Cvičení 8: Pravděpodobnost, náhodné jevy
Teorie:
Q - základní prostor, množina všech elementárních jevů (výsledků)
uj\,... , un,... - elementární jevy
A C Q - náhodný jev,
Ac = A = Q \ A - jev opačný,
A, B G A pro ktere A n B = 0 - neslůčitelne jevy,
A - jevove pole, je system podmnožin Q, splňující:
• jistí jev Q G A,
• pro libovolne A, B G A je i A \ B G A
• pro libovolnou nejvýse spočetnou množinu jevů Aj, kde i G I jsoů prvky vhodne indexove množiny, je i UieIAi G A.
Pravděpodobnostní prostor je jevove pole A podmnožin (konečneho) základního prostorů Q, na kterém je definovína fůnkce P : A — R s nísledůjícími vlastnosti:
• je nežaporna, tj. P (A) > 0 pro vsechny jevy A,
• je aditivní, tj. P (Uie1 Aj) =    iei P (Aj), pro kaZdá nejvíse špoCetná system po dvoů nešlůCitelnách jevů,
• pravdepodobnost jisteho jevů je P (Q) = 1.
Fůnkci P nažívíme pravdepodobností na jevovem poli (Q, A).
Podmíněná pravděpodobnost: Necht' H je jev s nenůlovoů pravdepodobností v jevovem poli A v pravdepodobnostním prostorů (Q, A, P). Podmínena pravdepodobnost P(A|H) jevů A G A vžhledem k jevů H je definovana vžtahem
P (AH )=P^HP.
Jevy A, B jsoů nezávislé, pokůd P (A) = P (A|H), tj. když P (A n B) = P (A)P (B).
Príklad 118. Vírobek je podroben trem růžním žkoůskím. Ožnacme nasledůjící jevy: A -  nahodne vybraní vírobek obstojí pri první žkoůsce, B - obstojí ve drůhe žkoůsce, C - obstojí ve tretí žkoůsce.
1
Vyjádřete v množinové symbolice, že výrobek obstojí
a) jen v první žkousce,
b) v první a druhe žkousce, ale neobstojí ve třetí žkousce,
c) ve všech třech žkouskach,
d) alespon v jedne žkousce,
e) prave v jedne žkousce,
f) maximílne dvakrat.
Příklad 119. a) Uved'te vsechna možna jevova pole na {0^,02,03}. b) Uved'te alespon tri růžna jevova pole na množine       <r2, <r3, <74}. Příklad 120. Dokažte nasledující vlastnosti pravdepodobnosti:
• P (0) = 0, 0 < P (A) < 1,
• P (Ac) = 1 - P (A),
• A C B        P (A) < P (B), P (B \ A) = P (B) - P (A),
• P (A U B) = P (A) + P (B) - P (A n B).
Příklad 121. Necht' Q = u;2, w3} a A = {Q, 0, {u;2, u;3}}. Urcete vsechny pravdepodobnostní funkce žobražující A do množiny {0,1,0,1 — 0}.
Výsledek. Z definice P (Q) = 1, P (0) = 0, P ({u;2, u;3} = 1 — P       Míme tedy dve možnosti P= 0,P= 1 - 0.
Příklad 122. Kostku, kterí stejne obarvene vsechny steny, rožrežeme na 1000 kosticek stejních rožmeru. Vsechny kosticky žamíchíme a nahodne jednu ž nich vytahneme. Vypoďtejte pravdepodobnost, že kosticka bude mít:
a) vsechny steny neobarvene,
b) jednu obarvenou stenu,
c) dve obarvene steny,
d) tri obarvene steny.
Příklad 123. V seminarní skupine MB104 je 23 studentu. Studenti se delí na
• 8 dobrích, kterí mají pravdepodobnost složení žkousky 90%;
• 12 pranierných, kterí mají pravdepodobnost složení žkousky 60%;
2
• ostatní slabé, kteří na matematiku navíc „kašlou", a tak mají pravděpodobnost složení zkoušky jen 0,1.
a) UrCete pravděpodobnost, že nahodně zvolený student zkoušku složí.
b) UrCete pravdepodobnost, že nahodne vybraný student, uspesne složivsí zkousku, byl z tech, kterí na matematiku „kaslali".
Výsledek. a) 0,639; b) 0,0204;
Příklad 124. Pred nístupem do noveho zamestnaní musí uchazeCi podstoupit rutinní preventivní prohlídku, jejíž souCastí byl test na HIV. Výrobce testu na HIV uvadí, že test odhalí prítomnost viru u nemocne osoby s pravdepodobností 99,90% a s pravdepodobností 99,99% da negativní vísledek u zdrave osoby. V Ceske republice je virem nakažen približne 1 clovek z 10 000.
a) Urcete pravdepodobnost, že pozitivne testovaní uchazec, kterí je prumerní z hlediska rizikoveho chovíní, mí skutecne HIV?
b) Urcete pravdepodobnost, že pozitivne testovaní uchazec, ktery je opatrný ve vztazích (a mí tak desetinovou pravdepodobnost nakazy oproti prumeru), ma skutecne HIV?
c) Urcete pravdepodobnost, že pozitivne testovaní uchazec, ktery v minulosti užíval drogy (a ma tak stonasobnou pravdepodobnost níkazy oproti prumeru), mí skutecne HIV?
Výsledek. a) 0,5; b) 0,091; c) 0,99.
Příklad 125. Každí ze dvou parníku muže doplout do prístaviste vždy jednou za den, a to se stejnou sancí v kterykoli jeho okamžik a nezavisle na druhem parníku. První se v prístavisti zdrží jednu hodinu a druhy dve hodiny. Jaka je pravdepodobnost, že nekterí z parníku bude muset cekat, až bude volne prístaviste?
Výýsledek. 0,121.
Příklad 126. Uvažujte kvadratickí polynom x2 + ax + b, jehož koeficienty splnují \a\ < 1, \b\ < 1a vsechny prípustne hodnoty koeficientu jsou stejne pravdepodobne.
a) Urcete pravdepodobnost, že vsechny koreny tohoto polynomu jsou realne.
b) Urcete pravdepodobnost, že vsechny koreny tohoto polynomu jsou kladne. Výsledek. a) 0,5417. b) 0,0208.
Příklad 127. Tyc delky d je nahodne rozlomena na tri císti. Urcete pravdepodobnost, že je možne z techto castí sestrojit trojíhelník.
Výýsledek. 0,25.
3