ~ x2(n - 1). • E(X/-Aí)2A72~X2(n)- Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ N(n, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 ~ x2(n - 1). • E(X/-Aí)2A72~X2(n)- . T = (M-/x)/(S/v^)-r(n-l). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ A/(/j, a2/n), a tedy U = (M - n) / (a / y/ň) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 ~ x2(n - 1). • E(X/-Aí)2A72~X2(n)- . T = (M-/i)/(S/v^)-r(n-l). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ A/(/j, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 ~ x2(n - 1). • E(X/-Aí)2A72~X2(n)- . T = (/W-/i)/(S/^)-ř(n-l). Poznámka K odhadu jjl, známe-li a2, slouží U, v opačném případě T. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooo«ooooo ooooooooooo oooooooooooooo Náhodný výběr z normálního rozdělení Uvažme nyní speciální případ, kdy je Xl,..., X„ náhodný výběr z normálního rozdělení A/(/x, a2). Věta • M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny. o M ~ A/(/j, a2/n), a tedy U = (M - n)/{o/^~h) ~ N(0,1). • K = (n- l)S2/a2 ~ x2(n - 1). • £(X/-/x)>2~x2(")- . T = (/W-/i)/(S/^n)~r(n-l). Poznámka K odhadu /x, známe-li 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a S2, S| výběrové rozptyly. Dále necht je s2_(m-l)S2 + (n-l)S2 * m+n-2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: 00. o- Náhodný výběr z normálního rozděleni OOOOOOOO0OO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Dva nezávislé výběry z normálního rozdělení Věta Necht je X\\,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení A/(/x, a2) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, a2), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a S2, S| výběrové rozptyly. Dále necht je s2_(m-l)S2 + (n-l)S2 * m+n-2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: • M\ — M2 a S2 jsou stochasticky nezávislé, 00. o- Náhodný výběr z normálního rozděleni OOOOOOOO0OO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Dva nezávislé výběry z normálního rozdělení Věta Necht je X\\,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení A/(/x, a2) a X\2,..., Xni je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, a2), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a S2, S| výběrové rozptyly. Dále necht je s2_(m-l)S2 + (n-l)S2 * m+n-2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: • M\ — M2 a S2 jsou stochasticky nezávislé, • Mi - M2 ~ A/(/xi - H2, ^ + 4) , 00. o- Náhodný výběr z normálního rozděleni OOOOOOOO0OO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Dva nezávislé výběry z normálního rozdělení Věta Necht je X\\,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení A/(/x, a2) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, a2), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a S2, Sf výběrové rozptyly. Dále necht je s2_(m-l)S2 + (n-l)S2 * m+n-2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: • M\ — M2 a S2 jsou stochasticky nezávislé, • Mi - M2 ~ A/(/íi - H2, ^ + 4) , • je-li g\ = g\ = a2, pak K = {m + n- 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , 00. o- Náhodný výběr z normálního rozděleni OOOOOOOO0OO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Dva nezávislé výběry z normálního rozdělení Věta Necht je X\\,..., Xm\ náhodný výběr rozsahu m z rozdělení A/(/x, a2) a X\2,..., Xn2 je na něm nezávislý náhodný výběr rozsahu n z rozdělení N (/i, a2), přičemž m, n > 2. Označme M\, M2 jejich výběrové průměry a S2, Sf výběrové rozptyly. Dále necht je s2_(m-l)S2 + (n-l)S2 * m+n-2 vážený průměr výběrových rozptylů. Pak platí: • M\ — M2 a S2 jsou stochasticky nezávislé, • Mi - M2 ~ A/(/íi - H2, ^ + 4) , • je-li g\ = g\ = a2, pak K = {m + n- 2)S2/a2 ~ x2(m + n - 2) , • F = 4t4 ~F(m-l,n-l). Náhodný výběr z normálního rozdělení ooooooooo«o Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooooooooo Užití statistik dvou nezávislých výběrů • Statistika U, vzniklá normováním M\ — M2, se používá pro odhad rozdílu [i\ — [12, známe-li rozptyly i 4 10 "r" 5 . 0 libovolné. Z Čebyševovy nerovnosti máme P(\Tn - E(Tn)\< 6/2) > 1 - D(T„)/(e/2)2. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooo»ooooooo oooooooooooooo Je-li posloupnost Tn odhadů parametru 9 asymptoticky nestranná a platí-li limn^oo D{Tn) = 0, pak Tn je konzistentním odhadem 9. Důkaz. Buď e > 0 libovolné. Z Čebyševovy nerovnosti máme P(|7„ - E(7„)| < e/2) > 1 - D(7n)/(e/2)2. Zároveň pro dostatečně velké n máme \E{Tn) — 9\ < e/2. Proto P{\Tn-9\ P(\Tn - E(Tn)\ < e/2,\E(Tn) - 9\ < e/2) = P(\Tn-E(Tn)\ M + — (M — -^U!_a/2) = v n v n Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooo«o Testování hypotéz oooooooooooooo Příklad Nechť Xl,..., Xn je náhodný výběr z rozdělení A/(/x; 0,1). Jaký musí být minimální rozsah výběru, aby velikost 95% intervalu spolehlivosti pro jjl nepřesáhla číslo 0,03? Řešení Podle předchozí tabulky dostáváme (pro a = 0,05) 0, 03 > M + — (M — -^U!_a/2) V vn = ž=Wl-a/2- Proto n> . ^r"/2 =170,7 0,032 a rozsah výběru tedy musí splňovat n > 171. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady 0000000000» Testování hypotéz oooooooooooooo Intervaly spolehlivosti pro parametry 2 normálních rozdělení /-ti — 1^2 (známe a2, a2) M1-M2±^ + ^u1_a/2 /xi — fj.2 (neznámé a\ = a2) M1-M2±S*y/± + ±t1_a/2 společný rozptyl a2 ( (m+n-2)S* (m+n-2)S* \ \xl_a/2(m+n-2)' x2/2(m+n_2) J podíl rozptylů (r\/a2 ( S'i/S'i Si/Si \ Fi-a/2(m-l,n-l)' Fa/2(m-l,n-l) ) Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady 0000000000» Testování hypotéz oooooooooooooo Intervaly spolehlivosti pro parametry 2 normálních rozdělení /-ti — 1^2 (známe a2, a2) M1-M2±S/£ + £u1_a/2 /xi — fj.2 (neznámé a\ = a2) M1-M2±S*y/± + ±t1_a/2 společný rozptyl a2 ( (m+n-2)S* (m+n-2)S* \ \xl_a/2(m+n-2)' x2/2(m+n_2) J podíl rozptylů (r\/a2 ( S'i/S'i Si/Si \ Fi-a/2(m-l,n-l)' Fa/2(m-l,n-l) ) Poznámka Pokud a priori nevíme, jestli jsou rozptyly shodné, můžeme to ověřit tak, že nejprve sestrojíme interval spolehlivosti pro (r\/a2. Obsahuje-li 1, lze považovat rozptyly za shodné a tento rozptyl odhadovat pomocí statistiky K, jak je uvedeno v tabulce. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooooooo Plán přednášky Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz •ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz •ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz •ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Hq .. . nulová hypotéza (např. 0 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodnotě parametru 6) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme). 00. o- Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz •ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Hq .. . nulová hypotéza (např. 0 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodnotě parametru 6) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme). Chyba 1. druhu .. . Ho platia myji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu .. . Hq neplatí a myji nezamítneme 00. o- Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz •ooooooooooooo Motivační úvod Testování hypotéz umožňuje na základě náhodného výběru s danou pravděpodobností ověřovat domněnky o rozdělení, z něhož pochází daný náhodný výběr. Hypotézou budeme rozumět nějaké tvrzení o parametrech tohoto rozdělení. Definice Hq .. . nulová hypotéza (např. 0 = c, kde c vyjadřuje naši domněnku o hodnotě parametru 6) H\ ... (oboustranná) alternativní hypotéza (obvykle negace nulové) Testováním Ho oproti alternativní hypotéze rozumíme postup založený na náhodném výběru, s jehož pomocí platnost Ho zamítneme nebo nezamítneme (= připouštíme). Chyba 1. druhu .. . Ho platia myji zamítneme (závažnější) Chyba 2. druhu .. . Ho neplatí a myji nezamítneme Pravděpodobnost chyby 1. druhu se nazývá hladina významnosti (a, obvykle a = 0,05), pravděpodobnost chyby 2. druhu se značí (5 a číslo 1 — (5 se nazývá síla testu. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo o«oooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy 9 pomocí intervalu spolehlivosti Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo o«oooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti 0 pomocí kritického oboru Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo o«oooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti 0 pomocí kritického oboru 0 pomocí tzv. p—hodnoty (p-value) Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz o«oooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti 0 pomocí kritického oboru O pomocí tzv. p—hodnoty (p-value) Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 9 a zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu Hq nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz o«oooooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy O pomocí intervalu spolehlivosti 0 pomocí kritického oboru 0 pomocí tzv. p—hodnoty (p-value) Interval spolehlivosti Na základě realizace náhodného výběru sestrojíme 100(1 — a)% interval spolehlivosti pro neznámý parametr 9 a zjistíme, zda c patří do tohoto intervalu. Pokud ano, hypotézu Hq nezamítáme (v opačném případě zamítáme) na hladině významnosti a. Kritický obor Stanovení kritického oboru je postup do jisté míry obrácený. Nejprve (i bez náhodného výběru) zvolíme vhodnou statistiku T a množinu hodnot, jichž může T nabývat, rozdělíme na dvě disjunktní podmnožiny: obor nezamítnutí Ho (značíme V) a kritický obor W (obor zamítnutí Ho). Pokud realizace T padne do W, pak Ho zamítneme, jinak nezamítáme. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz oo»ooooooooooo Stanovení kritického oboru na hladině a Pro statistiku T (testové kritérium) stanovíme obor nezamítnutí V jako interval, jehož hraniční body tvoří kvantil a/2 a 1 — a/2, odtud je W = (-00, F~\a/2)) U (F-\l - a/2), 00). Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooo«oooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty je jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooo«oooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty je jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooo«oooooooooo Způsoby testování nulové hypotézy p-hodnota Testování pomocí p-hodnoty je jednoduchý test, umožněný rozšířením statistických balíků, p-hodnota udává nejnižší možnou hladinu významnosti, při níž Ho zamítáme. Je-li p-hodnota > a, hypotézu Ho nezamítáme, pro p-hodnotu menší než a, hypotézu zamítneme. p-hodnota se stanoví rovněž se znalostí konkrétní realizace řo statistiky T náhodného výběru jako p = 2min{P(T< ř0),P(T> ř0)}. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz 0000*000000000 Testování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Hq hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení o < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz 0000*000000000 Testování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Hq hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad • V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. •O 0. o- Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz 0000*000000000 Testování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Hq hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad • V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. • V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. •0 0.0 Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz 0000*000000000 Testování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Hq hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení o < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad • V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. • V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. •O 0. o- Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz 0000*000000000 Testování hypotézy proti jednostranné alternativě Je-li Hq hypotéza 9 = c, pak levostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 < c, pravostranná alternativní hypotéza je tvrzení 9 > c. Volba typu alternativní hypotézy vyplývá z konkrétní situace. Příklad • V předmětu Matematika 3 psali studenti písemku rozdělení na 2 skupiny. Hypotéza Ho : obě zadání mají stejnou průměrnou obtížnost je testována oproti oboustranné alternativní hypotéze zadání nejsou stejně obtížná. • V předmětu Matematika 3 se dříve po studentech nevyžadovalo řešení domácích úloh. Toto bylo nyní nově zavedeno s cílem dosažení lepších výsledků studentů u závěrečné zkoušky. V tomto případě zřejmě použijeme nulovou hypotézu Ho : výsledné bodové hodnocení se nezlepšilo oproti pravostranné alternativní hypotéze H\ : bodový výsledek studentů se zlepšil Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooooo«oooooooo Jednoduchý příklad Příklad Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme na hladině významnosti a = 0,05 nulovou hypotézu Ho : kostka není upravená oproti jednostranné alternativní hypotéze H\ : kostka je upravená tak, aby padalo více šestek. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz ooooo«oooooooo Jednoduchý příklad Příklad Náš protivník hodil 60x kostkou a padla mu 16x šestka. Testujme na hladině významnosti a = 0,05 nulovou hypotézu Ho : kostka není upravená oproti jednostranné alternativní hypotéze H\ : kostka je upravená tak, aby padalo více šestek. Řešení Statistika T (počet šestek) ma rozdělení T ~ 6/(60,1/6). Kritický obor je dán 95. percentilem tohoto rozdělení. Snadno vypočteme, že P(T > 14) = 0,065 a P(T > 15) = 0,034, proto p-hodnota rovna 0,034 (nebo jinými slovy: kritickým oborem na hladině 0,05 je interval (16, oo). Hypotézu Ho tedy zamítáme - na hladině 0,05 můžeme tvrdit, že kostka je upravená. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooo«ooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v_ 7~10 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu jjl = 0. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooo«ooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v_ 7~10 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu [i = 0. Kritickým oborem A/(0,1) je interval (1,65, oo) (stále uvažujeme pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí x = (16 — 10)/a/50/6 ř« 2,08 a hypotézu tedy opět zamítáme. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooo«ooooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace) Porovnejme předchozí řešení příkladu s řešením, při kterém využijeme aproximaci pomocí de Moive-Laplaceovy věty. Náhodnou veličinu v_ 7~10 lze považovat za veličinu mající normální rozdělení A/(/x, a2) s jednotkovým rozptylem a2 = 1, testovat budeme hypotézu [i = 0. Kritickým oborem A/(0,1) je interval (1,65, oo) (stále uvažujeme pravostranou alternativu). Přitom pro realizaci statistiky X platí x = (16 — 10)/a/50/6 ř« 2,08 a hypotézu tedy opět zamítáme. Jednostranným intervalem spolehlivosti pro X je ((2,08 — 1,65)/\/6Ô, oo) a protože do něj nepatří hodnota 0 zamítáme nulovou hypotézu (všimněte si, že v obou případech rozhodlo porovnání 1,65 < 2,08). Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooo»oooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty ) Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme nulovou hypotézu [i = 0 oproti pravostranné hypotéze [i > 0 (tj. p-hodnotu). Má-li X rozdělení N(0,1), pak p = P(X> 2,08) = 1 - 0,981 = 0,019. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooo»oooooo Jednoduchý příklad - pokr. Řešení (pomocí aproximace a p-hodnoty ) Určeme nejmenší pravděpodobnost p, při níž stále ještě zamítáme nulovou hypotézu [i = 0 oproti pravostranné hypotéze [i > 0 (tj. p-hodnotu). Má-li X rozdělení N(0,1), pak p = P(X> 2,08) = 1 - 0,981 = 0,019. Protože je a = 0,05 > 0,019, opět hypotézu zamítáme. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooooo«ooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu - jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooooo«ooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu - jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) se známým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i ^ c se nazývá z-test. Náhodný výběr z normálního rozdělen ooooooooooo Bodové a intervalové odhady OOOOOOOOOOO Testování hypotéz oooooooo«ooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu - jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) se známým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i ^ c se nazývá z-test. jednovýběrový t-test Nechť je X\,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) s neznámým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i^cse nazývá jednovýběrový t-test. Náhodný výběr z normálního rozdělen OOOOOOOOOOO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz oooooooo«ooooo Základní testy hypotéz o parametrech normálního rozdělení Podobně jako statistiky při konstrukci intervalů spolehlivosti jsou i základní testy standardizované (není divu - jak jsme viděli, jde o úzce propojené pojmy). z-test Nechť je X\,..., X„ náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) se známým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i ^ c se nazývá z-test. jednovýběrový t-test Nechť je Xl,..., Xn náhodný výběr z rozdělení A/(/x, a2) s neznámým a2 a n > 2. Test Ho : /x = c proti alternativní hypotéze /i^cse nazývá jednovýběrový t-test. dvouvýběrový t-test Nechť je Xn,..., Xm\ náhodný výběr z rozdělení A/(/xi, 2 a neznámým a2. Test Hq : [i\ — [i2 = c proti H\ : /li — fj.2 7^ c se nazývá dvouvýběrový t-test. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooooo»oooo Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení F-test Nechť je Xn,..., Xmi náhodný výběr z rozdělení A/(/xi, u2) a X12,..., X„2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení N(/j,2, cr2) s m, n > 2. Test Ho : (j\Jg\ = 1 proti H\ : (j\Jg\ 7^ 1 se nazývá F-test. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooooo»oooo Základní testy hypotéz o parametrech normálním rozdělení F-test Nechť je Xn,..., Xmi náhodný výběr z rozdělení A/(/xi, u2) a X12,..., X„2 na něm nezávislý náhodný výběr z rozdělení N(/j,2, cr2) s m, n > 2. Test Hq : a\la\ = \ proti H\ : a\/a2 ^ 1 se. nazývá F-test. test rozptylu Nechť je Xi,..., Xn náhodný výběr z A/(/x, 2. Test Ho : a2 = c proti H\ : a2 ^ c se. nazývá test o rozptylu. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooo«ooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{jj/yfn)\ > Ul_a/2 Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooo«ooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test |(M - c)/{jj/yfn)\ > Ul_a/2 jednovýběrový t-test \(M — c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n — 1) Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooo«ooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test \(M - c)/{a/y/ň)\ > Ul_a/2 jednovýběrový t-test \(M — c)/(S/yfň)\ > ti_a/2{n — 1) dvouvýběrový t-test Mi - M2 - c > ti-a/2(m + n - 2) Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooo«ooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test \(M - c)/{a/y/ň)\ > Ul_a/2 jednovýběrový t-test \(M — c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n — 1) dvouvýběrový t-test Mi - M2 - c m n > ti-a/2(m + n - 2) F-test S2/S2 < Fa/2{m — 1, n — 1) nebo Sl/Sj > Fx_a/2{m - 1, n - 1) Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo oooooooooo«ooo Kritický obor testů normálního rozdělení z-test \(M - c)/{a/y/ň)\ > Ul_a/2 jednovýběrový t-test \(M — c)/{S/yfň)\ > ti_a/2{n — 1) dvouvýběrový t-test Mi - M2 - c m n > ti-a/2(m + n - 2) F-test S2/S2 < Fa/2{m — 1, n — 1) nebo S2/S2 > Fx_a/2{m - 1, n - 1) test rozptylu (n — l)S2/c < X2/2(n ~~ 1) nebo (n-l)S2/c>xÍ_a/2(n-l) Náhodný výběr z normálního rozdělení ooooooooooo Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz ooooooooooo»oo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103 v roce 2008, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujeme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ — [i2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ^ /J2- Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo»oo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103 v roce 2008, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujeme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ — /x2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ^ /x2. Řešení Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test. Vypočteme základní statistiky: Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalové odhady Testování hypotéz ooooooooooo ooooooooooo ooooooooooo»oo Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test Příklad Uvažme bodové výsledky studentů z 2. termínu zkoušky předmětu MB103 v roce 2008, přičemž výsledky testů skupiny A a skupiny B považujeme za dva nezávislé výběry z normálního rozdělení. Úkolem je zjistit, jestli výsledky některé ze skupin byly statisticky významně horší. Testujme nulovou hypotézu Ho : [i\ — [i2 = 0 oproti alternativní hypotéze H\ : ^ /J2- Řešení Nejprve pomocí F-testu otestujeme hypotézu o stejných rozptylech, v případě úspěchu poté použijeme dvouvýběrový t-test. Vypočteme základní statistiky: rozsah výb. průměr výb. rozptyl A 65 10,48 22,49 B 64 7,21 29,75 Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo oooooooooooo«o Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme S2/S| = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo oooooooooooo«o Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme S^/Sf = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti (f--TV f fSVf u) " (°'46; \Fi-a/2{m-l,n-l) Fa/2{m - 1, n - 1) J v němž leží testovaný podíl rozptylů 1. Náhodný výběr z normálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo oooooooooooo«o Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Dostáváme S2/S| = 0,76 a protože F(0,025; 64; 63) = 0,61, nezamítáme hypotézu o rovnosti rozptylů. O tomtéž se přesvědčíme i vypočtením intervalu spolehlivosti (f--TV f fSVf u) " (°'46; \Fi-a/2{m-l,n-l) Fa/2{m - 1, n - 1) J v němž leží testovaný podíl rozptylů 1. Budeme tedy dále s výběry pracovat s předpokladem, že mají stejný rozptyl a použijeme dvouvýběrový t-test. Náhodný výběr z nc rmálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo 0000000000000» Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů S2 = (m-l)S2 + (n-l)S2 ^ 5 ll2 m + n dále Mi - M2 = 3,27. 10 0,0- Náhodný výběr z nc rmálního rozdělení Bodové a intervalo\ é odhady Testování hypotéz OOOOOOOOOOO ooooooooooo 0000000000000» Řešení (Komplexní příklad na dvouvýběrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů c2_(m-l)S2 + (n-l)SÍ m + n 5,11 dále Mi — M2 = 3,27. V tabulkách najdeme hodnotu ío,975(65 + 64 - 2) = 1,98, a protože T Mi - M2 65 ^ 64 3,64, docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě obou rozdělení (tj. hypotézu [i\ = /x2) zamítnout (neboť 3,64 > 1,98). 19 0,0- Náhodný výběr z normálního rozdělen OOOOOOOOOOO Bodové a intervalové odhady ooooooooooo Testování hypotéz 0000000000000» Řešení (Komplexní příklad na dvouvýbšrový t-test (pokr.)) Vypočteme vážený průměr výběrových rozptylů s2 = (m-l)S2 + (n-l)S2 ^ 5 n2 * m + n — 2 ' ' dále Mi — M2 = 3,27. V tabulkách najdeme hodnotu ío,975(65 + 64 - 2) = 1,98, a protože T M1 - M2 S*\/^ + 65 ^ 64 3,64, docházíme k závěru, že můžeme hypotézu o stejné střední hodnotě obou rozdělení (tj. hypotézu [i\ = fj,2) zamítnout (neboť 3,64 > 1,98).Toto opět ověříme výpočtem intervalu spolehlivosti, který má střed v M\ — M2 a velikost rovnou dvojnásobku + ^ri-a/2("7 + n — 2) 1,78, proto je interval spolehlivosti (1,49; 5,05).