3   Cvičení 3: Grupa permutací a podgrupy generované množinou
Teorie: V tomto cvičení se budeme zabývat permutacemi. Na závěr si ještě ukážeme několik príkladU na podgrupý generovane danou množinou.
Definice 15. Libovolne bijektivní zobrazení na konečne neprazdne množine nazýváme permutace.
BUNO muzeme predpokladat danou konečnou mnozinu ve tvaru {1, 2,..., n}.
Díký tomu, ze slozením dvou bijekcí je opet bijekce, muzeme dane permutace skládat. Skládaní zobrazení je navíc asociativní. Dale identicke zobrazení je zrejme take permutace a chova se jako neutrální prvek vzhledem ke skladaní permutací. Navíc ke kazdemu bijek-tivnímu zobrazení existuje zobrazení inverzní, ktere je take bijekcí. Odvodili jsme tak, ze mnozina vsech permutací na konecne neprízdne mnozine tvorí grupu.
Permutaci muzeme zadat nekolika zpusobý:
1. Obrazem kazdeho prvku, tzv. dvouradkovým zípisem
2. Jako soucin nežávislích cýklu (az na poradí jednoznacní zípis)
3. Jako soucin transpozic (nejednoznacní zípis)
Dale muzeme definovat tzv. grupu sýmetrií. Jedna se o mnozinu shodních zobrazení, ktere nechají daní ítvar na míste.
V minulem cvicení jsme si dokízali, ze prunikem podgrup je podgrupa. Muzeme tedý pro libovolnou podmnozinu dane grupý definovat podgrupu generovanou danou mnozinou jako prunik vsech podgrup obsahujících danou mnozinu.
Príklad 42. Jsou daný permutace p, a
234567  8\      = (1   2  3  4  5  6  7 8\ 1  4  2  6  5  7  8/ ,P = ^1  542386  7/ .
1. Zapiste permutace p,a jako soucin nezavislých cýklu.
2. Rozlozte permutace p, a na soucin transpozic a podle poctu transpozic urcete jejich paritu.
3. Urcete pocet inverzí permutací p, a a podle poctu inverzí urcete jejich paritu.
4. Urcete a o p a p o a.
1
a =l3
13
14
5. Určete a 1.
6. Určete p2011 a a2011.
7. Určete (p-6 o a3)77.
8. Určete permutaci n tak, aby a o n = p.
Příklad 43. Jsou dany permutace p, a
= A   2  3  4  5  6  7  8\      = A   2  3  4  5  6  7 8\ a =^4  8  2  5  7 6   1   3) ,p =V2  5  8  7  1  6  4  3) '
1. Zapište permutace p,a jako součin nezavislyčh čyklu.
2. Rozložte permutače p, a na součin transpozič a podle počtu transpozič určete jejičh paritu.
3. Určete počet inverzí permutačí p, a a podle počtu inverzí určete jejičh paritu.
4. Určete a o p a p o a.
5. Určete a-1.
6. Určete p2010 a a2010.
7. Určete (p-77 o a81 )-2.
8. Určete permutači n tak, aby a2 o n = p3.
Příklad 44. Jsou dány permutače f, g G S6, f = (5, 8, 7, 6) o (1, 4, 2), g = (1, 5, 2, 6) o (2, 4, 7, 9, 5). Určete f-1, g21, (f11 o g-3)20. Rozlozte f na součin transpozič a určete počet transpozič táeto permutače.
Příklad 45. Určete vsečhny permutače n G S7 tak, aby
1. n4 = (1, 2, 3,4, 5, 6, 7)
2. n2 = (1, 2, 3) o (4, 5, 6)
3. n2 = (1, 2, 3,4) Výsledek.
1. (1, 3,5, 7, 2, 4, 6)
2. (1, 3, 2) o (4, 6, 5), (1, 4, 2, 5, 3, 6), (1, 5, 2,6, 3, 4), (1,6, 2, 4, 3, 5)
15
3. Neexistuje
Příklad 46. Určete všechny permutace p G Sg taková, ze
(p o (1, 2, 3))2 o (p o (2, 3, 4))2 = (1, 2, 3, 4).
Rešeni. Žádná taková neexistuje, na leve strane je totiž vždy sudá permutace, na prave strane je permutace lichá.
Příklad 47. Urcete vsechny permutace p G Sg takova, že
p2 o (1, 2) o p2 = (1, 2) o p2 o (1, 2). Rešeni. Žádna takova neexistuje, opet díky parite.
Příklad 48. Urcete znamenka danách permutací
'1  2  3  4  5  6  ...   3n - 2  3n - 1 3n
1. ' 2  3   1  5  6  4  ...   3n - 1     3n     3n - 2
2   . 1  2  3  ...   n   n +1  n + 2  ... 2n 2  4  6  ...   2n     1        3     ...   2n - 1
Výsledek.
1. 1
.        . n-(n —1)
2. (-1)'
)
Příklad 49. Napiste permutace f = (2, 3, 4,5)o(1, 3, 6, 8) a g = (1, 4, 6)o(2, 7, 4, 8, 3)o(1, 5) jako soucin 10 transpozic.
Příklad 50. Popiste grupu symetrií ctverce a urcete vsechny její podgrupy.
Příklad 51. Urcete podgrupu grupy S6 generovanou množinou M
1. M = {(1, 2, 4, 5)} 4. M =(1, 2)(3, 4), (2, 3)(4, 5).
2. M = {(1, 2), (5,6)} 5. M = {(1, 2, 3), (4, 5)}.
3. M = {(1, 2) o (4, 5), (1, 2)} 6. M = {(1, 2) o (3, 4), o(5, 6), (24)}
16
Příklad 52. Popište podgrupu grupy
1. G = Z, M = {36, 42}
2. G = {Z30}, M = {[15]30, [21]ao}
3. G = C*, M = {-i}
G generovanou množinou M
4. G = C*, M = {^2 + }
5. G = Z^, M = {[5]i2}
6. G = Zfg, M = {[7]is}
Příklad 53. V grupe GL2(Z2) určete podgrupu generovanou množinou M.
1.M = {(il)} 2.M =    • (1i)}
17