Matematika IV - demonstrační cvičení
11. května 2013
1
12. demonstrační cvičení
Příklad 1. Hmotnost jedné porce kávy považujeme za náhodnou veličinu s normálním rozdělením N(6g; l,196g2). Určete pravděpodobnost, že k přípravě 16 porcí kávy postačí jeden 100g balíček.
[Odpověď:
100,
P(J>, < 100) = P(JL J2Xi <^) = P(M<^) = P( < ^L_^
= P [U <
1/4 o-/4
16 ' \a/Vl6 0-/V16
P(U < l/a) = P(U < 0,9144) ss 0,818.
2
Příklad 2. Předpokládejme, že velká skupina studentů má ze zápočtové písemky ze statistiky bodové hodnoty normálně rozloženy kolem střední hodnoty 72 se směrodatnou odchylkou 9 bodů. Určete pravděpodobnost,
že
a) náhodně vybraný student bude mít výsledek lepší než 80 bodů,
b) průměr výsledků náhodného výběru 10 studentů bude lepší než 80 bodů.
3
Příklad 3. Rychlost letadla byla určována v 5 zkouškách, jejichž aritmetický průměr byl m = 870,3 ms'1. Najděte 95% interval spolehlivosti pro fi víte-li, že měření rychlosti se řídí normálním rozdělením se směrodatnou odchylkou 2,1 ms-1.
4
Algoritmus konstrukce intervalu spolehlivosti
1. Zvolíme statistiku V, která je nestranným bodovým odhadem parametru 0.
2. Najdeme tzv. pivotovou statistiku W, která je transformací V se známým rozdělením a nezávisí na neznáme hodnotě 0.
3. Najdeme příslušné kvantily rozdělení statistiky W tak, že
P(wa/2 < W < Wl_a/2) = 1 - a.
4. Nerovnost wa/2 < W < Wi_a/2 převedeme ekvivalentními úpravami na nerovnost Tl < 6 <Tjj.
5. Z daného výběru zjistíme konkrétní číselné realizace statistik T^, Tu a dostaneme tak intervalový odhad požadované spolehlivosti l—a.
Intervaly spolehlivosti pro parametry normálního rozdělení
H (známe a2)	
fi (neznáme a2)	(M-^W2,M + ^1_a/2)
a2 (neznáme ji)	/    (n-í)S2       (n-í)S2 \ \xl-a/2(n-l)ix2a/2(n-l)J
Příklad 4. Televizní stanice, která vysílá seriál Vražedná čísla, by ráda věděla, kolik času se průměrný student matematiky vydrží dívat na TV, aby na ně mohla zaměřit případnou reklamní kampaň. Náhodným výběrem
a) 100 studentů,
b) 5 studentů
zjistila, že týdně sledují TV průměrně 20 hodin s (výběrovou) směrodatnou odchylkou 5 hodin. Za předpokladu, že se počet hodin u TV řídí normálním rozdělením, sestrojte v obou případech 95% interval spolehlivosti pro střední hodnotu počtu hodin, který matematici stráví před TV obrazovkou.
[Odpověď: a) (19,01 ;20,99); b) (13,79;26,20)J
5
Příklad 5. Pevnost nosníků má normálni rozděleni s variabilitou vyjádřenou směrodatnou odchylkou o = 120. Nová technologie výroby bude akceptována, jestliže zajisti variabilitu nejvýše 100.
Rozhodněte, zdaje možné na základě 16 měřeni s výběrovou směrodatnou odchylkou rovnou 107,5 s rizikem 0,05 přijmout novou technologii.
6
Příklad 6. Spotřeba nového modelu auta byla testována 11 řidiči s výsledky 7,5; 7,8; 6,9; 8,2; 8,0; 7,5; 9,0; 7,6; 8,1; 7,9; 8,3. Rozhodněte, zda je možné se spolehlivostí 0,95 vyvrátit tvrzení výrobce o průměrné spotřebě 7,7 1/100 km.
Příklad 7. Hloubka moře se měří přístrojem, jehož systematická chyba je nulová a náhodné chyby měření mají normální rozdělení se směrodatnou odchylkou o = 1 m. Určete, kolik měření je třeba provést, aby se hloubka moře určila s chybou nejvýše 1/4 metru při riziku 0,05.
[Odpověď: 62]
8
Příklad 8. Náhodně vybraná konzerva v armádním skladu je vadná s pravděpodobností 0,1. Kolik konzerv musí zásobovací důstojník ze skladu vzít, aby mezí nimi bylo s pravděpodobností0,95 alespoň 80 bezvadných konzerv. (Předpokládejte, že konzervy jsou vydávány náhodně).
[Odpověď: Moivre-Lapiace, 0,05 — <P( s'^n )■ odkud 8^nn0 °0'g- — —1,65 a vyřešením kvadratické rovnice dostaneme n ss 94,23./
9
Příklad 9. 31 pacientů s rakovinou plic, léčených novým lékem, má průměrnou dobu přežiti 28 měsiců se směrodatnou odchylkou 4 měsice. Z předchozích studii je známo, že průměrné přežiti pacientů bez podáváni nového léku je 26 měsiců.
a) Lze na základě těchto dat usoudit, že nový lék prodlužuje dobu přežiti (a = 0,01 ^ ?
b) Jak se zrněni závěr, pokud se významně zvětši počet pacientů, resp. rozptyl?
10
Intervaly spolehlivosti pro parametry 2 normálních rozdělení
Mi ~~     (známe ofjCrf)	
Mi ~~ M2 (neznámé a\ = <r|)	
společný rozptyl a2	í    {m+n-2)Sl        {m+n-2)Sl \ \xLa/2(m+n-2)' x2a/2(m+n-2) J
podíl rozptylů o\ja\	í      sl/sl            sl/sl \ \F1-a/2(m-l,n-l)i Fa/2(m-í,n-í) J
Příklad 10. Aktivní studenti chtěli dopravnímu podniku dokázat, že autobusy trpí většími výkyvy příjezdových dob na danou zastávku než tramvaje a provedli měření odchylek od jízdního řádu:
autobus	0	2	4	-3	2	-4	-3	0	0	5
tramvaj	4	6	3	0	-2	2	0	1	1	0
Z tabulky lze snadno vypočítat, že Sj = 9,12 a 5| = 5,39. Na hladině 0,05 testujte nulovou hypotézu, že autobus i tramvaj jsou stejně spolehlivé oproti alternativní hypotéze, že tramvaj je spolehlivější.
n
Příklad 11. Ve dvou nádržích se zkoumal obsah chlóru. Z první bylo odebráno 22 vzorků, z druhé 10 vzorků. Byly vypočteny následující hodnoty výběrových průměrů a rozptylů: M\ = 34,23, = 35,73, S\ = 1,76, S\ = 1,81. Hodnoty zjištěné z odebraných vzorků považujeme za realizace dvou nezávislých náhodných výběrů z rozdělení N(/ii, a2), resp. N(/i2, o-2). Sestrojte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot n\ — H2 a vyslovte závěr na dané hladině spolehlivosti o pod-statnosti rozdílu naměřených hodnot.
[Odpověď: Dosadíme do vztahu Mi - M2 ± S. ^/m + i ' *l-a/2(m + n - 2) hodnoty Mi - M2 = —1,5, S, = 1,3323 a dostaneme interval ( — 2,5377;—0,4623). Do tohoto intervalu 0 nepatří, proto je rozdíl /ji —/j2 statisticky významně různý od nuly.J
12