IV120 Spojité a hybridní systémy
Hybridní systémy
David Šafránek
Jiří Barnat Jana Fabriková
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Studijní materiály a zdroje
Pŕevzato z
» J. Lygeros: Lecture Notes on Hybrid Systems
On-line materiály
• http://www.stanford.edu/class/aa278a/
• http://web.mae.cornell.edu/hadaskg/courses/ mae6740.html
• http://vimeo.com/22384801
• ...
IV120 Hybridní systémy
str. 2/31
Hybridní Systémy
Hybridní Systémy
• Systémy v nichž se kombinuje více druhů dynamiky.
• Spojité systémy ovlivněné diskrétními událostmi.
Oblasti výskytu HS
• Mechanické systémy
• Spojitý pohyb ovlivněn fyzickou překážkou.
• Elektrické obvody
• Spojitý průběh náboje řízený přepínači.
• Vestavné systémy
• Počítačem řízené systémy v analogovém prostředí.
IV120 Hybridní systémy
str. 3/31
Skákající balónek
Popis systému
• Balónek upuštěn z výšky h na pevnou rovnou tvrdou podložku. Na balónek působí zemská přitažlivost (zrychlení 9.8m/s). Při odrazu balónku se část kinetické energie přemění v tření a teplo.
Fyzika
» Zrychlení = 1. derivace rychlosti podle času.
• Rychlost = 1. derivace výšky podle času.
Abstrakce a zjednodušení
• Modelováno hmotným bodem.
• Instantní (bezčasový) odraz od země.
IV120 Hybridní systémy
str. 4/31
Skákající hmotný bod - hybridní automat
Popis automatu
» xl — výška
« x2 — vertikální rychlost pohybu (+ nahoru, — dolů)
• c £ [0,1] — ztráta hybnosti (pružnost a přeměna na teplo)
Schéma
:= —c%2
Xi > 0
IV120 Hybridní systémy
str. 5/31
Skákající balónek - Cvičení
Rozšíření příkladu
• Balónek je puštěn z výšky a zároveň uveden do pohybu horizontálním směrem směrem k překážce dané výšky.
Úkoly
» Rozšiřte model o komponentu horizontálního pohybu.
• Rozšiřte model na pohyb kulovitého tělesa s nenulovým poloměrem.
• Rozšiřte model kulovitého tělesa o fázi deformace tělesa v době odrazu balónku, tj. v době kontaktu se zemí.
IV120 Hybridní systémy
str. 6/31
Převodovka
Popis problému
• Motorové vozidlo poháněné motorem a čtyřmi převodovými stupni vyjíždí z bodu A (s nulovou počáteční rychlostí) a jede směrem k bodu B.
Zjednodušení
• Zanedbáno tření, modelováno hmotným bodem.
• Bezčasová změna zařazené rychlosti.
IV120 Hybridní systémy
str. 7/31
Převodovka - efektivita převodových stupňů
IV120 Hybridní systémy
Převodovka - hybridní automat
Popis automatu
• xl — ujetá vzdálenost
• x2 — rychlost
• gear G [1, 2, 3,4] — zařazený rychlostní stupeň « u G [um/n, umax] — pozice plynového pedálu
Schéma
gear = 2 gear = 3 gear — 1
IV120 Hybridní systémy
str. 9/31
Převodovka
- Cvičení
Rozšíření příkladu
• Změna rychlostního stupně není bezčasová.
Úkoly
« Rozšiřte model o simulaci časové prodlevy v okamžiku změny rychlostního stupně.
• Rozšiřte model o možnost řazení "ob jeden"stupeň.
• Rozšiřte model o komponentu tření (záporné zrychlení), která roste kvadraticky vůči rychlosti vozidla.
IV120 Hybridní systémy
str. 10/31
Analýza a řízení hybridních systémů
Otázky
• Jaká doba uběhne mezi 4. a 5. odrazem balónku.
• Jaká je optimální strategie řazení rychlostních stupňů pro dosažení rychlosti 100 km/h v nejkratším možném čase?
• Jaká je maximální rychlost vozidla?
• Pro které rychlostní stupně lze dosáhnout maximální rychlosti?
Hledání odpovědí
• Nutnost přesného (formálního) popisu hybridního systému.
« Algoritmické metody pro analýzu vlastností hybridních systémů a syntézu kontrolérů a řídících strategií.
IV120 Hybridní systémy
str. 11/31
Požadavky na modelovací systém
Dostatečně popisně obecný
• Popis diskrétní i spojité složky modelovaného systému.
• Vyjádření nejistoty doby trvání (spojitá složka) a nejistoty volby (diskrétní složka).
Umožňující abstrakce
• Zjednodušené modelování komplexních systémů.
Kompozicionální
• Možnost kompozice složitějších systémů z jednodušších.
• Interakce komponent.
IV120 Hybridní systémy
Sekce
IV120 Hybridní systémy
str. 13/31
Hybridní automaty
Hybridní automat je osmice
• Q = {ql, q2,...}
• X = R"
» f : Q x X -+ R"
• Init C Q x X
• Dom : Q PowerSet(X)
• E C Q x Q
• G : E PowerSet(X)
• R : E x X ->• Pow/erSeŕ(X)
— množina diskrétních stavů — množina spojitých stavů — vektorové pole — množina iniciálních stavů
- doména stavu (invariant stavu)
— množina diskrétních přechodů
— mapa stráží přechodů
— mapa resetů přechodů
IV120 Hybridní systémy
str. 14/31
Stav hybridního automatu
Stav hybridního automatu
• Určen aktuálním diskrétním stavem a valuací spojitých proměnných: (q, x*) G Q x X.
Iniciální stav
• Množina iniciálních stavů jak v diskrétní, tak i ve spojité složce.
IV120 Hybridní systémy
Přechod hybridního automatu
Plynutím času
• Označme výchozí stav (q, 3č*).
• Spojitá složka pro každou proměnnou x z vektoru 1? plyne dle předepsané diferenciální rovnice
= f(<7>x)> přičemž x(0) = x
• Diskrétní složka je po tuto dobu neměnná.
q{t) = q
• Čas může plynout pouze pokud platí invariant stavu
x(ŕ) G Dom(q)
IV120 Hybridní systémy
str. 16/31
Přechod hybridního automatu ze stavu (qO,xO)
Diskrétním přechodem
» Je-li výchozí stav (q,^).
• je možné (ne však nutné) provést přechod dle hrany
• pokud platí stráž hrany, tj.
3?" G G(q,q').
9 V případě provedení přechodu, se modifikuje spojitá složka 7 :=R((q, cf),3?)
• Cílový stav po provedení diskrétního přechodu je (q',x' ).
IV120 Hybridní systémy
str. 17/31
Rozumná omezení Hybridních Automatů
Omezení ve spojité složce
• f(q, x*) je Lipschitz spojitá pro Vq £ Q, (řešení diferenciálních rovnic je dobře definované)
• Ve £ E předpokládáme neprázdné G(e)
• Ve 6 E a Vx 6 Q předpokládáme neprázdné R(e,
Omezení v diskrétní složce
« Množina diskrétních stavů Q je konečná.
IV120 Hybridní systémy
Vodní nádrže
ri
	£2	
		
		
		
f2
Popis systému
• Systém dvou vodních nádrží, objem vody v nádržích x\ a X2-
• Z obou nádrží prosakuje voda konstantní rychlostí v\ a 1/2-
• Konstantní rychlostí w přitéká voda z hadice.
• Hadice je vždy bud' v jedné, nebo v druhé nádrži.
IV120 Hybridní systémy
str. 19/31
Vodní nádrže
ri
	£2	
		
		
		
f2
Cíl
• Udržet objem vody v nádržích nad stanovené hranice r\ a ľ2-
• V počátečním stavu je objem vody dostačující.
• Spouštěčem pro změnu pozice hadice je okamžik, kdy objem vody v nějaké nádrži klesne na požadované minimum.
IV120 Hybridní systémy str. 19/31
Vodní nádrže — Formální definice systému
IV120 Hybridní systémy
str. 20/31
Vodní nádrže — Formální definice systému
• Init = {<7i, 92} x {x G R x R j xi > ri A X2 >
• Dom(q1) = {x G R x R | x2 > r2} Dom(q2) = {x G R x R I xi > ri}
IV120 Hybridní systémy
Vodní nádrže — Formální definice systému
• E = {(<7i,<72),(<fc,<7i)}
• G(qi, 92) = {x G R x R | x2 < r2} £(<72,<7i) = {x G R x R j xi < ri}
• R(q1,q2,x) = R(q2,qi,x) = {x}
IV120 Hybridní systémy
str. 20/31
Hybridní časová řada
Neformálně
• Běh hybridního systému probíhá v po sobě jdoucích spojitě plynoucích úsecích. V instantních časových okamžicích na pomezí jednotlivých úseků se dějí diskrétní skoky systému.
• Časové charakteristika běhu hybridního systému je formalizována s využitím tzv.
Definice
• Hybridní časová řada je (konečná, či nekonečná) sekvence intervalů r = {Iq, l\,..., //v} = {li}^L0 taková, že:
• /,■ — [t;,t/] pro všechna i < N
» Pokud N < oo, pak buď //v — [tn,t'n], nebo //v — [t~n,t'n)
• v < t- — t,+i pro všechna 0 < / < N.
IV120 Hybridní systémy
str. 21/31
Grafické znázornění hybridní časové řady
to
n h I
r2 = rá
4
tsr
Í4
IV120 Hybridní systémy
Uspořádání časových okamžiků
Pozorování
• Je-li každý časové okamžik spojen s nějakým intervalem,
• pak lze časové okamžiky lineárně uspořádat.
Uspořádání -<
• ti G //, t2 G lj
de f
• ti -< t2 = (ti < t2) V (ti = t2 A / < j) Zobecnění
• Každá hybridní časová řada je lineárně uspořádána relací
IV120 Hybridní systémy
Uspořádání hybridních časových řad
Prefix hybridní časové řady
• r = {/,■}£„
• r =
• Říkáme, že r je prefixem f (značíme r C f), pokud
r = f, nebo
N je konečné A //v C 1N A V/ G [0, /V) : /,■ = /,■
Striktní prefix
• t C f    =    t[t A t/t
Relace □ je částečné uspořádání
• Existují r a r takové, zer^Tar^T
IV120 Hybridní systémy
str. 24/31
Príklad
Příklad - Najděte r, r a f tak, aby
9 T Q t
• r q t
9 T' %t A r' %T
Řešení
E—3 D
IV120 Hybridní systémy
str. 25/31
Hybridní Trajektorie
Definice
• Hybridní trajektorie je trojice (r, q,x), kde r je hybridní časová řada r = {I}q a dvě posloupnosti funkcí q = {q,}^, kde q; ://4(J1ax = {x,-}^, kde x,- : /,■ R".
Intuice
• Spojitá složka hybridního automatu plyne v rámci jednotlivých intervalů časové hybridní řady.
• V rámci jednoho intervalu je diskrétní stav neměnný.
• Diskrétní přechody realizují přechod na následující interval hybridní časové řady.
IV120 Hybridní systémy
str. 26/31
Běh hybridního automatu
Běh hybridního automatu
• Hybridní automat H = ((?, X, f, Init, Dom, E, G, R).
• Hybridní trajektorie (r, q, x).
• Trajektorie (r, q, x) je během automatu %, pokud definici Tí vyhovuje: iniciální podmínka, diskrétní chovaní a spojité chovaní.
Iniciální podmínka
• (<7o(0),x0(0)) G Init
Diskrétní chování - Pro všechna / < N platí
• (<7/(t;),<7/+i(t/+i)) G E
o xj(t') G G(qi{T'i),qi+1{Ti+1))
• x/+i(r/+i) G R{qi{T'i),qi+1{Ti+1),xi(TJ))
IV120 Hybridní systémy
str. 27/31
Běh hybridního automatu
Běh hybridního automatu
• Hybridní automat % = (Q, X, f, Init, Dom, E, G, R). 9 Hybridní trajektorie (r, q, x).
• Trajektorie (r, q, x) je během automatu %, pokud definici % vyhovuje: iniciální podmínka, diskrétní chovaní a spojité chovaní.
Spojité chování - Pro všechna i < N platí
• q; : i, —> Q je konstantní nad t G //,
• x; : i, —> X je řešením diferenciální rovnice
^p- = f(qi(t),xi(t))
nad intervalem /,- začínajícím v x,-(r/), » Pro všechna t G [r/, r/) platí x,-(ŕ) G Dom{q;{t)).
IV120 Hybridní systémy str. 27/31
Vodní nádrže - příklad
Konkretizace
. r = {[0,2], [2, 3], [3, 3.5]}
• Konstanty r\ = r2 = 0, v\ = v2 = 0.5, w = 0.75
• Iniciální stav q = qi, x\ = 0, X2 = 1.
IV120 Hybridní systémy
str. 28/31
Vodní nádrže - trajektorie
2.61-1-1-1-1-1-1-1
1.6 -..............................................................................................-
ql -i-i-;-1 1-
3.5 I-i-i-i-i-i-i-
o 0.5 r 1.5 2 2.5 3 3,5
0 0.5 r 1.5 2 2.5 3 3.5
IV120 Hybridní systémy
str. 29/31
Klasifikace běhů
Konečný
• Pokud r je konečná a poslední interval v r je uzavřený. Nekonečný
» Pokud t je nekonečná sekvence, nebo součet časových intervalu v r je nekonečno, t.j.
Tj) = oo.
Zeno
• Pokud je r nekonečná, ale
Ti) < oo.
Maximální
• Pokud není striktním prefixem žádného jiného běhu %.
IV120 Hybridní systémy
str. 30/31
Klasifikace běhů
H
ta konečný, tq a tq nekonečné, te a tf Zeno. Jaký je re?
IV120 Hybridní systémy