Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooooooo Matematika IV - 4. přednáška Součiny a rozklady grup Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 3. 2011 Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo ooooo oooooooooooo Obsah přednášky Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo ooooo oooooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. » Předmětové záložky v IS MU Přímý součin grup OOOOO Doporučené zdroje Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. » Předmětové záložky v IS MU • R. B. Ash, Abstract algebra, http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/Algebra.html. • Jiří Rosický, Algebra, PřF MU, 2002. • Peter J. Cameron. Introduction to algebra, Oxford University Press, 2001, 295 s. (Dostupné v knihovně PřF). Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo ooooo oooooooooooo Plán přednášky Q Přímý součin grup O Rozklady podle p Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy •oooo ooooo oooooooooooo (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x H, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x) * (b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy •oooo ooooo oooooooooooo (Přímý) součin grup Definice Pro každé dvě grupy (G, •), (H,o) definujeme součin grup (G x H, *) takto: Jako množina je G x H skutečně (kartézský) součin, na kterém definujeme grupové násobení po složkách, tj. (a,x) * (b,y) = (a- b,xoy). Poznámka Rozmyslete si, že jde o grupu a že součin komutativních grup je zase komutativní! Zobrazení po : G x H 3 (a, x) h> a e G, pn : G x H 3 (a, x) h> x g H jsou surjektivní homomorfismy (tzv. projekce) s jádry kerpc = {(ec,x); x £ H} kerpH = {(a, en); a e G}. Přímý součin grup o«ooo Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Příklad (7) Grupa je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. Přímý součin grup o«ooo Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Příklad (7) Grupa je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [iW([i]2, [2]3) [2W([0]2,[1]3), [3W([1]2, [0]3) [4]6^([0]2,[2]3), [5W([1]2, [1]3) Přímý součin grup o«ooo Rozklady podle podgrup ooooo Normální podgrupy oooooooooooo Příklad (7) Grupa Z§ je izomorfní součinu Z2 x Z3. Toto lze nahlédnout buď geometrickou úvahou (prostřednictvím grup symetrií v rovině) nebo přímou konstrukcí izomorfismu. V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto: [0W([0]2,[0]3), [l]e m> ([1]2, [2]3) [2]6^([0]2,[1]3), [3]6 m> ([1]2, [0]3) [4]6^([0]2,[2]3), [5]6 ^ ([1]2> [1]3) (8) Dihedrální grupa Dg (tj. grupa symetrií čtverce, (r, s\r = l,s2 = l,srs = r-1} ) není izomorfní součinu Z2 x Z4, přestože mají stejný počet prvků (Dg není komutativní). □ s - ■ * ■O O. o- Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oo«oo ooooo oooooooooooo Čínská zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Jsou-li k, m nesoudělná, pak (Zkm,+)^(Zk,+)x(Zm,+). Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oo«oo ooooo oooooooooooo Čínská zbytková věta (Chinese remainder theorem) Předchozí příklad je speciálním případem tzv. Čínské zbytkové věty. Věta * Jsou-li k, m nesoudělná, pak (Zkm,+)^(Zk,+)x(Zm,+). a obecněji Věta Jsou-li m\, ítt2, • • • , m k po dvou nesoudělná, pak (ZUm., +) (Zmi, +) x (Zm2, +) x • • • x (Zmk, +). Tento izomorfismus se často s výhodou využívá k reprezentaci velkých čísel při distribuovaných výpočtech pracujících s dělitelností, kdy na každém počítači stačí pracovat s jedním (relativně malým) modulem. Přímý součin grup ooo«o Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooooooo Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m g Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooo«o ooooo oooooooooooo Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m g Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) g (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a g Zm. To je ale totéž jako najít a g Z takové, že a = ai (mod mi),..., a = a k (mod m^), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooo«o ooooo oooooooooooo Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m g Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi, • • • , [3k]mk) e (Zmi, +) X • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a g Zm. To je ale totéž jako najít a g Z takové, že a = ai (mod mi),..., a = a k (mod m^), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < i < k položme n; = m/m; a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u; a v, tak, že u,m\ + Vjtij = 1, tj. Vjtij = 1 (mod mi). 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooo«o ooooo oooooooooooo Důkaz CRT: Sestrojíme požadovaný izomorfismus f . Označme m = Y[; m, a pro libovolné [a]m g Zm položme f([a]m) = ([a]mi,..., [a]mJ. Snadno se ověří, že jde o injektivní homomorfismus (co je jádrem?). Zbývá dokázat, že jde i o surjekci, tedy, že libovolný prvek ([ai]mi,..., [ak]mk) g (Zmi, +) x • • • x (Zmk, +) je obrazem nějakého a g Zm. To je ale totéž jako najít a g Z takové, že a = ai (mod m\),..., a = ak (mod mk), což se udělá malým (ale šikovným) trikem:1 Pro libovolné 1 < / < k položme n; = m/m; a protože (m,-, n,-) = 1 (zde jsme využili nesoudělnost po dvou), najdeme podle Bezoutovy věty u\ a v, tak, že u,m\ + Vjtij = 1, tj. Vjtij = 1 (mod mi). Hledané a pak najdeme jako a = Y,iaivini- 1A nešlo by to ještě šikovněji? Pokud nám stačí existence izomorfismu, tak stačí využít toho, že injektivní zobrazení mezi množinami o stejném počtu prvků je automaticky bijekcí. Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooo» ooooo oooooooooooo Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. 2Co znamenají ty mocniny? Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooo» OOOOO oooooooooooo Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. 2Co znamenají ty mocniny? Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooo» ooooo oooooooooooo Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g G G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a e G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). 2Co znamenají ty mocniny? Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooo» ooooo oooooooooooo Cyklické grupy Pro libovolný prvek a v grupě G existuje minimální podgrupa {e = a°,a = a1, a2, a3,... }, která jej obsahuje2. Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e. Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G je cyklická, je-li celé G generované nějakým svým prvkem a výše uvedeným způsobem. Zjistit pro konkrétní cyklickou grupu generátor je obecně obtížný problém. I při znalosti generátoru g g G je ale obecně velkým problémem zjistit pro dané a g G číslo k, pro které gk = a (tzv. problém diskrétního logaritmu je základem mnoha kryptografických protokolů - EIGamal, Diffie-Hellman, DSA). Z definice přímo vyplývá, že každá cyklická grupa je izomorfní buď grupě celých čísel Z (pokud je nekonečná) nebo některé grupě zbytkových tříd (když je konečná). 2Co znamenají ty mocniny? Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo ooooo oooooooooooo Plán přednášky Q Rozklady podle podgrup Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooooooooooo Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h i> jestliže b~x ■ a e H, tj. a-1 • b e H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooooooooooo Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h i> jestliže b~x ■ a jestliže b~x ■ a g H, tj. a-1 • b g H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a ■ b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e g H, • je-li b~1a = heH, potom a"1 • b = (ír1 • a)"1 = h"1 g H, Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup •oooo Rozklady podle podgrup Normální podgrupy oooooooooooo Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G definujeme relaci a ~h i> jestliže b~x ■ a g H, tj. a-1 • b g H (tyto dvě podmínky jsou zřejmě ekvivalentní, není to ale totéž jako podmínky a • b~x nebo b ■ a-1). Je to relace ekvivalence: • a-1 • a = e g H, • je-li b~1a = heH, potom a"1 • b = (ír1 • a)"1 = h"1 g H, • je-li c-1 • b g /-/ a zároveň je b-1 • a g /-/, potom c"1 ■ a = c"1 • b • b"1 • a g H. Přímý součin j šrup Rozklady pc udle pot J grup Normální podgrupy OOOOO o«ooo oooooooooooo Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup o«ooo Normální podgrupy oooooooooooo Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a e a ■ H) a skutečně platí, že a-H = {ah; h £ H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup o«ooo Normální podgrupy oooooooooooo Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a g a ■ H) a skutečně platí, že a-H = {ah; h £ H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup o«ooo Normální podgrupy oooooooooooo Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků. Třídu příslušející prvku a značíme a ■ H (zřejmě a g a ■ H) a skutečně platí, že a-H = {ah; h g H}, neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto způsobem vyjádřit. Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme G/H. Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H ■ a. Příslušná ekvivalence je: a ~ b, jestliže a ■ b~x g H. Proto H\G = {H ■ a; a g G}. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup oo«oo Normální podgrupy oooooooooooo Věta Pro třídy rozkladu grupy platí: Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup oo«oo Normální podgrupy oooooooooooo Věta Pro třídy rozkladu grupy platí: O Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H c G splývají právě tehdy když pro každé a g G, h g H platí a ■ h ■ a-1 g H. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup oo«oo Normální podgrupy oooooooooooo Věta Pro třídy rozkladu grupy platí: O Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H c G splývají právě tehdy když pro každé a g G, h g H platí a ■ h ■ a-1 g H. O Všechny třídy (levé i pravé) mají shodnou mohutnost jako podgrupa H. O Zobrazení a ■ H i—> H ■ a-1 zadává bijekci mezi levými a pravými třídami rozkladu G podle H. Poznámka Rozmyslete si, proč je v posledním tvrzení a a nikoliv a. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je rádu n), H jej í podgrupa. Potom □ S - ■ M Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Přímý souči grup Rozklady podle sodgrup Normální podgrupy OOOOO ooo«o oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. O Je-li a g G prvek řádu k, pak k dělí n. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. O Je-li a g G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a g G je a" = e. □ s - ■ ■O O. o- Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. O Je-li a g G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a g G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy G prvočíslo p , pak je G izomorfní cyklické grupě Zp. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup ooo«o Normální podgrupy oooooooooooo Důsledek Necht G je konečná grupa s n prvky (tj. G je řádu n), H její podgrupa. Potom O Mohutnost n = \G\ je součinem mohutnosti H a mohutnosti G/H, tj. \G\ = \G/H\ ■ \H\ Q Přirozené číslo \H\ je dělitelem čísla n. O Je-li a g G prvek řádu k, pak k dělí n. Q pro každé a g G je a" = e. Q je-li mohutnost grupy G prvočíslo p , pak je G izomorfní cyklické grupě Zp. Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá Fermatova věta (častěji ovšem ve speciálním případě grupy (Z*, •)) Přímý souči grup Rozklady podle sodgrup Normální podgrupy OOOOO oooo» oooooooooooo Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a € Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup oooo» Normální podgrupy oooooooooooo Snadnými důsledky předchozího jsou následující věty: Věta (Malá Fermatova) Pro libovolné prvočíslo p a číslo a e Z nedělitelné p platí ap_1 = 1 (mod p). '-' Věta (Eulerova) Pro libovolné m g N a každé a e Z splňující (a, m) = 1 platí a^m) = 1 (mod m). Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy ooooo ooooo oooooooooooo Plán přednášky O Rozklady podle p Q Normální podgrupy Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO «00000000000 Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a e H pro všechna a e G, h g /-/, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO «00000000000 Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 e H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy, když pro každé a g G p/aŕí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO «00000000000 Normální podgrupy Podgrupy H, pro které platí, že a ■ h ■ a-1 e H pro všechna a e G, h G H, se nazývají normální podgrupy (značíme H <\ G) . Snadno se nahlédne platnost následujícího Tvrzení Podgrupa H je normální právě tehdy, když pro každé a e G p/aŕí a ■ H = H ■ a (jinými slovy: levý rozklad G podle podgrupy H je shodný s pravým rozkladem). Důsledek • 1 < G, G < G • V komutativní grupě je každá podgrupa normální. 9 Je-li H podgrupa konečné grupy G, kde \ H\ normální. \G\/2, pak je H Přímý součin šrup Rozklady p idle po grup Normální podgrupy OOOOO OOOOO o»oooooooooo Příklad • Dihedrální grupa Din má vždy normální podgrupu izomorfní Z„. Levý (i pravý) rozklad podle této podgrupy je dvojprvková množina {Z„,s • Z„}. • (f2) = {'d, r2} je normální podgrupa v Dg. Levý rozklad podle této podgrupy je čtyřprvková množina {{id,r2},{r,r3},{s,sr2},{sr,sr3}}. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oo«ooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem (a • H) ■ (b ■ H) = (a ■ b) ■ H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b- h')- H = ((a • b) • (b'1 hb)h')H. Věta Je-li H normálnípodgrupou G, tvoří rozklad G/H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/H komutativní. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oo«ooooooooo Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H vztahem (a • H) ■ (b ■ H) = (a ■ b) ■ H. Skutečně, volbou jiných reprezentantů a ■ h, b ■ h' dostaneme opět stejný výsledek (a • h- b- h')- H = ((a • b) • (b'1 hb)h')H. Věta Je-li H normálnípodgrupou G, tvoří rozklad G/H s násobením definovaným prostřednictvím reprezentantů grupu. Je-li G komutativní, je i G/ H komutativní. Příklad ríL = {na; a g Z} c Z zadává pro libovolné neN podgrupu Z a její faktorgrupou (až na izomorfismus) je aditivní grupa zbytkových tříd Z„ (přitom pro n = 1 jde o triviální grupu) . Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO OOO0OOOOOOOO Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. 3255 stran "tvrdé" matematiky Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO OOO0OOOOOOOO Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). 3255 stran "tvrdé" matematiky Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO OOO0OOOOOOOO Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. 3255 stran "tvrdé" matematiky Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO OOO0OOOOOOOO Jednoduché (prosté) grupy Naproti tomu existují i grupy, které nemají žádné vlastní normální podgrupy, takové grupy se nazývají jednoduché (simple). Znalost těchto grup je velmi důležitá, protože z nich je v jistém smyslu složena každá konečná grupa. Mezi konečnými komutativními grupami je situace skutečně jednoduchá - prostými jsou pouze grupy Zp pro prvočíselné p (podobně i každá prostá grupa lichého řádu je nutně izomorfní Zp - důkaz tohoto faktu je ale značně netriviální3). V nekomutativním případě je situace výrazně složitější - až v roce 1982 (samozřejmě s pomocí počítačů) se podařilo završit úsilí o úplnou klasifikaci jednoduchých grup. Například alternující grupa An (tj. podgrupa sudých permutací grupy Z„) je jednoduchá pro n > 5 , z čehož (s pomocí tzv. Galoisovy teorie) plyne nemožnost existence obecných vzorců pro kořeny polynomů stupně 5 a vyššího. 3255 stran "tvrdé" matematiky Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooo«ooooooo Vztah normálních podgrup a homomorfismů Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G ->• G/H, a h> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooo«ooooooo Vztah normálních podgrup a homomorfismů Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak, jestliže je podgrupa H c G normální, pak zobrazení (projekce na faktorgrupu) p : G ->• G/H, a h> a ■ H je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to musí být homomorfismus, který je zjevně na. Je tedy vidět, že normální podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů. Duální pojmy • Homomorfismus f => normální podgrupa ker f • Normální podgrupa H => homomorfismus G —> G/H Přímý součin grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy OOOOO ooooo ooooo»oooooo Věty o izomorfismu Věta (první, základní) Pro libovolný homomorfismus grup f : G K je dobře definován také homomorfismus f : G/kerf -»■ K, f(a ■ H) = f(a), který je injektivní. Zejména dostáváme G/ ker f = f{G). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooo«ooooo Předchozí věta je nejčastěji používanou větou z vět o izomorfismech. Používá se zejména pro určení struktury faktorgrupy (resp. často spise pro potvrzení, tj. důkaz, intuitivně zřejmé struktury). Příklad Čemu je izomorfní faktrogrupa regulárních matic řádu n nad R podle podgrupy matic determinantu 1 (tj., čemu se rovná GLn(M)/SLn(M))? Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy ooooooo«oooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy ooooooo«oooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, že je to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R), •) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy ooooooo«oooo Řešení Postupujme nejprve intuitivně (především je třeba si uvědomit, že zmíněná podgrupa je normální!): dělíme regulární matice řádu n matice do tříd podle toho, jaký dávají (nenulový) determinant. Zdá se tedy, že zmíněnou faktorgrupou by mohla být grupa nenulových reálných čísel Rx s operací násobení (díky Cauchyově větě o determinantu součinu matic). To, že je to skutečně ono, dokážeme pomocí konstrukce surjektivního homomorfismu z (GL„(R), •) do (Kx, •), jehož jádrem bude právě SL„(R). Nyní už by mělo být vidět, že přirozenou volbou pro takový homomorfismus je A <—> det(A). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooo«ooo Příklad Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel s operací skládání zobrazení, tj. G = {f: R ->■ R|f(x) = ax + b,a g Rx, b g M}. Určete, která z podgrup T = {f : R —)• R|f(x) = ax, a g Mx} S = {f : R —)• R|f(x) =x + b,beR} je normální a v případě normality určete strukturu příslušné faktorgrupy. Řešení Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooo«ooo Příklad Nechť (G,o) je grupa nekonstantních lineárních zobrazení reálných čísel s operací skládání zobrazení, tj. G = {f: R ->■ R|f(x) = ax + b,a g Rx, b g M}. Určete, která z podgrup T = {f : R —>• R|f(x) = ax, a g Mx} S = {f : R —)• R|f(x) =x + b,beR} je normální a v případě normality určete strukturu příslušné faktorgrupy. Řešení Normální je S, hledaný homomorfismus na faktorgrupu (Rx,) pak f h> a (pro f (x) = ax + b). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy ooooooooo«oo Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a g A, b g B}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu A/^(6) = {g g G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; 6 je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy OOOOOOOOOÄOO Další věty o izomorfismu Součinem podgrup A, B < G rozumíme podgrupu AB = {ab\a g A, b g B}. Normalizátorem podgrupy B v G rozumíme množinu A/^(6) = {g g G; gB = Bg} (tj. množinu těch prvků G, pro něž splývají příslušné levé a pravé třídy rozkladu; 6 je tedy normální podgrupou G, právě když Nc(B) = G). Věta (druhá, diamantová) Necht A, B < G jsou podgrupy splňující A < Nc(B). Pak (A n B) < A a platí AB/B = >4/(>4n B). Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy oooooooooo»o Věta (třetí) Jsou-li A, B <\ G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí {G/A)/{B/A) - G/B. Přímý součin grup Rozklady podle sodgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO oooooooooo»o Věta (třetí) Jsou-li A, B <\ G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. Přímý souči grup Rozklady podle sodgrup Normální podgrupy OOOOO OOOOO oooooooooo»o Věta (třetí) Jsou-li A, B <\ G normální podgrupy splňující A < B, pak B/A < G/A a platí (G/A)/(B/A) - G/B. Věta (čtvrtá, svazový izomorfismus) Nechi je N <\ G. Pak existuje bijekce mezi množinou podgrup A obsahujících N a množinou podgrup A/N faktorgrupy G/N. Navíc normálním podgrupám odpovídají normální podgrupy. Příklad Určete svaz podgrup Dg grupy symetrií čtverce a odvodte z něj svaz podgrup Dg/ < r2 >. Přímý součin grup OOOOO Rozklady podle podgrup OOOOO Normální podgrupy 00000000000« Příklad Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C* —> C* definovaný na nenulových komplexních číslech vztahem z^z's přirozeným k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina /c-tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Z^. První věta o izomorfismu tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus f : C*/Zk -XC*. Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s mohutnostmi tak přehledné jako u konečných grup