První sada domácích úloh k přednášce Matematika IV
Příklad 1. Rozhodněte o následujících množinách a operacích, jaké tvoří struktury (grupoid, pologrupa,
zda existují levé (pravé) neutrální prvky, grupa):
1. podmnožiny množiny přirozených čísel spolu s operací sjednocení,
2. kladná reálná čísla s operací , kde x y := xy
,
3. množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad R spolu se sčítáním,
4. množina všech matic 2 × 2 nad R spolu s násobením matic,
5. množina všech matic 2 × 2 nad R spolu s odčítáním matic,
6. množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad Z2 s násobením matic,
7. množina všech invertibilních matic 2 × 2 nad R spolu se sčítáním matic,
8. množina Z spolu s operací odčítání,
9. množina Z8 spolu s operací násobení (modulo 8).
Svá tvrzení zdůvodněte (proč je něco např. pouze grupoid a není pologrupa . . . ).
Příklad 2. Určete grupu symetrií pravidelného čtyřstěnu (popište všechny symetrie). Kolik má
prvků? Je tato grupa komutativní? Je izomorfní (tzn. až na pojmenování prvků stejná) nějaké
známé grupě?
Příklad 3. Rozložte na součin transpozic následující permutaci:
σ =
1 2 3 4 5 6 7 8 9
8 6 2 7 1 3 9 4 5
Spočtěte σ2012
.