MB102 Matematika II DDÚ
1 Polynomy a interpolace
1.1 Interpolace
Metodou neurčitých koeficientů sestrojte polynom P(x) procházející body:
1. [2, 0], [1, 2], [3, 1]
P(x) = 3
2 x2
− 13
2 x + 7
2. [−2, 0], [−1, 6], [1, 6], [3, 30]
P(x) = x3
− x + 6
3. [0, 1], [1, 2 + i], [i, −1]
P(x) = x2
+ ix + 1
1.2 Lagrangeův interpolační polynom
Sestrojte Lagrangeův interpolační polynom P(x) procházející body:
1. [1, 0], [2, 1], [3, 2]
[P(x) = x − 1]
2. [−1, 2], [0, 1], [1, 0], [2, 5]
P(x) = x3
− 2x + 1
3. [−1, 3], [0, −3], [1, 3], [2, 15]
P(x) = −x3
+ 6x2
+ x − 3
1.3 Hermiteův interpolační polynom
Sestrojte Hermiteův interpolační polynom P(x) splňující:
1. f(1) = 0, f(2) = 3, f′
(1) = 1, f′
(2) = 3,
P(x) = −2x3
+ 10x2
− 13x + 5
2. f(−1) = 3, f(0) = 2, f(1) = 7, f′
(−1) = 0, f′
(0) = 1, f′
(1) = 12,
P(x) = x5
+ 3x2
+ x + 2
3. f(2) = 64, f(1) = −6, f(0) = −10, f′
(2) = 173, f′
(1) = 14, f′
(0) = 1,
P(x) = 2x5
+ x3
+ x − 10
1
MB102 Matematika II DDÚ
1.4 Rozklad na parciální zlomky
Rozložte lomenné funkce na parciální zlomky:
1. 9x3
−4x+1
x4−x2
3
x−1 + 2
x+1 − 1
x2 + 4
x
2. x3
−4x2
+x−2
x4−2x3+2x2−2x+1
x
x2+1 − 2
(x−1)2
3. 3x3
+3x2
−1
2x4+x3+2x2+x
1
2x+1 + 2x+1
x2+1 − 1
x
4. x7
+2x6
+3x5
+5x4
+2x3
+5x2
+1
x5+2x3+x
x2
+ 2x + 1 + x
(x2+1)2 − 1
x2+1 + 1
x
5. x5
−3x4
−x3
+4x2
−3x−2
x3−x
x2
− 3x + 1
x+1 − 2
x−1 + 2
x
Rozložte polynom v R (pomocí Hornerova schématu):
1. x4
− 5x2
+ 4
[(x − 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)]
2. x4
− 6x3
+ 13x2
− 12x + 4
(x − 1)2
(x − 2)2
3. x6
− 4x5
− 3x4
+ 32x3
− 54x2
+ 36x
x(x − 2)(x − 3)(x + 3)(x2
− 2x + 2)
2
MB102 Matematika II DDÚ
2 Diferenciální počet
2.1 Supremum a infimum
Nalezněte infima a suprema množin:
1. X = 3n−1
n , n ∈ N
[inf(X) = 2, sup(X) = 3]
2. X = {|x − 4| , |x| < 3}
[inf(X) = 1, sup(X) = 7]
3. X = −x2
+ 6x + 1, x ∈ R
[inf(X) neexistuje, sup(X) = 10]
4. X = m
n , m, n ∈ N, 0 < m < n
[inf(X) = 0, sup(X) = 1]
5. X = r ∈ Q, r2
< 2
inf(X) = −
√
2, sup(X) =
√
2
2.2 Definiční obor funkce
Určete definiční obory funkcí:
1. y =
√
3x − x3
−∞, −
√
3 ∪ 0,
√
3
2. y = log5 x + 1
1
5 , ∞
3. y =
√
x
sin(πx)
[R+
− N]
4. y =
√
1+ 1
x√
1− 1
x
√
x + 1
[{−1} ∪ (1, ∞)]
3
MB102 Matematika II DDÚ
2.3 Limita posloupnosti
Spočtěte limity posloupností:
1. limn→∞
1
n2
[0]
2. limn→∞
√
n + 2
[∞]
3. limn→∞
√
n2 + n + 1
[∞]
4. limn→∞
1
n
[0]
5. limn→∞(1
2 )n
[0]
6. limn→∞(−1)n
· 1
n
[0]
7. limn→∞
(n−2)2
(1−4n)(n+1)
2n4−100n3
[−2]
8. limn→∞
5+(−1)n
·n
n+2
[ neexistuje ]
9. limn→∞(
√
n2 + n + 1 −
√
n2 − n)
[1]
10. limn→∞ n( a + 1
n −
√
a)
1
2
√
a
11. limn→∞
2
√
2 4
√
2 8
√
2 . . . n
√
2
(tip: součet geometrické řady)
[2]
12. limn→∞
sin(n2
+1)
n
[0]
4
MB102 Matematika II DDÚ
2.4 Limita funkce
Spočtěte limity funkcí:
1. limx→−3
x2
+2x−3
x3+4x2+3x
−2
3
2. limx→−1
x3
−2x−1
x4+2x+1
−1
2
3. limx→∞(
√
x2 − 2x − 1 −
√
x2 − 7x + 3)
5
2
4. limx→3
√
x+1−2
x2−5x+6
1
4
5. limx→0
x5
−x4
3√
1+x4−1
(tip: a3
− b3
= (a − b)(a2
+ ab + b2
))
[−3]
6. limx→∞( (x + a)(x + b) − x), a ∈ R, b ∈ R
a+b
2
7. limx→a
√
x−b−
√
a−b
x2−a2
1
4a
√
a−b
8. limx→0
√
2−
√
1+cos x
sin2 x
1
4
√
2
9. limx→0
tg x−sin x
x3
1
2
10. limx→0
e2x
−1
5x
2
5
11. limx→0
ex
−e−x
sin x
(tip: ex
− e−x
= (ex
− 1) − (e−x
− 1))
[2]
12. limx→0
arctg x
x
5
MB102 Matematika II DDÚ
(tip: substituce x = tg t (+ zaměnit x → 0 za t → . . .))
[1]
13. limx→0 x sin x
[0]
14. limx→2−
|x−2|
x−2
limx→2+
|x−2|
x−2
[−1; 1]
15. limx→−1−
1
x+1
limx→−1+
1
x+1
[−∞; ∞]
16. limx→0− e
1
x
limx→0+ e
1
x
[0; ∞]
17. * limx→∞
x+
√
x+
√
x
√
x+1
[1]
18. * limx→0
3√
1+x2− 4
√
1−2x
x2+x
1
2
19. * limx→ π
4
cos x−sin x
cos 2x
1√
2
20. * limx→∞(1 + a
x )x
, a ∈ R
(Rada: Pomožte si substitucí 1
y = a
x a vyjádřením Eulerova čísla limn→∞(1 + 1
n )n
= e. Nezapomeňte
zaměnit limx→0 za limy→....)
[ea
]
2.5 Spojitost funkce
Pozn.: Funkce f(x) je spojitá v bodě x0 ∈ R, jestliže limx→x0
f(x) = f(x0), resp. jestliže limx→x−
0
f(x) =
limx→x+
0
f(x) = f(x0).
1. Jak je nutno dodefinovat funkci f(x) = x2
−1
x3−1 v bodě x = 1, aby byla spojitá ve všech bodech x ∈ R?
f(1) = 2
3 ; tj. f(x) =
x2
−1
x3−1 x = 1
2
3 x = 1
6
MB102 Matematika II DDÚ
2. Buď f(x) =
2 cos x x ≥ 0
x+sin x
x x < 0
.
Je funkce f spojitá v bodě x = 0?
[ano]
3. Buď f(x) =
x + 1 x ≤ 1
3 − ax2
x > 1
.
Určete parametr a tak, aby byla funkce f spojitá ve všech bodech x ∈ R.
[a = 1]
4. Buď f(x) =



−2 sin x x ≤ −π
2
A sin x + B −π
2 < x < π
2
cos x x ≥ π
2
.
Určete parametry A, B tak, aby byla funkce f spojitá ve všech bodech x ∈ R.
[A = −1, B = 1]
5. Udejte příklad funkce f definované na celém R, která není spojitá v žádném bodě x ∈ R, ale její
absolutní hodnota f∗
= |f| je funkce spojitá na celém R.
[např. f(x) =
1 x ∈ Q
−1 x ∈ R − Q
2.6 Body nespojitosti
Najděte body nespojitosti a určete jejich druh:
Pozn.: Postup najdete v Teorii ke cvičení v souboru Diferenciální počet 8.
1. f(x) = x3
−x2
x−1
[x = 1 ON]
2. f(x) = ln(x+1)
|x|
[x = 0 NN 1.d.]
3. f(x) = e
1
x−3
[x = 3 NN 2.d.]
7
MB102 Matematika II DDÚ
2.7 Derivace
Zderivujte funkce:
1. y = e2x
y′
= 2e2x
2. y = (
√
x + 1)( 1√
x
+ 1)
y′
= 1
2
√
x
− 1
2
√
x3
3. y = tg x − 1
3 tg3
x + 1
5 tg5
x
y′
= 1−tg2
x+tg4
x
cos2 x
4. y = sin(sin(sin x))
[y′
= cos(sin(sin x)) · cos(sin x) · cos x]
5. y = ln(
√
1 + e2x)
y′
= e2x
1+e2x
6. y = 1+cos 2x
2
y′
= −
√
2 sin 2x
2
√
1+cos 2x
7. y = 1+cos2 x
2
y′
= −
√
2 sin x cos x
2
√
1+cos2 x
8. y = 1−ex
1+ex
y′
= − ex
(1+ex)
√
1−e2x
9. y = arctg x+1
2x+1 − π
4
y′
= − 1
2((2x+1)2+(x+1)2) arctg x+1
2x+1 − π
4
10. * y = 1
6 ln (x+1)2
x2−x+1 + 1√
3
arctg 2x−1√
3
y′
= 1
x3+1
11. * y = arcsin x√
1−x2
+ 1
2 ln 1−x
1+x
y′
= x arcsin x√
(1−x2)3
8
MB102 Matematika II DDÚ
12. * y = 1
4
√
3
ln
√
x2+2−x
√
3√
x2+2+x
√
3
+ 1
2 arctg
√
x2+2
x
y′
= 1
(x4−1)
√
x2+2
Vypočtěte n-tou derivaci funkcí:
1. y = x ln x, n = 5
y(v)
= −6x−4
2. y = x2
ex
, n = 4
y(iv)
= 12ex
+ 8xex
+ x2
ex
3. y = 1+x
1−x , n = 3
y(iii)
= 12
(1−x)4
2.8 Tečna a normála
Napište rovnici tečny a normály ke grafu funkcí v bodě x0:
1. y = tg x, x0 = π
4
t : y = 2x + 1 − π
2 , n : y = −1
2 x + 1 + π
8
2. y = 1
x2+1 , x0 = 1
t : y = −1
2 x + 1, n : y = 2x − 3
2
3. y = 2x3
+ 1, x0 = 0
[t : y = 1, n : x = 0]
4. y = 2
√
2 sin x, x0 = π
4
t : y = 2x + 2 − π
2 , n : y = −1
2 x + 2 + π
8
5. y = etg x
, x0 = 0
[t : y = x + 1, n : y = −x + 1]
9
MB102 Matematika II DDÚ
2.9 L’Hospitalovo pravidlo
Pomocí l’Hospitalova pravidla spočtěte limity funkcí:
1. limx→0
tg x
arcsin x
[1]
2. limx→0
esin 4x
−cos x
sin 2x
[2]
3. limx→0
tg x−x
x−sin x
[2]
4. limx→∞
x3
ax , a > 1
[0]
5. limx→1−
ln(1−x2
)
ln(sin πx)
[1]
6. limx→1( 1
ln x − 1
x−1 )
1
2
7. limx→0( 1
sin x − 1
ex−1 )
1
2
8. limx→1− ln x · ln(1 − x)
[0]
9. limx→∞(π
2 − arctg x) ln x
[0]
10. limx→0+ (sin x)tg x
[1]
11. limx→0+ (1
x )tg x
[1]
12. limx→0+ (ln 1
x )x
[1]
13. limx→∞( 2
π arctg x)x
e− 2
π
10
MB102 Matematika II DDÚ
14. limx→−∞(x2
−1
x2 )x4
[0]
15. limx→0(1 + 3 tg2
x)cotg2
x
e3
16. * limx→0+ x(xx
−1)
[1]
2.10 Derivace implicitně zadané funkce
Pozn.: Viz skripta str. 37-38.
1. Určete derivaci funkce zadané rovnicí y = x2
.
[y′
= 2x]
2. Určete derivaci funkce zadané rovnicí y2
= x3
+ 1.
y′
= 3x2
2y
3. Určete derivaci funkce zadané rovnicí 2y + ln y = cos x.
y′
= −y sin x
2y+1
4. Určete první a druhou derivaci funkce zadané rovnicí 3x4
− 4y3
= 1.
y′
= x3
y2 ; y′′
= 3x2
−2y(y′
)2
y2 = 3x2
y3
−2x6
y5
5. Určete rovnici tečny a normály ge grafu funkce zadané rovnicí x2
+ y2
= 25 v bodech [−3, 4], [5, 0]
a [0, 5]. Načrtněte si obrázek.
t1 : y = 3
4 x + 25
4 , n1 : y = −4
3 x; t2 : x = 5, n2 : y = 0; t3 : y = 5, n3 : x = 0
2.11 Vyšetřování průběhu funkce
2.11.1 Monotonie
Určete intervaly, na nichž je funkce f(x) rostoucí, resp. klesající:
1. f(x) = 2x
1+x2
[R : (−1, 1), K : (−∞ − 1), (1, ∞)]
2. f(x) = x2
− ln x2
[R : (−1, 0), (1, ∞), K : (−∞, −1), (0, 1)]
3. f(x) = x
ln x
[R : (e, ∞), K : (0, 1), (1, e)]
11
MB102 Matematika II DDÚ
2.11.2 Lokální extrémy
Určete lokální extrémy funkce f(x):
1. f(x) = x − 2 arctg x
max : −1, −1 + π
2 , min : 1, 1 − π
2
2. f(x) = ln cos x
[max : {[2kπ, 0] , k ∈ Z}]
3. Určete hodnotu parametru a ∈ R tak, aby funkce f(x) = a sin x + 1
3 sin 3x měla v bodě x = π
3 extrém.
[a = 2]
2.11.3 Globální extrémy
Určete globální extrémy funkce f(x) na intervalu I:
1. f(x) = x − 1 −
√
x, I = 0, 1
max : [0, −1] , [1, −1] , min : 1
4 , −5
4
2. f(x) = x + arctg x, I = −1, 1
max : 1, 1 + π
4 , min : −1, −1 − π
4
3. f(x) = x2
ln x, I = 1, e
max : e, e2
, min : [1, 0]
2.11.4 Konvexnost, konkávnost, inflexní body
Určete intervaly, na nichž jsou funkce konvexní, resp. konkávní, a určete inflexní body funkcí:
1. f(x) = x4
− 6x3
+ 12x2
− 5x + 1
[konv : (−∞, 1), (2, ∞), konk : (1, 2), infl : [1, 3] , [2, 7]]
2. f(x) = e−2x2
konv : (−∞, −1
2 ), (1
2 , ∞), konk : (−1
2 , 1
2 ), infl : −1
2 , e− 1
2 , 1
2 , e− 1
2
3. f(x) = xe−x
konv : (2, ∞), konk : (−∞, 2), infl : 2, 2e−2
12
MB102 Matematika II DDÚ
2.11.5 Asymptoty
Určete asymptoty funkcí:
1. f(x) = ex
[bs : nejsou ; ss : y = 0 pro −∞, pro +∞ není ]
2. f(x) = x3
x2−5x+6
[bs : x = 2, x = 3; ss : y = x + 5 pro ±∞]
3. f(x) = arccotg 1
x
[bs : nejsou (ani x = 0); ss : y = π
2 pro ±∞]
2.11.6 Celkový průběh funkce
Vyšetřete průběh funkcí (včetně grafu):
1. f(x) = x2
x+2
2. f(x) = (x − 1)2
e−x
3. f(x) = ln 1+x2
1−x2
(přímky v grafech značí asymptoty)
–20
–10
0
10
20
y
–20 –10 10 20
x
13
MB102 Matematika II DDÚ
–1
0
1
2
3
4
y
–2 2 4 6 8 10x
–2
0
2
4
6
8
10
y
–2 –1 1 2
x
14
MB102 Matematika II DDÚ
2.12 Diferenciál
Pomocí diferenciálu přibližně určete:
1. arccotg(1, 02)
≈ π
4 − 0, 01 ≈ 0, 7754 (f(x) = ar cotg(x), x0 = 1)]
2. sin 29o
≈ 1
2 −
√
3
2 · π
180 ≈ 0, 4849 f(x) = sin x, x0 = π
6
3.
√
5
≈ 9
4 = 2.25 (f(x) =
√
x, x0 = 4)]
2.13 Taylorův rozvoj
Napište Taylorův polynom stupně n v bodě x0 funkcí:
1. f(x) = x2
+ 1, x0 = 1, n = 5
T5(x) = 2 + 2(x − 1) + (x − 1)2
2. f(x) = 1
1+x , x0 = 0, n = 4
T4(x) = 1 − x + x2
− x3
+ x4
3. f(x) = x3
− 2x + 5, x0 = 1, n = 6
T6(x) = 4 + (x − 1) + 3(x − 1)2
+ (x − 1)3
Napište Maclaurinův rozvoj funkcí:
1. f(x) = sin x
Tn(x) = x − x3
3! + x5
5! − · · · + (−1)n−1 x2n−1
(2n−1)! + (−1)n
cos ξ x2n+1
(2n+1)!
2. f(x) = cos x
Tn(x) = 1 − x2
2! + x4
4! − · · · + (−1)n x2n
(2n)! + (−1)n
cos ξ x2n+2
(2n+2)!
3. f(x) = ln(x + 1)
Tn(x) = x − x2
2 + x3
3 − · · · + (−1)n+1 xn
n + (−1)n+2 xn+1
n+1
1
(1+ξ)n+1
15
MB102 Matematika II DDÚ
2.14 Optimalizace
1. Kladné číslo a rozložte na součet dvou nezáporných sčítanců tak, aby jejich součin byl maximální.
a = a
2 + a
2
2. Kladné číslo a rozložte na součet dvou nezáporných sčítanců tak, aby hodnota s součtu jejich n-tých
mocnin byla minimální, resp. hodnota S součinu jejich n-tých mocnin byla maximální. Určete tyto
hodnoty.
s = an
2n−1 ; S = a
2
2n
3. Určete poměr stran a, b obdélníka, pro nějž platí, že při daném obsahu má nejmenší obvod.
[a = b, tj. čtverec ]
4. Určete poměr poloměru r a výšky v rotačního válce, pro nějž platí, že při daném povrchu má největší
objem.
(Pozn.: S = 2πr2
+ 2πrv, V = πr2
v)
[v = 2r]
5. Určete rozměry válcové nádoby s víkem tak, aby při daném objemu R litrů měla co nejmenší povrch.
(Pozn.: S = 2πr2
+ 2πrv, V = πr2
v)
r = 3 R
2π dm, v = 3 4R
π dm
6. Do koule o poloměru R vepište válec s co nejmenším objemem. Určete poloměr r tohoto válce.
r = 2
3 R
7. Z plechu tvaru obdélníka o rozměrech 30 x 14 cm vyřežte krabici bez víka o maximálním objemu. Jaké
budou rozměry této krabice?
[ 24 x 8 x 3 cm ]
8. Plotem dlouhým 200 m ohraďte 3 strany obdélníkové parcely (4. stranou parcela přiléhá k plotu již
hotovému). Při jakých rozměrech bude mít parcela maximální plošnou výměru?
[ 100 x 50 m ]
9. Konstruktér plánuje vyrobit krabici tvaru kvádru (tj. má čtvercové dno a víko) o objemu V = 256
litrů, přičemž materiál na výrobu bočních stran stojí 50 Kč/m2
a materiál na výrobu dna a víka stojí
200 Kč/m2
. Určete rozměry krabice a (= délka hrany dna krabice) a b (= výška krabice) tak, aby
materiál pro její výrobu byl co nejlevnější. Kolik bude stát taková krabice?
[a = 40 cm, b = 160 cm; cena: 192 Kč]
16
MB102 Matematika II DDÚ
2.15 Jednoduché slovní úlohy s derivacemi
1. Dívka pouští draka ve výšce 120 m nad zemí. Vítr draka unáší od dívky ve vodorovném směru rychlostí
10 m/s. Jakou rychlostí musí dívka odvíjet provaz v okamžiku, kdy je od ní drak 200 m daleko?
[8 m/s]
2. Z pásového dopravníku padá písek rychlostí 10 m3
/min na hromadu ve tvaru kužele. V každém okamžiku
platí, že výška tohoto kužele odpovídá 3
8 průměru podstavy. Jak rychle se mění
a/ výška hromady,
b/ poloměr podstavy hromady
v okamžiku, kdy je aktuální výška kužele 4 m? Odpovědi udejte v cm/min.
[11, 2 cm/min; 14, 9 cm/min]
3. Balón tvaru koule je nafukován héliem rychlostí 40π m3
/min. Jak rychle se zvětšuje poloměr balónu
v okamžiku, kdy je jeho hodnota rovna 2 m? Jak rychle roste jeho povrch?
2, 5 m/min; 40π m2
/min
4. Lampa na sloupu veřejného osvětlení svítí ve výšce 20 m nad zemí. Ve stejné výšce ve vzdálenosti 12 m
od lampy je puštěn k zemi balónek. Jak rychle se pohybuje stín balónku 1 sekundu poté? Použijte
hodnotu gravitační zrychlení 10 m/s
2
, tj. vzdálenost balónku od místa puštění v čase t je rovna 5 t2
.
[96 m/s]
5. Hodiny s dvanáctihodnovým ciferníkem ukazují čas 12:20. Jak rychle se v tomto okamžiku mění vzdálenost
konce minutové ručičky od horního okraje ciferníku (značka 12 hodin), je-li poloměr hodin 12 cm?
Předpokládáme, že tvar ciferníku je ideálního kruh a konec minutové ručičky se dotýká jeho okraje.
[π cm/h]
6. Jaká je rychlost klesání hladiny kapaliny uvnitř válcové nádrže o poloměru podstavy r metrů při
rovnoměrném vypouštění, když za 1 minutu vyteče 3000 l kapaliny?
3
πr2 m/min
7. Vrtulník dálniční hlídky letí 3 km nad rovnou silnicí rychlostí 120 km/h. Pilot zaměří radarem auto
jedoucí proti směru letu vrtulníku a naměří, že auto se při vzdušné vzdálenosti 5 km od vrtulníku
k němu přibližuje rychlostí 160 km/h. Spočítejte rychlost auta.
[80 m/min]
8. O dům je opřený žebřík dlouhý 13 stop (ft). Náhle základna žebřku podklouzne a žebřík začne sjíždět
k zemi (stále zůstává opřený o dům). Když je základna žebříku 12 stop od domu, klouže od něj rychlostí
5 ft/s. Jak rychle v tomto okamžiku
a/ klesá vršek žebříku po zdi,
b/ se mění obsah trojúhelníka vymezeného žebříkem, domem a zemí,
c/ se mění úhel, který svírá žebřík se zemí?
12 ft/s; −59, 5 ft2
/s; −1 rad/s
17
MB102 Matematika II DDÚ
3 Integrální počet
3.1 Primitivní funkce
Spočtěte integrály:
1. 3 + x2
dx
3x + x3
3 + c
2. (1 − 1
x2 ) x
√
x dx
4
7 x
7
4 + 4x− 1
4 + c
3.
√
x−2x
x3
+3x2
x3 dx
−2
3 x− 3
2 − 2x
ln 2 + 3 ln x + c
4. 2x+1
−5x−1
10x dx
2
( 1
5 )x
ln 1
5
− 1
5
( 1
2 )x
ln 1
2
+ c
5. e2x
dx
1
2 e2x
+ c
6. sin kx dx
−1
k cos kx + c
7. cos 2x
cos2 x dx
(Pozn.: cos 2x = cos2
x − sin2
x.)
[2x − tg x + c]
8. 1+cos2
x
1+cos 2x dx
1
2 (tg x + x) + c
9. 2 sin2 x
2 dx
(Pozn.: sin2
z = 1−cos 2z
2 .)
[x − sin x + c]
10. sin 6x cos 2x dx
(Pozn.: sin a cos b = 1
2 (sin(a + b) + sin(a − b)).)
− 1
16 cos 8x − 1
8 cos 4x + c
11. tg x dx
[− ln |cos x| + c]
18
MB102 Matematika II DDÚ
12. x
x2+a2 dx
1
2 ln x2
+ a2
+ c
13. ( 5
2
√
x2−3
− (2
3 )x
) dx
5
2 ln x +
√
x2 − 3 −
( 2
3 )x
ln 2
3
+ c
3.2 Metoda Per partes
Spočtěte integrály:
1. (x2
+ x)ex
dx
ex
(x2
− x + 1) + c
2. x3
e2x
dx
e2x
(1
2 x3
− 3
4 x2
+ 3
4 x − 3
8 ) + c
3. (x3
+ x2
)3x
dx
3x
(x3
+x2
ln 3 − 3x2
+2x
ln2 3
+ 6x+2
ln3 3
− 6
ln4 3
) + c
4. x cos 2x dx
x
2 sin 2x + 1
4 cos 2x + c
5. arctg x dx
x arctg x − 1
2 ln 1 + x2
+ c
6. ex
cos x dx
1
2 ex
(cos x + sin x) + c
7. e2x
sin x dx
1
5 ex
(2 sin x − cos x) + c
8. sin2
x cos x dx
1
3 sin3
x + c
9. x2
ln x dx
x3
9 (3 ln x − 1) + c
10. ln2
x
x2 dx
−ln2
x+2 ln x+2
x + c
11. cos2
x dx
1
2 (x + cos x sin x) + c
19
MB102 Matematika II DDÚ
3.3 Substituční metoda
Spočtěte integrály (PP ve výsledcích znamená použití metody Per partes):
1. xex2
dx
1
2 ex2
+ c; t = x2
2. dx
x ln2 x
− 1
ln x + c; |t = ln x|
3. x2 3
√
1 + x3 dx
1
4
3
(1 + x3)4 + c; t = 1 + x3
4. x2
cos x3
dx
sin x3
3 + c; t = x3
5. arccos2
x√
1−x2
dx
−arccos3
x
3 + c; |t = arccos x|
6. sin5
x cos5
x dx
sin6
x
6 − sin8
x
4 + sin10
x
10 + c; |t = sin x| nebo −cos6
x
6 + cos8
x
4 − cos10
x
10 + c; |t = cos x|
7. sin2
x
cos4 x dx
tg3
x
3 + c; |t = tg x|
8. x2
arccos x dx
x3
3 arccos x − 1
3
√
1 − x2 + 1
9 (1 − x2)3 + c; PP + t = 1 − x2
9. arccos x dx
x arccos x −
√
1 − x2 + c; PP + t = 1 − x2
10. 1√
a2−x2
dx
arcsin x
a + c; t = x
a
11. 1
x2+9 dx
1
3 arctg x
3 + c; t = x
3
12. − 1√
16−x2
dx
arccos x
4 + c; t = x
4
13.
√
a2 − x2 dx
a2
2 (arcsin x
a + x
a 1 − (x
a )2) + c; |x = a sin t|
14. arctg
√
x dx
(x + 1) arctg
√
x −
√
x + c; x = t2
+ PP
20
MB102 Matematika II DDÚ
3.4 Integrování racionálních lomených funkcí
Spočtěte integrály:
1. x
x3−x2−4x+4 dx
−1
3 ln |x − 1| − 1
6 ln |x + 2| + 1
2 ln |x − 2| + c
2. cos x
sin2 x+6 sin x+5
dx
1
4 ln |1 + sin x| − 1
4 ln |5 + sin x| + c; nejdříve substituce t = sin x]
3. x4
+6x2
+x−2
x4−2x3 dx
x − 1
2x2 − 3 ln |x| + 5 ln |x − 2| + c
4. x2
+x+1
x3+x dx
[ln |x| + arctg x + c]
5. x2
x2+1 dx
[x + arccotg x + c]
6. 2x3
+8x2
+12x+1
x2+4x+6 dx
x2
+ 1√
2
arctg x+2√
2
+ c
7. 4x−10
x2−6x+25 dx
2 ln x2
− 6x + 25 + 1
2 arctg x−3
4 + c
8. 4x−5
x2+4x+7 dx
2 ln x2
+ 4x + 7 + 13√
3
arccotg x+2√
3
+ c
9. x4
+1
x3−x2+x−1 dx
x2
2 + x + ln |x − 1| − 1
2 ln x2
+ 1 + arccotg x + c
10. 2x5
−7x4
+11x3
−24x2
+27x−16
x4−3x3+3x2−8x+12 dx
x2
− x + ln |x − 2| +
√
11
x+ 1
2
+ 1
2 ln x2
+ x + 3 + 1√
11
arctg( 2√
11
(x + 1
2 )) + c
11. * 2x+4
(x2+2x+5)2 dx
x−3
4(x2+2x+5) + 1
8 arctg x+1
2 + c
12. * 2x−1
(x2+x+1)2 dx
− 4
3 x− 5
3
x2+x+1 − 8
3
√
3
arctg 2x+1√
3
+ c
21
MB102 Matematika II DDÚ
3.5 Riemannův integrál
Spočtěte určité integrály:
1.
3
−1
3
√
x dx
9 3√
3−3
4
2.
2
0
e2x
dx
1
2 e4
− 1
2
3.
0
−1
1√
9−9x2
dx
π
6
4.
1
0
x arctg x dx
π
4 − 1
2
5.
1
0
x2
ex
dx
[e − 2]
6.
1
0
x
ex dx
(tip: x
ex = x 1
ex = xe−x
+ PP)
1 − 2
e
7.
e
1
ln x dx
[1]
8.
0
−π
sin2
x dx
π
2
9.
1
0
arcsin x dx
π
2 − 1
10.
1
0
arccos x dx
[1]
11.
2
1
ln x
x dx
ln2
2
2
12.
1
0
x2
x2+1 dx
1 − π
4
22
MB102 Matematika II DDÚ
13.
π
4
0
tg2
x dx
1 − π
4
14.
π
−π
sin3
x cos3
x dx
[0]
15.
1
0
√
x
(1+ 3
√
x)2 dx
167
10 − 21π
4
16.
1
−1
f(x) dx, f(x) =
0 x = 0
1 x = 0
(Rada: Rozdělte si integrál na dva, podle vzorečku o záměně součtu integrálů přes sousedící intervaly
za integrál přes součet těchto dvou intervalů. Integrál přes ”jednobodový interval” I = 0 je roven nule,
proto se nemusíte bát tento bod vypustit a zbydou integrály přes −1, 0) a (0, 1 z konstantní funkce.)
[2]
17.
2
−1
sgn(x) dx
[3]
3.6 Aplikace integrálu
3.6.1 Plocha mezi grafy
1. Určete obsah podgrafu funkce y = 1 na intervalu 1, 2 .
(Pozn.: Podgraf je omezen shora grafem funkce a zdola osou x.)
[1]
2. Určete obsah podgrafu funkce y = |x| na intervalu −1, 1 .
[1]
3. Určete obsah nadgrafu funkce y = −x na intervalu 0, 1 .
(Pozn.”’ Plocha musí být kladná, proto musíme počítat ”− ”. Nadgraf je omezen shora osou x.)
1
2
4. Určete velikost plochy omezené grafem funkce y = cos x a osou x na intervalu −π
2 , 3π
2 .
[4]
5. Určete velikost plochy určené grafy funkcí y = 2x
, y = 2 a přímkou x = 0.
2 − 1
ln 2
6. Určete velikost plochy sevřené mezi grafy funkcí y = 2x − x2
a y = x2
− 2x.
8
3
7. Určete velikost plochy sevřené mezi grafy funkcí y = x a y = x3
.
1
2
23
MB102 Matematika II DDÚ
3.6.2 Délka křivky
1. Určete délku jednotkové půlkružnice.
(Pozn.: Parametrizace t → [cos t, sin t], t ∈ 0, π .)
[π]
2. Určete délku oblouku cykloidy t → t − 1
2 sin(2t), 1 − 1
2 cos(2t) , t ∈ 0, π .
(Pozn.: cos(2t) = cos2
t − sin2
t.)
[4]
3. Určete délku asteroidy t → cos3
t, sin3
t , t ∈ 0, 2π .
(Pozn.: Počítejte jako 4x délka jednoho oblouku pro t ∈ 0, π
2 .)
[6]
4. Určete délku grafu funkce y = 3 na intervalu −10, 10 .
[20]
5. Určete délku grafu funkce y = 2
3 x
√
x na intervalu 0, 2 .
2
√
3 − 2
3
6. Určete délku grafu funkce y = x mezi body [0, 0] a
√
2,
√
2 .
[2]
7. * Určete délku grafu funkce y = ln x na intervalu
√
3,
√
8 .
1 + 1
2 ln 3
2
3.6.3 Objem rotačního tělesa
1. Určete objem rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce y = cos x kolem osy x na intervalu 0, π
2 .
π2
4
2. Určete objem rotačního válce o výšce 10 a poloměru 2.
[40π]
3. Určete objem koule o poloměru 3.
(Pozn.: y =
√
r2 − x2.)
[36π]
24
MB102 Matematika II DDÚ
3.6.4 Povrch pláště rotačního tělesa
1. Určete povrch pláště rotačního tělesa vzniklého rotací grafu funkce y = x kolem osy x na intervalu
−1, 1 .
2
√
2π
2. Určete povrch koule o poloměru r.
4πr2
3.7 Nevlastní integrály
Spočtěte integrály:
Pozn.: Postup najdete v Teorii ke cvičení v souboru Integrální počet 6.
1.
∞
a
1
x2 dx, a > 0
1
a
2.
∞
1
1√
x
dx
[∞]
3.
1
0
ln x dx
[−1]
4.
∞
−∞
1
1+x2 dx
[π]
5.
1
−1
1√
1−x2
dx
[π]
6.
∞
2
2
x2+x−2 dx
2
3 ln 2
7.
∞
0
e−ax
dx, a > 0
1
a
8.
∞
0
x sin x dx
[∞]
9.
∞
−∞
1
(x2+x+1)2 dx
4π
3
√
3
25
MB102 Matematika II DDÚ
4 Nekonečné řady
4.1 Nekonečné číselné řady
Určete součet těchto řad:
1.
∞
n=1
1
(2n−1)(2n+5)
23
90
2.
∞
n=1
1
(3n−2)(3n+1)
1
3
3.
∞
n=1(
√
n + 2 − 2
√
n + 1 +
√
n)
1 −
√
2
4.
∞
n=0(−1)n+1 2n
3n
−3
5
5.
∞
n=1(−1)n−1 2n
3n
2
5
6.
∞
n=1 2n
[ diverguje k +∞ ]
7. *
∞
n=1
n
2n
[2]
8.
∞
n=0
1
2n + 2
3n
[5]
9.
∞
n=1
2n
−3n
4n
[−2]
10.
∞
n=0
5·4n
−3n+1
6n
[9]
Můžou následující řady konvergovat?
1.
∞
n=1
1
arctg n
[ne]
2.
∞
n=0
n2
2n
[ano]
3.
∞
n=1
n2
2n2+1
[ne]
26
MB102 Matematika II DDÚ
4.2 Nekonečné řady s nezápornými členy
Pomocí srovnávacího kritéria rozhodněte o konvergenci řad:
1.
∞
n=1
1√
n
[ D (např. 1
n ) ]
2.
∞
n=1
1
(n+1)(n+4)
[ K (např. 1
n2 ) ]
3.
∞
n=1
1
ln(n+1)
(tip: ln(n + 1) ≤ n)
[ D (např. 1
n )
Pomocí integrálního kritéria rozhodněte o konvergenci řad:
1.
∞
n=1
ln n
n2
[ K ]
2.
∞
n=2
1
n lna n , a > 0, a ∈ R
[ K pro a > 1; D pro a ≤ 1]
Pomocí podílového kritéria rozhodněte o konvergenci řad:
1.
∞
n=1
(n!)2
(2n)!
[ K ]
2.
∞
n=1
2n
n
[ D ]
3.
∞
n=1
4n−3√
n(
√
3)n
[ K ]
4.
∞
n=1
en
(n+1)!
[ K ]
Pomocí odmocninového kritéria rozhodněte o konvergenci řad:
1.
∞
n=1
n2
(2+ 1
n )n
[ K ]
2.
∞
n=1
an
n , a > 0, a ∈ R
[ K pro a < 1, D pro a > 1 ]
3.
∞
n=1( a
arctg n )n
, a > 0, a ∈ R
[ K pro a < Π
2 , D pro a > Π
2 ]
27
MB102 Matematika II DDÚ
4.3 Alternující číselné řady
Rozhodněte o konvergenci alternujících řad:
1.
∞
n=1
(−1)n√
n
n+100
[K]
2.
∞
n=1
(−1)n
n
√
n
[D]
3.
∞
n=1(−1)n−1 1
n−ln n
[K]
4.4 Absolutně a relativně konvergentní řady
Rozhodněte o absolutní a relativní konvergenci řad:
1.
∞
n=1(−1)n 1√
n
[KN]
2.
∞
n=0(−1)n n
2n
[KA]
3.
∞
n=2
(−1)n
n ln n
[KN]
4.
∞
n=0(−1)n+1 n
6n−5
[D]
5.
∞
n=1
cos nπ
n!
(tip: |cos nπ = 1|)
[KA]
6.
∞
n=0
√
9n+1√
4n+1
[D]
Určete, pro která a ∈ R řady konvergují absolutně, relativně, divergují:
1. *
∞
n=1
(a)n
n
[ KA pro |a| < 1; KN pro x = −1; D pro |a| > 1 a x = 1 ]
28
MB102 Matematika II DDÚ
4.5 Mocninné řady
Určete poloměr a obor konvergence mocninných řad:
1.
∞
n=1(−1)n+1 xn
n
[R = 1; I = (−1, 1]]
2.
∞
n=1
n+1
n xn
[R = 1; I = (−1, 1)]
3.
∞
n=1
xn−1
n3n−1
[R = 3; I = [−3, 3)]
4.
∞
n=1 n2
(x + 2)n
[R = 1; I = (−3, −1)]
5.
∞
n=1
n!
an2 xn
, a > 1
[R = ∞; I = (−∞, ∞)]
6.
∞
n=0 n! xn
[R = 0; I = {0}]
7.
∞
n=1
2n
n!
(2n)! x2n
[R = ∞; I = (−∞, ∞)]
Určete poloměr konvergence a součet mocninných řad:
1.
∞
n=1(−1)n
(2n + 1)x2n
R = 1; 1−x2
(1+x2)2
2.
∞
n=1(n)2
xn−1
R = 1; 1+x
(1−x)3
3.
∞
n=1(−1)n−1 xn
n
[R = 1; ln(1 + x)]
4.
∞
n=1
x4n−1
4n−1
R = 1; 1
4 ln 1+x
1−x − 1
2 arctan x
5.
∞
n=1(−1)n+1 xn+1
n(n+1)
[R = 1; ln(x + 1) − x]
29
MB102 Matematika II DDÚ
Pomocí součtu mocninné řady určete součet číselných řad:
1.
∞
n=1 n2
(1
4 )n−1
80
27
2.
∞
n=1(−1)n−1 1
n
[ln 2]
3.
∞
n=1
1
n2n
[ln 2]
4.6 Taylorova a Maclaurinova řada
Rozviňte následující funkce do Maclaurinovy řady a určete jejich obor konvergence:
1. f(x) = e
x
2
∞
n=0
xn
2nn! ; x ∈ R
2. f(x) = x2
ex
∞
n=0
xn+2
n! ; x ∈ R
3. f(x) = (1 + x)e−x
∞
n=0(−1)n xn
+xn+1
n! ; x ∈ R
4. f(x) = sin x2
∞
n=0(−1)n x4n+2
(2n+1)! ; x ∈ R
5. f(x) = ln 1+x
1−x
(tip: ln a
b = ln a − ln b)
2
∞
n=1
x2n−1
2n−1 ; |x| < 1
6. f(x) = arccotg x
∞
n=0(−1)n+1 x2n+1
2n+1 ; |x| ≤ 1
7. f(x) = 1
3−2x
1
3
∞
n=0(2
3 x)n
; |x| < 3
2
8. f(x) = 1
x2−1
−
∞
n=0 x2n
; |x| < 1
30
MB102 Matematika II DDÚ
9. f(x) = 1
2x2−6x+4
1
4
∞
n=0(2 − 1
2n )xn
; |x| < 1
Rozviňte následující funkce do Taylorovy řady se středem v bodě x0. Postupujte podle definice (přes
derivace funkce f).
1. f(x) = 1
x , x0 = 3
∞
n=0(−1)n (x−3)n
3n+1
2. f(x) = ex
, x0 = −2
e−2 ∞
n=0
(x+2)n
n!
3. f(x) = ln x, x0 = 1
∞
n=1(−1)n+1 (x−1)n
n
31
MB102 Matematika II DDÚ
5 Elementární diferenciální rovnice
Rozhodněte, zda je funkce y pro x ∈ I řešením dané diferenciální rovnice:
1. (
√
1 + x2)y′′
− x3
(y′
)2
+ x = 0, y = ln(
√
1 + x2 + x), I = R
[ano]
2. (y′
)2
+ cos(2x)y′′
= 4, y = ln cotg x, I = (0, π
4 )
[ne]
3. (1 + x)y′′
+ y′
= 0, y = ln
√
1 − x2 +
x
0
1
1−t2 dt, I = (−1, 1)
[ano]
5.1 Diferenciální rovnice 1. řádu
5.1.1 Diferenciální rovnice se separovanými proměnnými
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= − xy
x+1
[y = C(x + 1)e−x
, C ∈ R]
2. y − y2
+ xy′
= 0
y = 1
1−Cx , C ∈ R; y = 0
3. e−y
(1 + y′
) = 1
[e−y
= 1 − Cex
, C ∈ R]
4. y′
= ex−y
[ey
= ex
+ C, C ∈ R]
5. x(1 + y2
) dx + y(1 + x2
) dy = 0
y2
= C(1 + x2
) − 1, C ∈ R+
Vyřešte diferenciální rovnice s počáteční podmínkou:
1. 2y − x3
y′
= 0, y(1) = 1
y = e1− 1
x2
2. y′
tg x − y2
= 1 − 2y, y(π
2 ) = 1
2
y = 1 − 1
2+ln|sin x|
32
MB102 Matematika II DDÚ
3. sin y cos x dy = cos y sin x dx, y(0) = π
4
y = arccos cos x√
2
Vyřešte homogenní diferenciální rovnice:
1. xy′
+ y ln x = y ln y
y = xeCx+1
, C ∈ R
2. y′
= x+y
x−y
arctg y
x = ln Cx 1 + y2
x2 ), C ∈ R
3. (y2
− x2
) dx = 2xy dy
y2
= −x2
+ Cx, C ∈ R
5.1.2 Lineární diferenciální rovnice 1. řádu
Vyřešte diferenciální rovnice:
1. y′
= −2y
y = Ce−2x
, C ∈ R
2. y′
= −2y + 6x
y = 3x − 3
2 + Ce−2x
, C ∈ R
3. y′
cos x = (y + 2 cos x) sin x
y = sin2
x+C
cos x , C ∈ R
4. x dy + (x2
− y) dx = 0
y = −x2
+ Cx, C ∈ R
Vyřešte diferenciální rovnice s počáteční podmínkou:
1. y′
= 4xy + (2x + 1)e2x2
, y(0) = 1
y = (x2
+ x + 1)e2x2
2. y′
− 4y = cos x, y(0) = 1
y = 1
17 sin x − 4
17 cos x + 21
17 e4x
Vyřešte Bernoulliho diferenciální rovnice:
1. y′
= 2xy + 2x3
y2
33
MB102 Matematika II DDÚ
y = 1
( 3
2 −x2)ex2
+(1+e−x2
)C
, C ∈ R
2. 3x2
y′
+ xy = y−2
y3
= ln|x|+C
x , C ∈ R
3. y′
= 4
x y + x
√
y
y = x4
(ln |x| + C)2
, C ∈ R
4. y dy = (ay2
x2 + b
x2 ) dx, a = 0
y2
= − b
2a + Ce− 2a
x , C ∈ R
Záměnou proměnných vyřešte diferenciální rovnice:
1. (xy + x2
y3
)y′
= 1
x = 1
2−y2+Ce−
y2
2
, C ∈ R
2. 2y dx + (y2
− 4x) dy = 0
x = (−1
2 ln |y| + C)y2
, C ∈ R
5.2 Aplikace lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
1. Stroncium 90
Sr má poločas rozpadu 29 let. V zamořené oblasti byla zjištěna koncentrace (množství)
stroncia v povrchové vrstvě půdy na úrovni 2, 5-násobku bezpečnostní hranice. Jak dlouho bude trvat,
než úroveň zamoření poklesne alespoň na povolenou bezpečnostní hranici?
Q0
2,5 = Q0 · e− ln 2
29 t
; t = 38 let
2. Popálenina kůže velikosti A0 = 9 cm2
se bude hojit tak, že její plocha klesá s časem jako funkce A = A(t)
(A je v cm2
, t je ve dnech), přičemž pro proces hojení lze předpokládat závislost A′
(t) = −0, 9e−0,1t
.
Jak velká bude popálenina po 5 dnech hojení?
A(5) = 5, 5 cm2
3. První měsíc růstu rostliny bavlníku je jeho okamžitá rychlost W′
(t) = 0, 21W(t), kde W(t) je dosažená
hmotnost (mg) rostliny v čase t (dny). Jestliže tedy na začátku měsíce váží taková rostlinka 70 mg,
kolik bude vážit na konci tohoto měsíce?
[W(30) = 38120 mg]
4. Plná nádrž o objemu 1000 l obsahuje mořskou vodu o koncentraci soli 30 g/l. Do nádrže přitéká
rychlostí 1 l/min zředěná mořská voda o koncentraci c = 20 g/l. Po důkladném promíchání vytéká
z nádrže roztok rychlostí 2 l/min. Určete množství soli (v g) v nádrži v libovolném čase t a koncentraci
soli v nádrži (v g/l) v okamžiku, když nádrž bude z poloviny plná.
Q(t) = t2
100 − 40t + 30000; C(500) = 25 g/l
34