Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Matematika IV - 9. přednáška Náhodné veličiny - základní vlastnosti a typy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 20. 4. 2011 Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veliči ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Obsah přednášky Q Náhodné veličiny O Typy diskrétních náhodných veličin Q Typy spojitých náhodných veličin Q Funkce náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. • Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. • Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veliči ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q Náhodné veličiny Q Typy spojitých náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin •oooooo oooooooo oooooo ooooooooo Na prostoru R uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /(-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rfc. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin •oooooo oooooooo oooooo ooooooooo Na prostoru R uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /(-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rfc. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin •oooooo oooooooo OOOOOO ooooooooo Na prostoru R uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /(-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rfc. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Definice Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q,A, P) je taková funkce X : Q —> R, že vzor X_1(6) patří do A pro každou Borelovskou množinu B G B na R (tj. X : Q —> R je tzv. borelovsky měřitelná). Množinová funkce PX(B) = P(X-\B)) se nazýva rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin •oooooo oooooooo oooooo ooooooooo Na prostoru R uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /(-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na Rfc. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Definice Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q,A, P) je taková funkce X : Q —> R, že vzor X_1(B) patří do A pro každou Borelovskou množinu B G B na R (tj. X : Q —> R je tzv. borelovsky měřitelná). Množinová funkce PX(B) = P(X-\B)) se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Náhodný vektor (Xi,... ,Xk) na (Q, A, P) je /c-tice náhodných veličin. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin o«ooooo oooooooo oooooo ooooooooo Definice náhodné veličiny zajišťuje, že pro všechny —oo < a < b < oo existuje pravděpodobnost P(a < X < b), kde používame stručné značení projev A = (w G Q; a < X(w) < b)). Definice Distribuční funkcí (distribution, cumulative density function) náhodné veličiny X je funkce F : R —> R definovaná pro všechny x G R vztahem F(x) = P(X < x). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin o«ooooo oooooooo oooooo ooooooooo Definice náhodné veličiny zajišťuje, že pro všechny —oo < a < b < oo existuje pravděpodobnost P(a < X < b), kde používame stručné značení projev A = (w G Q; a < X(w) < b)). Definice Distribuční funkcí (distribution, cumulative density function) náhodné veličiny X je funkce F : R —> R definovaná pro všechny x G R vztahem F(x) = P(X < x). Distribuční funkcí náhodného vektoru (Xi,..., X^) je funkce F : M.k —> R definovaná pro všechny (xi,... ,Xk) G ~Rk vztahem F (x) = P(Xi < xi A • • • A Xk < xk). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin oo«oooo oooooooo oooooo ooooooooo Diskrétni náhodné veličiny Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostom (Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,x2, ...,x„g1 Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že f(x) Evidentně £í f (x,-) = x j) pro x = x j jinak. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin oo«oooo oooooooo oooooo ooooooooo Diskrétni náhodné veličiny Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostom (Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,x2, ...,x„g1 Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že f(x) x j) pro x = x j jinak. Evidentně = 1- Takové náhodné veličině se říká diskrétní Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin oo«oooo oooooooo oooooo ooooooooo Diskrétni náhodné veličiny Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostom {Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,x2, ...,x„g1 Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že f(x) x j) pro x = x j jinak. Evidentně = 1- Takové náhodné veličině se říká diskrétní. Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin oo«oooo oooooooo oooooo ooooooooo Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostom {Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,x2, ...,x„g1 Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že Evidentně Y," f(xi) = 1- Takové náhodné veličině se říká diskrétní. Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní. Obdobně lze definici pravděpodobnostní funkce rozšířit na veličiny se spočetně mnoha hodnotami (pracujeme pak s nekonečnými řadami) x,) pro x = X; jinak. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooo«ooo oooooooo oooooo ooooooooo Spojité náhodné veličiny I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme postupovat podobně s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x) pravděpodobnosti pro X si představíme jako P(x < X < x + dx) = f{x)dx. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooo«ooo oooooooo oooooo ooooooooo Spojité náhodné veličiny I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme postupovat podobně s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x) pravděpodobnosti pro X si představíme jako P(x < X < x + dx) = f{x)dx. To znamená, že chceme pro — oo < a < b < oo P(a < X < b) = í f{x)dx. (*) Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooo«ooo oooooooo oooooo ooooooooo Spojité náhodné veličiny I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme postupovat podobně s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x) pravděpodobnosti pro X si představíme jako P(x < X < x + dx) = f{x)dx. To znamená, že chceme pro — oo < a < b < oo P{a < X < b) = í f(x)dx. (*) Definice Náhodná veličina X, pro kterou existuje její hustota pravděpodobnosti splňující (*), se nazývá spojitá. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veliči oooo»oo oooooooo oooooo ooooooooo Vlastnosti distribuční funkce Věta Necht X je náhodná veličina, F (x) je její distribuční funkce. O F je neklesající. O F je zprava spojitá, limx^_oo F (x) = 0 a limx^oo F(x) = 1. O Je-li X diskrétni s hodnotami xi,..., xn, pak je F (x) po částech konstantní, F(x) = J2x xn. Q Je-li X spojitá, pak je F (x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě X, tj. platí F'(x) = f (x). Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin 000000» oooooooo oooooo ooooooooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin 000000» oooooooo oooooo ooooooooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin): P{X = xj A Y = yi) x = xj A y = y; O jinak, u diskrétních a pro všechny a, b G R pro spojité: i-a i-b P(-oo < X < b,-oo < Y < b) = Í í f{x, y)dxdy. J—oo J — oo Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin 000000» oooooooo oooooo ooooooooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin): P{X = xj A Y = yi) x = xj A y = y; O jinak, u diskrétních a pro všechny a, b G R pro spojité: P(-oo < X < b,-oo < Y < b) = / / f(x, y)dxdy. J—OD J — OO Marginální rozložení pro jednu z proměnných obdržíme tak, že přes ostatní posčítáme nebo zintegrujeme. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin 000000» oooooooo oooooo ooooooooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin): P(X = Xj A Y = y,) x =Xj A y = y, O jinak, u diskrétních a pro všechny a, b G R pro spojité: P(-oo < X < b,-oo < Y < b) = / / f(x, y)dxdy. J—OD J — OO Marginální rozložení pro jednu z proměnných obdržíme tak, že přes ostatní posčítáme nebo zintegrujeme. Náhodné veličiny X a Y jsou stochasticky nezávislé, jestliže je jejich simultánní distribuční funkce F{x,y) = G{x)H{y) kde F a G jsou distribuční funkce veličin X a, X* 1 [o jinak Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO «0000000 oooooo ooooooooo Rovnoměrné (diskrétní) rozdělení popisuje náhodnou veličinu, která může nabývat konečně mnoha hodnot se stejnou pravděpodobností. Alternativní rozdělení popisuje pokus se dvěma možnými výsledky, často nazývanýni zdar, resp. nezdar. Náhodná veličina X ~ A{p) nabývá hodnoty 1 {zdar) s pravděpodobností p. Distribuční a pravděpodobnostní funkce jsou tedy tvaru: Fx(t) = {l-p O < t < 1 fx(t) Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy fx(t) ""ř (£{0,1,..,/)} jinak Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo o«oooooo oooooo ooooooooo Binomické rozdělení Na obrázku jsou pravděpodobnostní funkce pro Bi(50,0.2), Bi(50,0.5) a Bi(50, 0.9). Rozdělení pravděpodobnosti dobře odpovídá intuici, že nejvíce výsledků bude blízko u hodnoty np\ Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oo«ooooo oooooo ooooooooo Binomické rozdělení S binomickým rozdělením se potkáváme velice často v praktických úlohách. Jednou z nich je popis náhodné veličiny, která popisuje počet X předmětů v jedné zvolené přihrádce z n možných, do nichž jsme náhodně rozdělili r předmětů. Umístění kteréhokoliv předmětu do pevně zvolené přihrádky má pravděpodobnost 1/n (každá z nich je stejně pravděpodobná). Zjevně tedy bude pro jakýkoliv počet k = 0,..., r jde proto o rozložení X typu Bi(r, 1/n). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo ooo»oooo oooooo ooooooooo Binomické —>■ Poissonovo rozdělení Jestliže nám bude vzrůstat počet přihrádek n společně s počtem předmětů rn tak, že v průměru nám na každou přihrádku bude připadat (přibližně) stejný počet prvků A, můžeme dobře vyjádřit chování našeho rozdělení veličin Xn při limitním přechodu n —> oo. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo ooo»oooo oooooo ooooooooo Binomické —>■ Poissonovo rozdělení Jestliže nám bude vzrůstat počet přihrádek n společně s počtem předmětů rn tak, že v průměru nám na každou přihrádku bude připadat (přibližně) stejný počet prvků A, můžeme dobře vyjádřit chování našeho rozdělení veličin Xn při limitním přechodu n —> oo. Takovéto chování popisuje např. fyzikální soustavy s velikým počtem molekul plynu. Standardní úpravy vedou při lim^oo rn/n = X k výsledku: lim P{Xn = k)= lim n—>oo n—>oo = lim (n — l)r"~k k) nr" rn{rn - 1)... (r„ - k + 1) 1 / 1 n—>oo (n-l)k k\ V n = — hm 1 + —= tt e k\ n^-oo y rn J k\ protože obecně funkce (1 + xjn)n konvergují stejnoměrně k funkci ex na každém omezeném intervalu v R. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooo«ooo oooooo ooooooooo Binomické —>■ Poissonovo rozdělení F-.-1-.-■-.-1-■-1-■-=i 0 2 4 í 8 10 Tečky znázorňují Poissonovo rozdělení, červeně Bi(10, ^), modře Bi(20, |) a zeleně Bi(1000, ^q) Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo ooooo«oo oooooo ooooooooo Poissonovo rozdělení Po(A) Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s pravděpodobnostní funkcí fx(k) Jak jsme odvodili výše, toto diskrétní rozdělení (rozložené do nekonečně mnoha bodů) dobře aproximuje binomická rozdělení Bi(n, A) pro konstantní A > 0 a veliká n. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo ooooo«oo oooooo ooooooooo Poissonovo rozdělení Po(A) Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s pravděpodobnostní funkcí fx(k) ■e"A k g N jinak. Jak jsme odvodili výše, toto diskrétní rozdělení (rozložené do nekonečně mnoha bodů) dobře aproximuje binomická rozdělení Bi(n, A) pro konstantní A > 0 a veliká n. Snadno ověříme k=0 k k Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooo»o oooooo ooooooooo Poissonovo rozdělení Dobře modeluje výskyt jevů: • s očekávanou konstantní hustotou na jednotku objemu - nap bakterie ve vzorku (popis očekávaného výskytu k bakterií při rozdělení vzorku na n stejných částí) • rozdělení událostí, které se vyskytují náhodně v čase a bez závislosti na předchozí historii - v praxi jsou takové procesy často spojeny s poruchovostí strujů a zařízení Příklad • počet branek ve fotbalovém zápase (za 90 minut) • počet telefonních hovorů za minutu na call centru Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO 0000000« oooooo ooooooooo Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusů předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p . Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo OOOOOOO* OOOOOO ooooooooo Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusů předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p . «0 = í'1-'>'■' p [0 ji Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusů předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p . Hypergeometrické rozdělení. Mějme N předmětů, z nichž právě M má danou vlastnost. Z těchto N předmětů náhodně vybereme n předmětů bez vracení. Náhodná veličina X ~ Hg(/V, M, n) udává počet vybraných prvků s danou vlastností. Zřejmě tato náhodná velišina může nabývat pouze celočíselných hodnot z intervalu [max{0, M — N + n}, min{n, M}]. Pro t z tohoto intervalu pak fx(t) □ rgi - ■ * -r)c^(y Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veliči ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q Typy spojitých náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO «00000 OOOOOOOOO Rovnoměrné spojité rozdělení Rs(a, b) je nejjednoduším příkladem spojitého rozdělení. Ilustruje, že při jednoduše formulovaném požadavku na chování rozdělení nám nezbude moc prostoru pro jeho definici. Nyní chceme, aby pravděpodobnost každé hodnoty v předem daném intervalu (a, b) CR byla stejná, tj. hustota fx našeho rozdělení náhodné veličiny X má být konstantní. Pak ovšem jsou pro libovolná reálná čísla — oo < a < b < oo jen jediné možné hodnoty ÍO t < a (O t b, (l t>b. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo o«oooo ooooooooo Exponenciální rozdělení Ex(A) je dalším rozdělením, které je snadno určeno požadovanými vlastnostmi náhodné veličiny. Předpokládejme, že sledujeme náhodný jev, jehož výskyty v nepřekrývajících se časových intervalech jsou nezávislé. Je-li tedy P(t) pravděpodobnost, že jev nenastane během intervalu délky ř, pak nutně P(t + s) = P(t)P(s) pro všechna ŕ, s > 0. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo o«oooo ooooooooo Exponenciální rozdělení Ex(A) je dalším rozdělením, které je snadno určeno požadovanými vlastnostmi náhodné veličiny. Předpokládejme, že sledujeme náhodný jev, jehož výskyty v nepřekrývajících se časových intervalech jsou nezávislé. Je-li tedy P(t) pravděpodobnost, že jev nenastane během intervalu délky ř, pak nutně P(t + s) = P(t)P(s) pro všechna ŕ, s > 0. Předpokládejme navíc diferencovatelnost funkce P a P(0) = 1. Pak jistě In P(t + s) = In P(ť) + In P{s), takže limitním přechodem ||m lnP(t+i)-lnPW = s->0+ S Označme si spočtenou derivaci zprava v nule jako —A g R. Pak tedy pro P{ť) platí In P{ť) = —Xt + C a počáteční podmínka dává jediné řešení P(r) = e"Aí. Všimněme si, že z definice našich objektů vyplývá, že A > 0. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oo»ooo ooooooooo Nyní uvažme náhodnou veličinu X udávající (náhodný) okamžik, kdy náš jev poprvé nastane. Zrejme tedy je distribuční funkce rozdělení pro X dána Fx{t) = 1 - P(t) e"Aí t > 0 t < 0. Je vidět, že skutečně jde rostoucí funkci s hodnotami mezi nulou a jedničkou a správnými limitami v ±oo. Hustotu tohoto rozdělení dostaneme derivováním distribuční funkce, tj. ' Ae"Aí ř>0 0 t < 0. 6c Náhodné veličiny Typy diskrétních nál lodných \ reličin Typy spojitých náhodnýc h veličin Funkce náhodr lých veličin ooooooo oooooooo ooo«oo ooooooooo Jde o nejduležitějšř rozdělení. Uveďme nejprve motivaci pro jeho zavedení. □ a - = 1 •OQ.O Jde o nejduležitějšř rozdělení. Uveďme nejprve motivaci pro jeho zavedení. Pokud budeme v binomickém rozdělení Bi(n, p) zvyšovat n při zachování úspěšnosti p, bude mít pravděpodobnostní funkce pořád přibližně stejný tvar. 1 * 1 i -10 -6 10 Bi(500,0.5) Bi(5000,0.5) graf funkce e -x2/2 □ fl1 - = Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooo»o ooooooooo Normální rozdělení A/(0,1) Vzhledem k uvedené motivaci se nabízí hledat vhodné spojité rozdělení, které by mělo hustotu danou nějakou obdobnou funkcí. Protože je e_x /2 vždy kladná funkce, potřebovali bychom spočíst Jabe_x2/2 dx což není pomocí elementárních funkcí možné. Je však možné (i když ne úplně snadné) ověřit, že příslušný nevlastní integrál konverguje k hodnotě Odtud vyplývá, že hustota rozdělení náhodné veličiny může být 6c(x) = Rozdělení s touto hustotou se nazývá normální rozdělení N(0,1). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO 00000« ooooooooo Normální rozdělení A/(0,1] Příslušnou distribuční funkci Fx(x)= i e~x2/2dx J —OD nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, přesto se s ní numericky běžně počítá (pomocí tabulek nebo softwarových aplikací). Hustotě fx se také často říká Gaussova křivka. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO 00000« ooooooooo Normální rozdělení A/(0,1] Příslušnou distribuční funkci Fx(x)= ľ e~x2/2dx J —OD nelze vyjádřit pomocí elementárních funkcí, přesto se s ní numericky běžně počítá (pomocí tabulek nebo softwarových aplikací). Hustotě fx se také často říká Gaussova křivka. Abychom uměli přesněji zformulovat asymptotickou blízkost normálního a binomického rozdělení pro n —> oo, musíme si vytvořit další nástroje pro práci s náhodnými veličinami. Budeme k tomu používat funkce dvojím různým způsobem. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličil ooooooo oooooooo oooooo ooooooooo Plán přednášky Q Typy spojitých náhodných veličin Q Funkce náhodných veličin • Transformace náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO «00000000 Příklad Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (O, r). Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO «00000000 Příklad Nechť má náhodná veličina X rovnoměrné rozdělení na intervalu (O, r). Určete distribuční funkci a hustotu pravděpodobnosti rozdělení objemu koule o poloměru X. Řešení Určeme nejprve distribuční funkci F (pro O < d < §7rr3) F{d) = P 4 , -vrX3 < d = P X < \ — 3 ~ V 47T celkem F(x) pro x < O 3/4^j*3 pro 0 ^7Tf Derivováním pak obdržíme hustotu pravděpodobnosti. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO O0OOOOOOO Příklad (rozdělení x2(l)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO O0OOOOOOO Příklad (rozdělení x2(l)) Nechť Z má normované normální rozdělení. Určete hustotu transformované náhodné veličiny X = Z2. Řešení Zřejmě je pro x < 0 distribuční funkce nulová, pro x > 0 dostáváme: Fx(x) = P[Z2 < x] = P[-y/x < Z < y/x\ = 2vr ídz 1 "2 e 2 dř a derivací podle x dostaneme hustotu 6c(x) = i "2 e" Rozdělení náhodné veličiny s touto hustotou se nazývá (Pearsonovo) %2 rozdělení s jedním stupněm volnosti a značí se X~X2(1). Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo oo«oooooo Transformace náhodných veličin Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo oo«oooooo Transformace náhodných veličin Místo náhodné veličiny X, např. „roční plat zaměstnance", budeme vyčíslovat jinou závislou hodnotu ip(X), např. „roční čistý příjem zaměstnance po zdanění a včetně sociálních dávek". V systému se značnou sociální solidaritou je první veličina hodně variabilní, zatímco druhá může být skoro konstantní. Statisticky se proto budou značně odlišovat. Připomeňme si přechod od binomického k Poissonovu rozdělení: '-" Věta (Poissonova) Je-li Xn ~ Bi(n,p„) taková, že lim^oo npn = AaX~ Po(A), pak lim P[Xn = k] = P[X = k] n—řoo pro k = 0,1,.... □ rgi - ■ * -r)c^(y Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO OOO0OOOOO Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní závislosti x = ^(y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y = ax\ + b. □ g - ■ m -o^O Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO OOO0OOOOO Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní závislosti x = ^(y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y = ax\ + b. Ukážeme si, že v případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení N(0,1). Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličir i Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO OOO0OOOOO Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní závislosti x = ^(y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y = ax\ + b. Ukážeme si, že v případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení N(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO OOO0OOOOO Nejjednodušší funkcí, po konstantách, je afinní závislost ip(x) = a + bx. V prípade afinní závislosti x = ^(y — a) je proto pravděpodobnostní funkce nenulová právě v bodech y = ax\ + b. Ukážeme si, že v případě rozdělení Xn typu Bi(n, p) převádí transformace x = y^Jnp(l — p) + np náhodnou veličinu Xn na rozdělení Yn s distribuční funkcí blízkou distribuční funkci spojitého rozdělení N(0,1). Dříve uvedená Poissonova věta popisuje asymptotické chování binomického rozdělení pří n —> oo a p —> 0, následující věta pak chování v případě konstantní pravděpodobnosti zdaru p. Věta (de Moivre-Laplaceova) Pro náhodné veličiny Xn s rozdělením Bi(n,p) platí Xn - np lim P n—>oo a < < b 4>(b) - je distribuční funkce normovaného normálního rozdělení. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO oooo«oooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo oooo«oooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo oooo«oooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A ( B~np )-*( A~np ))^0 pro n —>• 0. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo oooo«oooo Příklad Hodíme kostkou celkem 12 000 krát. Určete pravděpodobnost toho, že počet hozených šestek je mezi 1800 a 2 100. Řešení Přesná pravděpodobnost je dána výrazem ZS»o rnGAl)12000-''. což je obtížně vyčíslitelné. Využijeme tvrzení Moivre-Laplaceovy věty, přepsaného do tvaru P[A ( B~np )-*( A~np ))^0 pro n —>• 0. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo ooooo»ooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, p ~ = ( A = 1800, B = f 2100 -2000 1 2100,r -♦ )«0,£ í = 12000 dostá f 1800- 2000 1 váme odhad v/6) - (-2\/6 ^12000 .||y 92. Náhodné veličiny Typy diskrétních n áhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo OOOOOO ooooo»ooo Řešení (pokr.) Volbou p = 1/6, A = 1800, B = p^^í 2100 -2000 1 V ^12000 .!§) = (\/6) - oo 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností □ s - ■ ■O O. o- Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo ooooooo»o Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ y/np(l - p) = 24> { y nÔ )-l>l-p. \^/np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z((3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení). □ s - ■ * ■O O. o- Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin ooooooo oooooooo oooooo ooooooo»o Řešení Hledáme nejmenší n, splňující nerovnost P[\Xn/n — p\ < ô] > 1 — /?, kterou můžeme podle věty aproximovat nerovností \y/np(l-p)J \ y/np(l - p) = 24> { y nÔ )-l>l-p. \^/np(l-p)J ~ Ta je ekvivalentní s podmiň kou nô/y/np(l-p) > z((3/2), kde z(p) je řešení rovnice (z(p)) = 1 — p (tzv. kritická hodnota normovaného normálního rozdělení). Pro ó = 0,05 a 1 — fi = 0,9 máme z tabulek z(/3/2) ř« 1,645 a s využitím zřejmého odhadu p(l - p) < 1/4 dostáváme n > (z((3/2)/2ô)2 « 270,6. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO OOOOOOOO* Transformace normálně rozložené veličiny Podobně zkusme opačnou transformaci provést na veličinu Y s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /x, O spočtěme rozdělení náhodné veličiny Z = jjl + aY'. Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin Typy spojitých náhodných veličin Funkce náhodných veličin OOOOOOO OOOOOOOO OOOOOO OOOOOOOO* Transformace normálně rozložené veličiny Podobně zkusme opačnou transformaci provést na veličinu Y s normálním rozdělením A/(0,1). Pro pevně zvolená čísla /x, O spočtěme rozdělení náhodné veličiny Z = /x + a Y. Dostáváme distribuční funkci Fz(z) = P(Z < z) = P(/x + aY < z) & J-oo v27t 1 (x-m)2 e 2«t2 dx, 2-7t(t kde poslední úprava vychází ze substituce x = /j, + at. Hustota naši nové náhodné veličiny Zje proto 1 (*-m)2 ■ e 2ct '2ira a takovému rozdělení se říká normální typu N(^í,