Dodatek ke třetímu cvičení
Derivace polynomu je (jedná se o derivaci
součinu).
Při hledání násobných kořenů polynomu √ √ , jsme došli k tomu, že
je √ . Otázka je jaké kořeny má polynom třetího stupně . Uvažme, že by měl tři
různé kořeny, které nejsou rovny √ . Pak by polynom měl každý z těchto kořenů dvojnásobný a
navíc by měl kořen √ . To by znamenalo, že je stupně 7, ale on je stupně 4, tedy takto to byt nemůže.
Uvažme, že by polynom měl tři stejné kořeny kořeny, které nejsou rovny √ . Pak by polynom
měl tentýž kořen čtyřnásobný a navíc by měl kořen √ . To by znamenalo, že je stupně 5, ale on je
stupně 4, tedy takto to také být nemůže. Jediná možnost, která je možná pro kořeny , je že má
trojnásobný kořen √ , tj. √ .
Příklad: Ukažte, že polynom nemá násobné kořeny.
Příklad: Najděte všechny ireducibilní polynomy stupně 4 nad .