Definice 1. Cyklus délky 2 se nazývá transpozíce.
Příklad 1. Rozložte cyklus (15762) na součin transpozic. Jsou víceméně dvě možnosti: (15762) = (15) o (57) o (76) o (62) nebo (15762) = (62) o (72) o (52) o (12).
Příklad 2. Uvažme množinu G = (IR \ {0}) x IR. Definujeme (a, b)a(c, d) = (ac, ad + b).
Skutečně se jedná o operaci na G. (Jediný problém by byl, kdyby bylo ac = 0. To by znamenalo, že je a = 0 nebo c = 0, což z definice G jsou nenulová čísla.)
Operace je asociativní:
((■u, v)a(w, x))a(y, z) = (uw, ux + v)a(y, z) = (uwy, uwz + (ux + v)) =
(uwy, u(wz + x) + v) = (u, v)a(wy, wz + x) = (u, v)a((w, x)a(y, z)).
Dále hledejme neutrální prvek, označme jej (e, /). Protože je neutrální, splňuje pro všechna (u,v):
(u,v) = (u,v)a(e,f) = (ue,uf + v).
Protože dvě uspořádané dvojice jsou stejné, právě když mají stejné složky, musí platit u = ue a zároveň v = uf + v. Tuto soustavu o neznámých e a / vyřešíme: e = 1, / = 0. Tím jsme našli kandidáta na neutrální prvek, musíme však ověřit, že jím (e, /) = (1, 0) skutečně je:
(u, v)a(l, 0) = (u ■ 1, u ■ 0 + v) = (u, v),
(1, 0)A(u, v) = (1 • u, 1 • v + 0) = (u, v).
Abychom ukázali, že (G,a) je grupa, zbývá k libovolnému prvku (u,v) najít inverzi, kterou označíme (p,q). Předpokládáme, že (p,q) je inverze, a proto platí:
(1,0) = (u,v)a(p,q) = (up,uq + v).
Opět porovnáním prvních složek musí být 1 = up a druhých složek je 0 = uq + v. Nezapomeňme, že hledáme dvojici (p,q). Z rovnic vidíme, že je p = ^ a q = (Všimněme si, že zde je potřeba, aby bylo íi^Oa vidíme, že je p ^ 0, tedy (p, q) je skutečně prvkem z G.) Našli jsme tak kandidáta, který by mohl být inverzním prvkem, a to skutečně je:
(u,v)a(-,—) = (u--,u- — + v) =(1,0),
(-,—)a(u,v)= (-.u,--v + —) =(1,0). Zbývá se zamyslet, jestli je grupa (G,a) komutativní. Počítejme
(u, v)a(w, x) = (uw, ux + v),
(w, x)a(u, v) = (wu, wv + x).
První složky jsou zřejmě stejné, zatímco druhé složky jsou volbou u = 1, i = 1, » = 1 a w = 2 různé. Daná operace není komutativní.
1
Příklad 3. Doplňte tabulku operace <8> tak, aby byla asociativní.
®	a	b	c
a	b	a	c
b			
c			
Počítejme tedy další součiny: 6 (g> a = (a® a) <8> a = a <8> (a <8> a) = a®b = a. Využili jsme jen asociativitu (přezávorkování) a to, že už víme, že je b = a <8> a a úplně na konci výpočtu ze zadané tabulky víme, že je a <8> 6 = a.
Podobně je 6<S>& = &<E> (a<E>a) = (6<E>a) <E>a = a<E>a = 6. Úplně stejným trikem je 6® c = c.
Dále trochu obtížněji platí c(g>a = (6 <8> c) <S> a = 6 <E> (c <S> a) a zároveň c®a= (a®c)®a = a <8> (c <8> a), tedy a <8> x = 6 (g) x. Takové x je jediné x = c. Tedy je c (g) a = c.
Nakonec po všech výpočtech je tabulka:
0	a	b	c
a	b	a	c
b	a	b	c
c	c	c	c
Příklad 4. Najděte podmínku, kterou musí splňovat prvky z G = {a + b\/5 | a, b £ Q}, aby (G, ■) byla grupa. (• je obvyklé násobení reálných čísel a G je podmnožina G omezená hledanou podmínkou.)
2