Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Drsná matematika IV – 2. přednáška
Elementární teorie grup
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
27. 2. 2012
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Homomorfismy grup
3 Rozklady podle podgrup
4 Normální podgrupy
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Homomorfismy grup
3 Rozklady podle podgrup
4 Normální podgrupy
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného přednášejícího, GOOGLE,
atd.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Kde je dobré číst?
vlastní poznámky, texty současného přednášejícího, GOOGLE,
atd.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
bude doplněno . . . ...
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Homomorfismy grup
3 Rozklady podle podgrup
4 Normální podgrupy
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
připomenutí:
pologrupa (G, ·) je množina G s binární operací ·
grupa (G, ·) je pologrupa s jednotkou, ve které má každý
prvek inverzi
komutativní grupa, resp. komutativní pologrupa, je taková,
kde je operace · komutativní.
Je-li (A, ·) grupa (případně pologrupa), pak její podmnožinu
B ⊂ A, která je uzavřená vůči zúžení operace · a zároveň je
spolu s touto operací grupou, nazýváme podgrupa v (A, ·).
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Definition
Zobrazení f : G → H mezi dvěmi grupami G a H se nazývá
homomorfismus grup, jestliže respektuje násobení, tj. pro všechny
prvky a, b ∈ G platí
f (a · b) = f (a) · f (b).
Povšimněme si, že násobení vlevo je uvnitř grupy G předtím, než
zobrazujeme, zatímco vpravo jde o násobení v H poté, co
zobrazujeme.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
5 je-li f zároveň bijekcí, pak i inverzní zobrazení f −1 je
homomorfismus.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Přímo z definice se snadno ověří následující vlastnosti
homomorfismů:
Theorem
Pro každý homomorfismus f : G → H grup platí
1 obraz jednotky e ∈ G je jednotka v H
2 obraz podgrupy K ⊂ G je podgrupa f (K) ⊂ H.
3 vzorem f −1(K) ⊂ G podgrupy K ⊂ H je podgrupa.
4 obraz inverze k prvku je inverzí obrazu. tj. f (a−1) = f (a)−1.
5 je-li f zároveň bijekcí, pak i inverzní zobrazení f −1 je
homomorfismus.
6 f je injektivní zobrazení právě, když f −1(e) = {e}.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Definition
Podgrupa f −1(e) jednotkového prvku e ∈ H se nazývá jádro
homomorfismu f a značíme ji ker f . Bijektivní homomorfismus grup
nazýváme izomorfismus.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Definition
Podgrupa f −1(e) jednotkového prvku e ∈ H se nazývá jádro
homomorfismu f a značíme ji ker f . Bijektivní homomorfismus grup
nazýváme izomorfismus.
Z předchozích tvrzení okamžitě vyplývá, že homomorfismus
f : G → H s triviálním jádrem je izomorfismem na obraz f (G).
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
(2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka je izomorfní s
grupou permutací Σ3. Zvolíme-li realizaci Σ3 tak, že za množinu tří
prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým
symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(1) Pro každou grupu permutací G = Σn jsme definovali zobrazení
sgn : Σn → Z2 přiřazující permutaci její paritu. Jde o
homomorfismus grup. Jádrem tohoto homomorfismu jsou
permutace se sudou paritou.
(2) Grupa symetrií rovnostranného trojúhelníka je izomorfní s
grupou permutací Σ3. Zvolíme-li realizaci Σ3 tak, že za množinu tří
prvků pro permutace vezmeme vrcholy trojúhelníka a jednotlivým
symetriím přiřadíme permutace těchto vrcholů, které vyvolají.
(3) Zobrazení exp : R → R+ (nebo C → C \ 0), je homomorfismus
aditivní grupy reálných nebo komplexních čísel na multiplikativní
grupu kladných reálných čísel, resp. na multiplikativní grupu všech
nenulových komplexních čísel. V případě reálných čísel jde o
izomorfismus. Pro komplexní čísla dostáváme netriviální jádro 2kπi,
k ∈ Z.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z
K přiřazuje nějaký skalár v K (pracovali jsme s K = Z, Q, R, C).
Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic
det(A · B) = (det A) · (det B) je tvrzením, že pro grupu
G = GL(n, K) invertibilních matic je det : G → K \ 0
homomorfismem grup.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(4) Determinant matice je zobrazením, které každé matici skalárů z
K přiřazuje nějaký skalár v K (pracovali jsme s K = Z, Q, R, C).
Cauchyova věta o determinantu součinu čtvercových matic
det(A · B) = (det A) · (det B) je tvrzením, že pro grupu
G = GL(n, K) invertibilních matic je det : G → K \ 0
homomorfismem grup.
(5) Pro každé dvě grupy G, H definujeme součin grup G × H
takto: Jako množina je G × H skutečně součin a násobení
definujeme po složkách. tj. (a, x) · (b, y) = (a · b, x · y). Zobrazení
pG : G × H (a, x) → a ∈ G, pH : G × H (a, x) → x
jsou surjektivní homomorfismy s jádry
ker pG = {(eG , x); x ∈ H} ker pH = {(a, eH); a ∈ G}.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
(7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 × Z3. Skutečně, Z6 ⊂ C∗ je
tvořeno body na jednotkové kružnici v komplexní rovině ve
vrcholech pravidleného šestiúhelníku, Z2 pak odpovídá ±1, Z3
pravidelnému trojúhelníku s jedním vrcholem v jedničce. Jestliže
budeme ztotožňovat příslušné body s otočeními v rovině, které
jedničku převede právě do nich, pak skládání dvou takových otočení
bude vždy komutativní a kombinacemi jednoho otočení ze Z2 a
jednoho ze Z3 dostaneme právě všechna otočení ze Z6.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Example
(6) Grupy zbytkových tříd Zk jsou izomorfní grupám komplexních
k–tých odmocnin z jedničky, což jsou zároveň izomorfní obrazy
konečných grup otočení v rovině o celé násobky úhlu 2π
k .
(7) Grupa Z6 je izomorfní součinu Z2 × Z3. Skutečně, Z6 ⊂ C∗ je
tvořeno body na jednotkové kružnici v komplexní rovině ve
vrcholech pravidleného šestiúhelníku, Z2 pak odpovídá ±1, Z3
pravidelnému trojúhelníku s jedním vrcholem v jedničce. Jestliže
budeme ztotožňovat příslušné body s otočeními v rovině, které
jedničku převede právě do nich, pak skládání dvou takových otočení
bude vždy komutativní a kombinacemi jednoho otočení ze Z2 a
jednoho ze Z3 dostaneme právě všechna otočení ze Z6.
V aditivní notaci vypadá izomorfismus takto:
[0]6 → ([0]2, [0]3), [1]6 → ([1]2, [2]3)
[2]6 → ([0]2, [1]3), [3]6 → ([1]2, [0]3)
[4]6 → ([0]2, [2]3), [5]6 → ([1]2, [1]3)
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G
je cyklická grupa je-li celé G generované nějakým svým prvkem a
výše uvedeným způsobem.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Libovolný prvek a v grupě G je obsažen v minimální podgrupě
{a, a2, a3, . . . }, která jej obsahuje.
Je zjevné, že je tato podgrupa komutativní, a pokud je celá grupa
G konečná, nutně musí jednou nastat případ ak = e.
Nejmenší k s touto vlastností nazýváme řád prvku a v G. Grupa G
je cyklická grupa je-li celé G generované nějakým svým prvkem a
výše uvedeným způsobem.
Z definice přímo vyplývá, že každá cyklická grupa je izomorfní buď
grupě celých čísel Z (pokud je nekonečná) nebo některé grupě
zbytkových tříd Zk (když je konečná).
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Homomorfismy grup
3 Rozklady podle podgrup
4 Normální podgrupy
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
je-li b−1 · a = h ∈ H, potom a−1 · b = (b−1 · a)−1 = h−1 ∈ H,
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Uvažme grupu G a její podgrupu H. Na množině prvků grupy G
definujeme relaci a ∼H b jestliže b−1 · a ∈ H.
Je to relace ekvivalence:
a−1 · a = e ∈ H,
je-li b−1 · a = h ∈ H, potom a−1 · b = (b−1 · a)−1 = h−1 ∈ H,
je-li c−1 · b ∈ H a zároveň je b−1 · a ∈ H, potom
c−1 · a = c−1 · b · b−1 · a ∈ H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Celá grupa G se tedy rozpadá na tzv. levé třídy rozkladu podle
podgrupy H vzájemně ekvivalentních prvků.
Třídu příslušející prvku a značíme a · H a skutečně platí, že
a · H = {a · h; h ∈ H},
neboť prvek b je ve stejné třídě s a, právě když jde takovýmto
způsobem vyjádřit.
Množinu všech levých tříd rozkladu podle podgrupy H označujeme
G/H.
Obdobně definujeme pravé třídy rozkladu H · a. Příslušná
ekvivalence je: a ∼ b, jestliže a · b−1 ∈ H. Proto
H \ G = {H · a; a ∈ G}.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
1 Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H ⊂ G splývají
právě, když pro každé a ∈ G, h ∈ H platí a · h · a−1 ∈ H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Theorem
Pro třídy rozkladu grupy platí:
1 Levé a pravé třídy rozkladu podle podgrupy H ⊂ G splývají
právě, když pro každé a ∈ G, h ∈ H platí a · h · a−1 ∈ H.
2 Všechny třídy (levé i pravé) mají shodnou mohutnost s
podgrupou H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
5 je-li mohutnost grupy G prvočíslo, pak je G izomorfní cyklické
grupě Zn.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Corollary
Nechť G je konečná grupa s n prvky, H její podgrupa. Potom
1 Mohutnost n = |G| je součinem mohutnosti H a mohutnosti
G/H, tj.
|G| = |G/H| · |H|
2 Přirozené číslo |H| je dělitelem čísla n.
3 Je-li a ∈ G prvek řádu k, pak k dělí n.
4 pro každé a ∈ G je an = e.
5 je-li mohutnost grupy G prvočíslo, pak je G izomorfní cyklické
grupě Zn.
Druhému tvrzení se říkává Lagrangeova věta, předposlednímu malá
Fermatova věta.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Plán přednášky
1 Literatura
2 Homomorfismy grup
3 Rozklady podle podgrup
4 Normální podgrupy
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H
vztahem
(a · H) · (b · H) = (a · b) · H.
Skutečně, volbou jiných reprezentantů a · h, b · h dostaneme opět
stejný výsledek
(a · h · b · h ) · H = ((a · b) · (b−1
· h · b) · h ) · H.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Podgrupy H, pro které platí, že a · h · a−1 ∈ H pro všechny a ∈ G,
h ∈ H, se nazývají normální podgrupy.
Pro normální podgrupy je dobře definováno násobení na G/H
vztahem
(a · H) · (b · H) = (a · b) · H.
Skutečně, volbou jiných reprezentantů a · h, b · h dostaneme opět
stejný výsledek
(a · h · b · h ) · H = ((a · b) · (b−1
· h · b) · h ) · H.
Násobení na G/H má všechny vlastnosti grupy.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální.
Podmnožina
nZ = {na; a ∈ Z} ⊂ Z
zadává v celých číslech podgrupu a její faktorgrupou je právě
(aditivní) grupa zbytkových tříd Zn.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
V komutativních grupách jsou všechny podgrupy normální.
Podmnožina
nZ = {na; a ∈ Z} ⊂ Z
zadává v celých číslech podgrupu a její faktorgrupou je právě
(aditivní) grupa zbytkových tříd Zn.
Všechna jádra homomorfismů jsou normální podgrupy. Naopak,
jestliže je podgrupa H ⊂ G normální, pak zobrazení
p : G → G/H, a → a · H
je surjektivní homomorfismus grup s jádrem H. Skutečně, p je
dobře definované, přímo z definice násobení na G/H je vidět, že to
musí být homomorfismus a je zjevně na. Je tedy vidět, že normální
podgrupy jsou právě všechna jádra homomorfismů.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Pro libovolný homomorfismus grup f : G → K je dobře definován
také homomorfismus
˜f : G/ ker f → K, ˜f (a · H) = f (a),
který je injektivní.
Literatura Homomorfismy grup Rozklady podle podgrup Normální podgrupy
Pro libovolný homomorfismus grup f : G → K je dobře definován
také homomorfismus
˜f : G/ ker f → K, ˜f (a · H) = f (a),
který je injektivní.
Zdánlivě paradoxní je příklad homomorfismu C∗ → C∗ definovaný
na nenulových komplexních číslech vztahem z → zk s přirozeným
k. Zjevně jde o surjektivní homomorfismus a jeho jádro je množina
k–tých odmocnin z jedničky, tj. cyklická podgrupa Zk. Předchozí
úvaha tedy dává pro všechna přirozená k izomorfismus
˜f : C∗
/Zk → C∗
.
Tento příklad ukazuje, že u nekonečných grup nejsou počty s
mohutnostmi tak přehledný jako u konečných grup