jaro 2012
MB101    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno: Místnost: 2. vnitrosemestrální písemka
list   c  _i i_l I uco   c  _i i_l  _i ll  j ľ  _i c  _i i_l  j c  _i    body   c  _i i_l  _j ll j
Oblast strojově snímatelných informací. Své UCO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
D IE3H5E1B3
Nechť je dán vektorový prostor iLjfx] všech polynomů stupně nejvýše 4 nad Přiklad 1 reálnými čísly. Označme M = {f G lUfx] | /(5) = 0}. 10 bodů
1. Dokažte, že M tvoří podprostor vektorového prostoru iLjfx].
2. Určete dimenzi a nějakou bázi M.
Je potřeba ukázat, že pro libovolné a,/3 G Ma libovolné f, g G M, f (5) = 0, g(5) = 0 je i a/ + /3í? £ M. Jistě je af + /3g polynom stupně nejvýše 4,
(a/ + /35)(5) = a/(5) + /3g(5) = 0
tudíž i af + /3<? G M.
Dimenze M bude o jedna nižší než dimenze iLifa:], tj. 4, bázi tvoří např. polynomy x4 — 625, x3 — 125, x2 - 25, x - 5.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012
MBIOI    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno:
Místnost:
2. vnitrosemestrální písemka
list
E
Oblast strojově snímatelných informací. Své UČO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
■j ľ -j    body   ľ -j ľ -_i ľ -j
D IE3H5B1B3
Příklad 2
10 bodů
Ve vektorovém prostoru M4 jsou dány podprostory
U = ((1,0, 2,1), (2,1,0, 2), (0,1, -4,0)), V = ((1,2,0,0), (0,1, 2,0)).
1. Určete bázi a dimenzi U + V. Své tvrzení zdůvodněte.
2. Určete dimenzi U(~)V a rozhodněte, zdaje součet U + V přímý. Své tvrzení zdůvodněte.
Je vidět (nebo lze výpočtem ověřit), že podprostor U je dimenze 2, protože (2,1, 0, 2) = 2(1, 0, 2,1) + (0,1, —4, 0), a lze ho generovat pouze vektory (1, 0, 2,1) a (0,1, —4, 0). Podprostor F je také dimenze 2. Dimenzi podprostoru U + V zjistíme tak, že určíme hodnost matice, která má ve sloupcích generující vektory.
1 2 1 -4   0 2
A	0		1 0\		A	0	1	o\
0	1		2 1		0	1	2	1
0	-4		-2 2		0	0	6	6
\o	0		-1 0/		\o	0	-1	0/
	A	0	1 0\					
	0	1	2 1					
	0	0	-1 0					
	\o	0	0 6/					
Proto dimenze součtu ř7 + V je 4. Ze vztahu
dim(ř7 + V) = dim(ř7) + dim(F) - dim(ř7 n V) Vyplývá, že dimenze UnV\e2 + 2 — 4 = 0. ti. součet je přímý._
Vyjádřete vektor
7 6
„ . jako lineární kombinaci vektorů . oj V1
1
-1 2 0 1
Příklad 3
5 bodů
0 4
1 2
ve vektorovém prostoru Mat22(
Celý problém lze zapsat jako soustavu čtyř rovnic o třech neznámých a, b, c tak, aby
a,v2 -2)+b přepsáno do rozšířené matice soustavy
-1   2\       /0 4
+ c
0 1
1 2
7 6 5 -6
/  1 -1 0
2 2 4
1 0 1
V -2 1 2
7 \
6 5
"6/
/1	-1 0	7 \	/ 1	-1	0	7	\
0	4 4	-8	0	1	1	-2	
0	1 1	-2	0	0	3	6	
V o	-1 2	8 /	\o	0	0	0	/
řešení je tedy
2 -4
3
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012
MB101    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno:
Místnost:
2. vnitrosemestrální písemka
rr     ■   rr     ■   rr     m rr
UŠÍ L J_J
3
Oblast strojově snímatelných informací. Své U CO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
ti/CO   c j_i i_l j_i i_l jj c j_i c j_i ll jj c j_i    body   c j_i i_l j_j ll jj
D IE3H5E1B3
V závislosti na reálném parametru a řešte soustavu rovnic nad reálnými čísly zadanou rozšířenou maticí soustavy
1 1 1   a + 1 1 1
1
2
1 + a — a2
Upravíme soustavu
Z třetí rovnice dostáváme
a(l — a)z = a
Nastávají tři případy v závislosti na parametru a. Buď
1. a = 0 a z může nabývat libovolné hodnoty
2. d^0,a^laz = -r—
1     '     ' l—a
3. a = 1 a rovnice, tudíž i celá soustava, nemá řešení Z druhé rovice dostáváme pro
1. a = 0
ay + z = 1 z = 1
2. a/0,a/l
ay + z = 1 1
1
1 — a
1 — a
Z první rovnice: 1. a = 0
x + y + z = 1 x + y = 0
1	1	1	1
0	a	1	1
0	0	2 a — a	a
Příklad 4
15 bodů
2. d/0,fl/l
x + y + z = 1
1 1
+ ^-       = 1
1 — a     1 — a
x = 1
Celkem máme tři možnosti v závislosti na parametru a:
1. a = 0, rovnice má řešení (x, —x, 1) s parametrem x,
2. a ^ 0, a    1 a rovnice má právě jedno řešení (1, — j^),
3. a = 1 a systém rovnic nemá řešení.
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.
jaro 2012
MBIOI    Matematika I
Čas: 100 minut
Jméno:
Místnost:
2. vnitrosemestrální písemka
rr     ■   rr     ■   rr     m rr
UŠÍ L J_J
H
ti/CO   c j_i i_l j_i ll jj ľ j_i c j_i ll jj ľ j_i    body   c j_i i_l j_j ll jj
Oblast strojově snímatelných informací. Své UČO vyplňte zleva dle přiloženého vzoru číslic. Jinak do této oblasti nezasahujte.
U IE3H5E1B3
Podrobně vypočtěte determinant matice A
A
/4 2 2 1 \
2 1-2-1
1-1-1 1
\8 1 1 2 y
Příklad 5
10 bodů
\A\
1	-1	-1	1		1	-1	-1	1		1	-1	-1	1
2	1	1	8		0	3	3	6		0	3	3	6
-1	1	-2	2		0	0	-3	3		0	0	-3	3
1	2	2	4		0	3	3	3		0	0	0	-3
27
Oblast strojově snímatelných informací, nezasahujte. Řešení pište jen na tuto stranu.