Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Matematika I - 9. přednáška Euklidovské prostory, skalární součin Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 23. 4. 2012 Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo oooooooooooooooooo Obsah přednášky Q Euklidovské prostory Q Vektorové prostory se skalárním součinem Q| Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním : oooooooooo ;o účinem Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Doporučené zd roje • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo poručené zdroje Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo • Martin Panák, Jan Slovák - Drsná matematika, e-text. • Roman Hilscher - MB101, e-text. • Slidy z přednášek a democvičení • Pavel Horák, Úvod do lineární algebry, MU Brno, skripta (http://www.math.muni.cz/~horak) • Luboš Motl, Miloš Zahradník, Pěstujeme lineární algebru, 3. vydání, Univerzita Karlova v Praze, Karolinum, 348 stran (elektronické vydání také na http://www. kolej, mff.cuni.cz/~lmotm275/skripta/). 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Euklidovské prostory ooooooooooo Plán přednášky Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Q Euklidovské prostory 01 Vektorové prostory se skalárním součinem Qi Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Euklidovské prostory •oooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOOOOO Euklidovské prostory Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Do vektorového prostoru (M", +, •) nyní doplníme další „strukturu", abychom dokázali odvodit více informací např. o vzájemné poloze vektorů, podprostorů, délce, vzdálenosti, úhlech, atd. Budeme zkoumat otázky typu • Jak daleko leží nějaký bod od podprostorů? Euklidovské prostory •oooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOOOOO Euklidovské prostory Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Do vektorového prostoru (M", +, •) nyní doplníme další „strukturu", abychom dokázali odvodit více informací např. o vzájemné poloze vektorů, podprostorů, délce, vzdálenosti, úhlech, atd. Budeme zkoumat otázky typu • Jak daleko leží nějaký bod od podprostorů? • Který bod v podprostorů je nejblíže k nějakému zvolenému bodu (který leží mimo tento podprostor)? Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním oučinem Ortogonální podmnožiny a podprostory o»ooooooooo oooooooooo oooooooooooooooooo Skalární souí :in Definice Skalární součin dvou vektorů //. v ( definujeme jako číslo u ■ v = ui vi H-----h un vn. (To lze zapsat i pomocí maticového násobení jako uT ■ v, pokud chápeme vektory v M." jako sloupcové vektory.) Evidentně platí vztah symetrie u ■ v = v ■ u. Euklidovské prostory o»ooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinerr oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Skalární souí :in Definice Skalární součin dvou vektorů //. v ( definujeme jako číslo u ■ v = ui vi H-----h un vn. (To lze zapsat i pomocí maticového násobení jako uT ■ v, pokud chápeme vektory v M." jako sloupcové vektory.) Evidentně platí vztah symetrie u ■ v = v ■ u. Vektorový prostor M." s výše uvedeným skalárním součinem nazýváme Euklidovský (vektorový) prostor. Délka (též norma) vektoru u G M" je pak definována jako u|| := y/u ■ u = Juf-\-----h ty2. Euklidovské prostory oo»oooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Úhel mezi dvěma nenulovými vektory u, v £ 1" je číslo tp G [0,tt] splňující u ■ v u ■ v = \\u\\ ||v\\ cosip, tj. cosip = -———-. Euklidovské prostory oo»oooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Úhel mezi dvěma nenulovými vektory u, v £ 1" je číslo tp G [0,tt] splňující u ■ v u ■ v = \\u\\\\v cos ip, tj. cosip = -——-—-. ||u|| \\v\\ To, že vůbec lze takto úhel dvou vektorů definovat (tj. že výraz napravo je číslo z intervalu [—1,1]), plyne z následující Cauchyovy (též Cauchy-Schwarzovy) nerovnosti. Euklidovské prostory oo»oooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Úhel mezi dvěma nenulovými vektory u, v £ 1" je číslo tp G [0,tt] splňující u ■ v = \\u\\ \\v\\ COS(f, COS (f u • v \u\\ \\v\ To, že vůbec lze takto úhel dvou vektorů definovat (tj. že výraz napravo je číslo z intervalu [—1,1]), plyne z následující Cauchyovy (též Cauchy-Schwarzovy) nerovnosti. Věta (Cauchy-Schwarzova) Pro libovolné dva vektory n. v ■: platí \u ■ v\ < \\u\\ \\v\\, přičemž rovnost nastane, právě když jsou vektory u a v lineárně závislé (tj. jeden z nich je násobkem toho druhého). Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním : ío účinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooo#ooooooo oooooooooo oooooooooooooooooo Cauchyovu nerovnost lze využít pro důkazy řady nerovností nebo pro odhady tzv. vázaných extrémů - více viz MB103. Euklidovské prostory ooo#ooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Cauchyovu nerovnost lze využít pro důkazy řady nerovností nebo pro odhady tzv. vázaných extrémů - více viz MB103. Příklad Určete minimální hodnotu, kterou nabývá funkce f(x,y) = x2 +y2 na přímce 2x + 4y = 1. Euklidovské prostory ooo#ooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Cauchyovu nerovnost lze využít pro důkazy řady nerovností nebo pro odhady tzv. vázaných extrémů - více viz MB103. Příklad Určete minimální hodnotu, kterou nabývá funkce f(x,y) = x2 + y2 na přímce 2x + 4y = 1. Řešení Podle Cauchyovy nerovnosti aplikované na vektory (2,4), (x,y) G R2 máme: (2x + 4y)2<(22 + 42)(x2 +y2), odkud již snadno dostaneme x2 + y2 > ^. Rovnost přitom nastává, jsou-li zmíněné vektory lineárně závislé, tj. je-li x = 2t,y = 4ŕ, t G R, odkud t = jsa{x,y) = (^, |). Euklidovské prostory oooo»oooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Kolmost vektorů Řekneme, že vektory u a v jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud u ■ v = 0. Píšeme u _L v. To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor 0 £ M" nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. costp = 0. Euklidovské prostory oooo»oooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Kolmost vektorů Řekneme, že vektory u a v jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud u ■ v = 0. Píšeme u _L v. To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor 0 £ M" nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. costp = 0. Příklad (a) Nulový vektor 0 E je kolmý na libovolný vektor u E M". Euklidovské prostory oooo»oooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Kolmost vektorů Řekneme, že vektory u a v jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud u ■ v = 0. Píšeme u _L v. To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor 0 £ M" nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. costp = 0. Příklad (a) Nulový vektor 0 £ M" je kolmý na libovolný vektor u G (b) Vektory (2,-1) a (1,2) jsou kolmé. Euklidovské prostory oooo»oooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Kolmost vektorů Řekneme, že vektory u a v jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud u ■ v = 0. Píšeme u _L v. To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor 0 £ M" nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. costp = 0. Příklad (a) Nulový vektor 0 £ M" je kolmý na libovolný vektor u G M". (b) Vektory (2,-1) a (1,2) jsou kolmé. (c) Vektory standardní báze e = (ei,..., e„) jsou navzájem kolmé, tj. ef- _L ej pro / ^ j. Euklidovské prostory oooo»oooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Kolmost vektorů Řekneme, že vektory u a v jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud je jejich skalární součin roven nule, tj. pokud u ■ v = 0. Píšeme u _L v. To zřejmě nastane pokud je jeden z těchto vektorů nulový vektor 0 £ M" nebo pokud svírají tyto vektory pravý úhel, tj. costp = 0. Příklad (a) Nulový vektor 0 £ M" je kolmý na libovolný vektor u G M". (b) Vektory (2,-1) a (1,2) jsou kolmé. (c) Vektory standardní báze e = (ei,..., e„) jsou navzájem kolmé, tj. ef- _L ej pro / ^ j. (d) Normálový vektor N roviny p C l3 je kolmý na tuto rovinu, tj. na všechny vektory u ležící v rovině p. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooo»ooooo oooooooooo oooooooooooooooooo Ortogonální podprostory v Mn Kolmost podprostorů prostoru M" definujeme stejně jako kolmost jednotlivých vektorů, jen musí být příslušný skalární součin nulový pro všechny vektory z daných podprostorů. Definice Podprostory X a Y prostoru M" jsou navzájem kolmé (též ortogonální), pokud uli/ (tj. u • v = 0) pro všechny vektory uěX, v £ Y. Euklidovské prostory oooooo^oooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Ortogonální doplněk v Rn Definice Je-li Y podprostor Euklidovského prostoru M", potom se množina YL : = {u G M", u ± v pro všechny vektory v £ V} nazývá ortogonálníkomplement (doplněk) podprostorů Y (v prostoru Rn). YL je tedy množina všech vektorů, které jsou kolmé na všechny vektory v podprostorů Y. Euklidovské prostory oooooo»oooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Ortogonální doplněk v Mn Definice Je-li Y podprostor Euklidovského prostoru W, potom se množina YL : = {u G M", u ± v pro všechny vektory v G V} nazývá ortogonálníkomplement (doplněk) podprostoru Y (v prostoru Rn). Y je tedy množina všech vektorů, které jsou kolmé na všechny vektory v podprostoru Y. ' Příklad ^ (a) Pro X = (ei), Y = (e2), Z = (e3) a V = (e2, e3) je v- L = {xG IR3, x _L v pro všechny vektory v G V } = {x G IR3, x • (0, ^2, 1/3) = 0 pro všechny V2,1/3 G M} = {x G IR3, x = (xi, 0, 0), xi G M} = (ei) = X. Euklidovské prostory ooooooo»ooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (b) Podobně platí X± = (e2, e3) = V, Z± = (e1,e2) = U. (c) Všimněte si, že ačkoliv X 1 Z, není podprostor Z ortogonální doplněk prostoru X (a naopak). (d) Triviální podprostory {0} a M" tvoří navzájem ortogonální doplňky, tj. {0}^ = R", (Mn)± = {0}. Tyto vztahy zřejmě interpretujeme tak, že nulový vektor je kolmý ke všem vektorům a že jediný vektor, který je kolmý ke všem vektorům, je právě nulový vektor. Euklidovské prostory 00000000*00 Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Evidentně pro libovolný podprostor Y platí, že Y _L Y . Ovšem pokud V 1 Z, neplyne z toho nutně, že Z = YL. Množina YL může zřejmě být „větší", než je množina Z. V tomto případě ale vždy platí inkluze Z C YL. Věta Necht X a Y jsou podprostory Euklidovského prostoru M.n. (i) Je-li X _L Y, potom jeX^Y = {0}. (ii) YL (a samozřejmě i XL) je také podprostor prostoru W. Euklidovské prostory 00000000*00 Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Evidentně pro libovolný podprostor Y platí, že Y _L Y . Ovšem pokud V 1 Z, neplyne z toho nutně, že Z = YL. Množina YL může zřejmě být „větší", než je množina Z. V tomto případě ale vždy platí inkluze Z C YL. Věta Necht X a Y jsou podprostory Euklidovského prostoru M.n. (i) Je-li X _L Y, potom jeX^Y = {0}. (ii) YL (a samozřejmě i XL) je také podprostor prostoru W. Důkaz. Snadný. □ Euklidovské prostory ooooooooo»o Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Je zřejmé, že se vektory z pod prostoru Vaz pod prostoru Y navzájem „doplňují" v tom smyslu, že dohromady vyčerpají celý prostor Rn. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooo»o oooooooooo oooooooooooooooooo Je zřejmé, že se vektory z podprostorů Vaz podprostorů Y navzájem „doplňují" v tom smyslu, že dohromady vyčerpají celý prostor Rn. Věta Je-li Y podprostor Euklidovského prostoru M", potom dim Y + dim Y± = n. Zejména, pokud dim Y = k a u = (ui,..., uk) je báze podprostorů Y a y_ = (1/1,..., vn-k) je báze podprostorů YL, potom je {U,v) = (ui, ...,uk,v1,..., vn_k) báze celého prostoru M.n. Euklidovské prostory OOOOOOOOOO* Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOOOOO Ortogonální podmnožiny a podprostory OOOOOOOOOOOOOOOOOO Poznámka Z věty vyplývá, že každý vektor wěK" lze jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci w = a1 u1 H-----h ak uk + ak+í v\ -\-----h an vn_k = y + z, =: y G Y =: z e Y± kde y G Y a z £ y-1-. Tato dekompozice vektoru 1/1/ je jednoznačná, protože ui,..., uk, vi,..., \/n-k tvoří bázi prostoru W (souřadnice vzhledem k této bázi jsou určeny jednoznačně). Euklidovské prostory OOOOOOOOOO* Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOOOOO Ortogonální podmnožiny a podprostory OOOOOOOOOOOOOOOOOO Poznámka Z věty vyplývá, že každý vektor wěK" lze jednoznačně zapsat jako lineární kombinaci w = a1 u1 H-----h ak uk + ak+í v\ -\-----h an vn_k = y + z, =: y G Y =: z e Y± kde y G Y a z £ y-1-. Tato dekompozice vektoru w/ je jednoznačná, protože ui,..., uk, vi,..., \/n-k tvoří bázi prostoru W (souřadnice vzhledem k této bázi jsou určeny jednoznačně). Přímým důsledkem předchozí věty je tedy Je-li Y podprostor Euklidovského prostoru M", potom je M" přímý součet podprostorů Y a YL, tj. W = Y © Y-1. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním i so účinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo oooooooooooooooooo Plán přednás >ky 0 Euklidovské prostory Q Vektorové prostory se skalárním součinem Ql Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem •ooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Skalární součin Hlavní myšlenka obecných vektorových prostorů se skalárním součinem je zobecnit skalární součin z prostoru M." tak, aby bylo možno přirozeným způsobem pracovat s příslušnými vlastnostmi (délka, kolmost, úhel atd.) v „libovolných" vektorových prostorech. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem •ooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Skalární součin Hlavní myšlenka obecných vektorových prostorů se skalárním součinem je zobecnit skalární součin z prostoru M." tak, aby bylo možno přirozeným způsobem pracovat s příslušnými vlastnostmi (délka, kolmost, úhel atd.) v „libovolných" vektorových prostorech. '-" Definice Bud' (V,+, •) vektorový prostor. Zobrazení (•, •):l/xl/4l nazýváme skalární součin (též vnitřní součin z angl. „inner product") na prostoru V, pokud má následující vlastnosti: (i) je tzv. pozitivně definitní, tj. (u, u) > 0, přičemž (u, u) = 0 u = 0, (ii) je symetrické, tj. (u, v) = (v, u), (iii) je lineární v první složce, tj. (a ■ u + b ■ v, w) = a . (u, w) + b . (v, w). Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem o»oooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (a) V prostoru M." můžeme zvolit n (u, v) := u • v = u; v-, (obvyklý skalární součin), případně pro pevně zvolená kladná čísla w\,..., wn lze n (u, v) := w, u; v, (skalární součin s vahou wi,..., wn). i=l Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem o»oooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (a) V prostoru M." můžeme zvolit n (u, v) := u • v = u; v-, (obvyklý skalární součin), případně pro pevně zvolená kladná čísla w\,..., wn lze n (u, v) := w; u; v, (skalární součin s vahou wi,..., wn). i=l (b) V prostoru Matmxn můžeme zvolit m n i=i j=i Tj. vynásobíme prvky na stejných pozicích a výsledné součiny Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oo»ooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (c) viz později v MB102 - v prostoru C[a, b] spojitých funkcí na intervalu [a, b] můžeme zvolit (f,g):= / f(x)g(x)dx, J a případně vážený spojitou funkcí w(x) > 0. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oo»ooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (c) viz později v MB102 - v prostoru C[a, b] spojitých funkcí na intervalu [a, b] můžeme zvolit případně vážený spojitou funkcí w(x) > 0. (d) Zvolme n + 1 různých bodů xo,xi,...,x„ £ M. Potom v prostoru polynomů stupně nejvýše n můžeme zvolit n Případně opět váženo wq, wi, ..., wn. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oo»ooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (c) viz později v MB102 - v prostoru C[a, b] spojitých funkcí na intervalu [a, b] můžeme zvolit případně vážený spojitou funkcí w(x) > 0. (d) Zvolme n + 1 různých bodů xo,xi,...,x„ £ M. Potom v prostoru polynomů stupně nejvýše n můžeme zvolit n Případně opět váženo wq, wi, ..., wn. (e) Na vektorovém prostoru všech funkcí f : M. —> M. skalární součin definovat nelze. (Dokonce zde nelze definovat ani normu, tj. prostor není ani tzv. normovaný prostor, viz dále.) Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo ooo»oooooo oooooooooooooooooo Délka (norma) vektoru Definice Skalární součin (•,•) definuje přirozeným způsobem normu (též délku) každého vektoru u G V předpisem: Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo ooo»oooooo oooooooooooooooooo Délka (norma) vektoru Definice Skalární součin (•,•) definuje přirozeným způsobem normu (též délku) každého vektoru u 6 V předpisem: INI := v/("1 Příklad (a) V prostoru M." s obvyklým skalárním součinem je \\u\\ = yj(u, u) = \jx\ H-----hx2, kde u = (xi,... ,xn). Tuto normu budeme nazývat Euklidovská norma prostoru M" a značit s indexem 2, tj. Uh ■= VX1 +---+Xn- ■0 0.0 Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooo^ooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad (b) Tzv. Frobeniova norma v prostoru Matmxn je definována jako m n hif==>/<ä*> = ££4 í=i j=i Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním oučinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooo^ooooo oooooooooooooooooo Příklad (b) Tzv. Frobeniova norma v prostoru Matmxn je definována jako H|f==>/(Ä^> = ££4 i=l j=l (c) viz MB102 - tzv. L2-norma v prostoru C[a, b] je definována jako Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem ooooo»oooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Podobně jako v prostoru M" i v libovolném vektorovém prostoru se skalárním součinem platí Cauchyova nerovnost. Věta (Cauchy-Schwarzova) Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva vektory u,v<^V platí \(u, v}\ < \\u\\ \\v\\, přičemž rovnost nastane právě když jsou vektory u a v lineárně závislé (tj. jeden z nich je násobkem toho druhého). Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem ooooo»oooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Podobně jako v prostoru M" i v libovolném vektorovém prostoru se skalárním součinem platí Cauchyova nerovnost. Věta (Cauchy-Schwarzova) Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva vektory u,v<^V platí \(u, v}\ < \\u\\ \\v\\, přičemž rovnost nastane právě když jsou vektory u a v lineárně závislé (tj. jeden z nich je násobkem toho druhého). Definice Na základě Cauchyovy nerovnosti definujeme úhel (též odchylka) mezi dvěma vektory u a v jako číslo ip G [0,7r] splňující (u, v) COS íf = -———- . Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooosooo oooooooooooooooooo Pythagorova věta Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva vektory u, v G V, u _L v, platí \u + v\ + Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooosooo oooooooooooooooooo Pythagorova věta Věta Je-li V vektorový prostor se skalárním součinem, potom pro libovolné dva vektory u, v G V, u _L v, platí \\u + vil2 = llull2 + IMI2. Důkaz. Důkaz je snadný, neboť \\u + v 2 = (u + v, u + v) = (u, u) + (u, v) + (v, u) +(v, v) = = IMI2 + IMI2- □ Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOO0OO Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Normované vektorové prostory Viděli jsme, že norma vektoru je přirozeným způsobem dána skalárním součinem. Na daném vektorovém prostoru ovšem mohou existovat i další „normy", které např nemusejí pocházet z nějakého skalárního součinu. Případně taková „norma" může být korektně definována na vektorovém prostoru, na kterém skalární součin definovat nelze. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem OOOOOOO0OO Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Normované vektorové prostory Viděli jsme, že norma vektoru je přirozeným způsobem dána skalárním součinem. Na daném vektorovém prostoru ovšem mohou existovat i další „normy", které např nemusejí pocházet z nějakého skalárního součinu. Případně taková „norma" může být korektně definována na vektorovém prostoru, na kterém skalární součin definovat nelze. Definice Bud' (V, +, •) vektorový prostor. Zobrazení || • || : V —> M nazýváme norma (též délka), pokud má následující vlastnosti: (i) je tzv. pozitivně definitní, tj. ||u|| > 0, přičemž ||u||=0 44> u = 0, (ii) je pozitivně homogenní, tj. \\a . u\\ = \a\ . \\u\\, (iii) splňuje trojúhelníkovou nerovnost, tj. ||u + v\\ < \\u\\ + \\v ■0 0.0 Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooo«o Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Norma na prostoru V tedy přiřazuje každému vektoru u G V (objektům z prostoru V) reálné číslo ||u||. Ověřte si, že norma definovaná pomocí skalárního součinu splňuje výše uvedené vlastnosti normy. Jak uvidíme níže, na některých vektorových prostorech lze definovat více (i nekonečně mnoho) různých norem || • ||, zatímco na jiných prostorech normu vůbec definovat nelze. Vektorový prostor V, na kterém je definována (nějaká) norma pak nazýváme normovaný vektorový prostor. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooo«o Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Norma na prostoru V tedy přiřazuje každému vektoru u G V (objektům z prostoru V) reálné číslo ||u||. Ověřte si, že norma definovaná pomocí skalárního součinu splňuje výše uvedené vlastnosti normy. Jak uvidíme níže, na některých vektorových prostorech lze definovat více (i nekonečně mnoho) různých norem || • ||, zatímco na jiných prostorech normu vůbec definovat nelze. Vektorový prostor V, na kterém je definována (nějaká) norma pak nazýváme normovaný vektorový prostor. Viděli jsme některé normy, které jsou na daném vektorovém prostoru indukovány skalárním součinem. Následující příklady jsou také normy na příslušných prostorech (ale tyto normy už nejsou indukovány skalárním součinem). Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem 000000000» Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Příklad O V prostoru M." můžeme definovat např. následující normy: pro ii = (xi,...,x„)er Hli:=E tzv. 1-norma, max |x,-| tzv. stejnoměrná norma, i=l Ki 1). J=i Norma || • H2 uvedená v předchozím příkladu je speciálním případem p-normy pro p = 2. Jako jediná je odvozena ze skalárního součinu. Norma || • ||i je zřejmě také p-norma pro p = 1. V prostorech s normou || • ||p s p ^ 2 ale např. neplatí Pythagorova věta. Obdobně lze p-normu nebo stejnoměrnou normu definovat i pro prostor matic nebo spojitých funkcí. Euklidovské prostory ooooooooooo lan pre Vektorové prostory s oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooooo Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory • Ortogonální matice • Gram-Schmidtův ortogonalizační proces Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory •ooooooooooooooooo Ortogonální množina vektorů Definice Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem (•,•). Množina vektorů {u\,..., u^} C V se nazývá ortogonální množina vektorů, pokud u; _L Uj pro všechny indexy / 7^ j. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory •ooooooooooooooooo Ortogonální množina vektorů Definice Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem (•,•). Množina vektorů {u\,..., u^} C V se nazývá ortogonální množina vektorů, pokud u; _L Uj pro všechny indexy / 7^ j. Věta Nechi V je vektorový prostor se skalárním součinem (•,•). Potom jsou nenulové vektory v libovolné ortogonální množině prostoru V lineárně nezávislé. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory •ooooooooooooooooo Ortogonální množina vektorů Definice Nechť V je vektorový prostor se skalárním součinem (•,•). Množina vektorů {u\,..., u^} C V se nazývá ortogonální množina vektorů, pokud u; _L Uj pro všechny indexy / 7^ j. Věta Nechi V je vektorový prostor se skalárním součinem (•,•). Potom jsou nenulové vektory v libovolné ortogonální množině prostoru V lineárně nezávislé. Důkaz. Snadný: je-li {u\,..., u^} C V ortogonální, pak z a\ u\ + • • • + a k Uk = 0 dostaneme skalárním vynásobením s vektorem uj (pro libovolné j) ai ("1, uj) H-----h aj (uj, uj) H-----h 3/c ty,-) = (0, uj) = 0, a tedy 3j ||u/||2 = 0, odkud 3j = 0. □ 0 Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory o»oooooooooooooooo Definice Ortogonální množina vektorů {ui,..., u^} C V se nazývá ortonormální množina, pokud mají všechny vektory u; velikost 1, tj. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo o»oooooooooooooooo Definice Ortogonální množina vektorů {ui,..., uk} C V se nazývá ortonormální množina, pokud mají všechny vektory u; velikost 1, tj. Ikll = i- Poznámka Zřejmě platí jednoduché tvrzení, že z každé ortogonální množiny lze vytvořit množinu ortonormální, protože stačí každý vektor „znormalizovať', tj. místo množiny {u\,..., uk} C V vzít množinu Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním oučinetn Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo oo»ooooooooooooooo Příklad (Fourierova analýza) Ve vektorovém prostoru C[—L,L] uvažujme skalární součin 1 fL 1 (f,g)-=j / f{x). g(x) dx tj. váhová funkce je w{x) = —. L J-L L Potom množina funkcí 1 tvoří ortonormální množinu mrx . mrx , cos—-—, sin—-—, n = 1,2,3,... Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo ooo»oooooooooooooo Ortonormální báze Proč je výhodné pracovat ve vektorovém prostoru se skalárním součinem s ortonormální bází ukazují následující tvrzení. Věta Je-li li = (ui,..., un) ortonormální báze vektorového prostoru V, potom jsou souřadnice libovolného vektoru w G V v bázi u dány pomocí skalárního součinu vektoru w s bázovými vektory u-,, tj. [w]u = (ai, • • •, an)T, kde a; = {w,Uj), V/ = l,...,n. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo ooo»oooooooooooooo Ortonormální báze Proč je výhodné pracovat ve vektorovém prostoru se skalárním součinem s ortonormální bází ukazují následující tvrzení. Věta Je-li li = (ui,..., un) ortonormální báze vektorového prostoru V, potom jsou souřadnice libovolného vektoru w G V v bázi u dány pomocí skalárního součinu vektoru w s bázovými vektory u-,, tj. [w]u = (ai, • • •, an)T, kde a; = {w,Uj), V/ = l,...,n. Důsledek Skalární součin dvou libovolných vektorů v, w £ V, kde d\m V = n, je roven skalárnímu součinu vektorů jejich souřadnic (v M.n) vzhledem k nějaké ortonormální bázi u prostoru V, tj. (v, w)V = {[v]u, Mu)R". Ur « -00.0 Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooo»ooooooooooooo Ortogonální matice Definice Čtvercová matice Q řádu n je ortogonální matice, pokud její sloupce tvoří ortonormální množinu vektorů v M", tj. pokud platí QTQ = I, tj. Q-1 = QT. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooo»ooooooooooooo Ortogonální matice Definice Čtvercová matice Q řádu n je ortogonální matice, pokud její sloupce tvoří ortonormální množinu vektorů v M", tj. pokud platí QTQ = I, tj. Q~1 = QT. Poznámka Ze vztahu QTQ = I plyne, že každá ortogonální matice je regulární a že determinant každé ortogonální matice je bud' 1 nebo —1, neboť 1 = \I\ = \QTQ\ = \QT\.\Q\ = \Q\2. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooo»oooooooooooo Příklad (a) Matice rotace v M2 o úhel p v kladném směru Q cos ip — s\np s\np cos p je ortogonální matice a tedy platí Q~1 = QT = cos W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u £ V. Definice Lineární zobrazení f : V —^ W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u 6 V (f(u),f(u)} = (u,u). Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooooooo»oo Ortogonální zobrazení Podívejme se teď na speciální případ zobrazení f : V —> W mezi prostory se skalárními součiny, která zachovávají velikosti pro všechny vektory u 6 V. Definice Lineární zobrazení f : V —» W mezi prostory se skalárním součinem se nazývá ortogonální zobrazení, jesltiže pro všechny u 6 V (f(u),f(u)) = (u,u). * Z linearity f a z vlastností skalárního součinu vyplývá pro všechny dvojice vektorů rovnost (f(u + v), f(u + v)) = (f(u), f(u)) + (f(v), f(v)) + 2(f(u), f(v)). Proto všechna ortogonální zobrazení splňují i zdánlivě silnější požadavek, aby platilo pro všechny vektory u, v £ V (f(u),f(v)) = (u, v). Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním : ío účinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo oooooooooooooooo»o V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooo»o V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Obecně, ortogonální zobrazení f : V —^ W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f(u)} = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Euklidovské prostory ooooooooooo Vektorové prostory se skalárním součinem oooooooooo Ortogonální podmnožiny a podprostory oooooooooooooooo»o V úvodní diskusi o geometrii v rovině jsme dokázali, že lineární zobrazení M2 —> M2 zachovává velikosti vektorů, právě když jeho matice ve standardní bázi (a ta je ortonormální vzhledem ke standardnímu skalárnímu součinu) splňuje AT ■ A = E, tj. A'1 =AT. Obecně, ortogonální zobrazení f : V —» W musí být vždy injektivní, protože podmínka (f(u), f(u)} = 0 znamená i (u, u) = 0 a tedy u = 0. Bez újmy na obecnosti tedy předpokládejme W = V. Naše podmínka pro matici A ortogonálního zobrazení v ortonormální bázi pak říká pro všechny vektory x a y v prostoru Rn toto: (A ■ x)T ■ (A ■ y) = xT ■ (AT ■ A) ■ y = xT ■ y. Speciálními volbami vektorů standardní báze za x a y dostaneme přímo, že AT ■ A = E, tedy tentýž výsledek jako v dimenzi dvě. Euklidovské prostory Vektorové prostory se skalárním součinem Ortogonální podmnožiny a podprostory ooooooooooo oooooooooo ooooooooooooooooo* Matice ortogonálního zobrazení Dokázali jsme tak následující tvrzení: Věta Nechť V je reálný vektorový prostor se skalárním součinem a f : V —» V je lineární zobrazení. Pak f je ortogonální, právě když v některé ortonormální bázi (a pak už ve všech) má matici A splňující AT = A^1 (tedy ortogonální matici).