NEURČITÝ INTEGRÁL
1) Základní vzorce (platí na definičním oboru integrandu)
xn
dx =
xn+1
n + 1
+ C; x > 0, n ∈ R, n = −1
1
x
dx = ln|x| + C, x = 0
ex
dx = ex
+ C,
ax
dx =
ax
lna
+ C, a > 0, a = 1
sin x dx = − cos x + C,
cos x dx = sin x + C,
1
cos2 x
dx = tg x + C, x =
π
2
+ kπ, k ∈ Z
1
sin2
x
dx = −cotg x + C, x = kπ, k ∈ Z
Linearita integrálu
(α f(x) + β g(x)) dx = α f(x) dx + β g(x) dx
Pomocí základních vzorců a linearity spočtěte integrály z následujících funkcí:
a) x3 − 3
√
x +
x
4
√
x5
, b)
1 + x2
3
√
x
, c) cotg2x.
2) Substituce
f(ϕ(x)) ϕ (x) dx =
ϕ(x) = t
ϕ (x)dx = dt
= f(t) dt = F(t) = F(ϕ(x)).
a) x 1 + 2x2 dx, b) x3
x4 + 3 dx, c) sin4
x cos x dx
d) asin x
cos x dx, e) x e2x2
dx, f) tg x dx.
g)
x4
√
3x5 + 7
dx, h)
2x3
(5x4 − 1)3
dx, i)
3x4
3
(3x5 − 1)
dx,
j) 2x2 4
(x3 + 2)3 dx, k) 2x3 3
(x4 + 1)2 dx, l)
2x
4
√
x2 + 1
dx.
Vzorce
f(ax + b) dx =
1
a
F(ax + b) + C, kde f(x) dx = F(x) + C
1
f (x)
f(x)
dx = ln |f(x)| + C
3) a)
x2
x3 + 4
dx, b)
sin x
1 + cos x
dx, c) (2x + 5)10
dx,
d) cos(4x + 2) dx, e)
1
x ln x
dx, f)
1
3
√
4x − 3
dx.
g) a2x−7
dx, h)
2x + 3
x2 + 3x + 8
dx, i)
ex
ex + 3
dx
j)
e3x−1
e3x−1 + 3
dx, k)
cos(x + 2)
2 − sin(x + 2)
, l)
x3 + 1
x4 + 4x + 5
dx.
Vzorce
1
x2 + a2
dx =
1
a
arctg
x
a
+ C,
1
x2 − a2
dx =
1
2a
ln
x − a
x + a
+ C,
1
√
x2 + a
dx = ln |x + x2 + a| + C,
1
√
a2 − x2
dx = arcsin
x
a
+ C.
4) a)
1
x2 + 2x + 2
dx, b)
1
x2 + 3x + 3
dx, c)
1
x2 − 3x + 2
dx,
d)
1
√
x2 + 4x + 5
dx, e)
1
√
6x − x2
dx, f)
1
√
9x2 + 6x
dx.
5) Per partes
f(x) g (x) dx = f(x) g(x) − f (x) g(x) dx
a) x cos 2x dx, b) x e−2x
dx, c) arccos x dx,
d) cos2
2x dx, e) ex
cos 2x dx, f) x2
sin x dx
6) Parciální zlomky
a)
1
x − 4
dx, b)
1
5x + 6
dx, c)
x − 1
x2 + 1
dx,
d)
3x + 2
x2 + 4x + 5
dx, e)
x
(x + 1)(x + 2)
dx, f)
x + 4
x (x − 2)2
dx.
g)
x2 + 3x
(x + 1)(x + 2)(x − 1)
dx, h)
1 − 2x
(x + 1)(x2 + 1)
dx, i)
x + 2
x (x2 + 4x + 5)
dx.
2
Výsledky (integrační konstantu vynecháváme)
1) a)
x4
4
− 2
√
x3 +
4
3
4
√
x3, b)
3
2
3
√
x2 +
3
8
3
√
x8, c) −cotg x − x.
2) a)
1
6
(1 + 2x2)3, b)
1
6
(x4 + 3)3, c)
sin5
x
5
,
d)
asin x
ln a
, e)
1
4
e2x2
, f) − ln | cos x|.
g)
2
15
√
3x5 + 7, h) −
1
5
1
(5x4 − 1)
i)
3
10
3
(3x5 − 1)2,
j)
8
21
4
(x3 + 2)7 k)
3
10
3
(x4 + 1)5 l)
4
3
4
(x2 + 1)3.
3) a)
1
3
ln |x3 + 4|, b) − ln |1 + cos x|, c)
(2x + 5)11
22
, d)
1
4
sin(4x + 2),
e) ln | ln x|, f)
3
8
3
(4x − 3)2, g)
a2x−7
2 ln a
, h) ln |x2 + 3x + 8|,
i) ln |ex + 3|, j)
1
3
ln |e3x−1 + 3|, k) − ln |2 − sin(x + 2)|, l)
1
4
ln |x4 + 4x + 5|.
4) a) arctg(x + 1), b)
2
√
3
arctg
2x + 3
√
3
, c) ln
x − 2
x − 1
d) ln |x + 2 + (x + 2)2 + 1|, e) arcsin
x − 3
3
, f)
1
3
ln |3x + 1 + (3x + 1)2 − 1|.
5) a)
x sin 2x
2
+
cos 2x
4
, b) −
e−2x
4
(1 + 2x), c) x arccos x −
√
1 − x2,
d)
2x + sin 2x cos 2x
4
, e)
ex (cos 2x + 2 sin 2x)
5
, f) (2 − x2) cos x + 2x sin x.
6) a) ln |x − 4|, b)
1
5
ln |5x + 6|, c)
1
2
ln |x2 + 1| − arctg x,
d)
3
2
ln |x2 +4x+5|−4 arctg(x+2), e) 2 ln |x+2|−ln |x+1|, f) ln
x
x − 2
−
3
x − 2
,
g) ln |x + 1| +
2
3
ln
x − 1
x + 2
, h)
3
2
ln |x + 1| −
3
4
ln |x2 + 1| −
1
2
arctg x,
i)
2
5
ln |x| −
1
5
ln |x2 + 4x + 5| +
1
5
arctg(x + 2).
Řešení vybraných příkladů
2) a) x 1 + 2x2 dx =
t2 = 1 + 2x2
2 t dt = 4x dx
=
1
2
t2
dt =
1
2
·
t3
3
=
(1 + 2x2)3
6
.
Můžeme rovněž použít následující substituce
x 1 + 2x2 dx =
t = 1 + 2x2
dt = 4x dx
=
1
4
√
t dt =
1
4
·
t3/2
3
2
=
(1 + 2x2)3
6
,
3
integrování je pro někoho možná maličko složitější.
3) a)
x2
x3 + 4
dx =
f(x) = x3 + 4
f (x) = 3x2 =
1
3
ln |x3
+ 4|.
4) b)
1
x2 + 3x + 3
dx =







x2 + 3x + 3 = x +
3
2
2
−
9
4
+ 3 =
= x +
3
2
2
+
3
4
=
3
4
2x + 3
√
3
2
+ 1







=
4
3
1
2x + 3
√
3
2
+ 1
dx =
=





t =
2x + 3
√
3
dt =
2
√
3
dx




 =
4
3
·
√
3
2
1
t2 + 1
dt =
2
√
3
arctg t =
2
√
3
arctg
2x + 3
√
3
.
5) c) arccos x dx =




u = 1, v = arccos x
u = x, v = −
1
√
1 − x2



 = x arccos x
A
+
x
√
1 − x2
dx =
t2 = 1 − x2
2t dt = −2x dx
= A −
t dt
t
= A − t = x arccos x − 1 − x2.
6) c)
x − 1
x2 + 1
=
1
2
·
2x
x2 + 1
−
1
x2 + 1
⇒
x − 1
x2 + 1
dx =
1
2
ln(1 + x2
) − arctg x.
6) f) Rozložíme integrand na parciální zlomky:
x + 4
x (x − 2)2
=
A
x
+
B
x − 2
+
C
(x − 2)2
,
převedeme na společného jmenovatele:
x + 4
x (x − 2)2
=
A (x − 2)2 + B x(x − 2) + C x
x (x − 2)2
a porovnáme koeficienty u stejných mocnin v čitatelích. Dostaneme soustavu pro neznámé
A, B, C:
x2 : A + B = 0,
x1 : −4A − 2B + C = 1,
x0 : 4A = 4, kterou řeší A = 1, B = −1, C = 3.
Nebo do čitatelů dosadíme kořeny jmenovatele.
x = 0 : 4 = 4A ⇒ A = 1,
x = 2 : 6 = 2C ⇒ C = 3 Konstantu B vypočítáme např. z rovnice, kterou jsme dostali
porovnáním koeficientů u x2 : A + B = 0.
Odtud již snadno dospějeme k výsledku:
x + 4
x (x − 2)2
dx =
1
x
−
1
x − 2
+
3
(x − 2)2
dx = ln
x
x − 2
−
3
x − 2
.
4