Náhodné veličiny oooooooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Matematika IV - 8. přednáška Náhodné veličiny - základní vlastnosti a typy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 10. 4. 2013 Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin oooooooooo oooooooo Obsah přednášky Q Náhodné veličiny Q Typy diskrétních náhodných veličin Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin oooooooooo oooooooo Doporučené zdroje • Martin Panák, Jan Slovák, Drsná matematika, e-text. » Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická statistika, Matfyzpress, 4. vydání, 2006, 230 stran, ISBN 80-867-3271-1. • Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů), Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN 80-210-3313-4. » Marie Budíková, Statistika, Masarykova univerzita, 2004, distanční studijní opora ESF, http: //www.math.muni.cz/~budikova/esf/Statistika.zip. • Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran, ISBN 80-210-3886-1. Náhodné veličiny •ooooooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Vratme se k jednoduchému a názornému příkladu statistik kolem výsledku studentů v daném predmetu, který je a není podobný klasické pravděpodobnosti a s n í související statistice při házení kostkou. Na jedné straně jsme připustili pouze konečný počet možných bodových hodnocení (v tomto případě celá čísla od 0 do 40), zároveň ale není patrně vhodné představovat si výsledky jednotlivých studentů jako analogii nezávislého házení kostkou (to by byla skutečně divně vedená přednáška). Místo toho máme na základním prostoru Q všech studentů definovánu funkci bodového ohodnocení X : Q. —> M.. Je to typický příklad náhodné veličiny. U každé náhodné veličiny potřebujeme umět pracovat s vhodnou množinou jevů. Zpravidla požadujeme, abychom mohli pracovat s pravděpodobnostmi příslušnosti hodnoty X do předem zadaného intervalu. Náhodné veličiny o»oooooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Přirozenější interpretací výsledku pokusu je totiž často spíše než zjištění, zda náhodný jev nastal či nenastal, nějaká hodnota: • součet bodů na dvou kostkách, • počet bakterií v daném množství roztoku nebo • počet studentů, kteří uspěli u zkoušky nebo kteří získali alespoň 5 bodů z konkrétního příkladu. Od pravděpodobnostního prostoru (Q,A,P) tedy potřebujeme přejít k obdobné dvojici (M, £>) tak, abychom podmnožinám M, ležícím v u-algebře B byli schopni přiřadit pravděpodobnost odvozenou z (Q.,A, P). Náhodné veličiny oo»ooooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Na prostoru M.k uvažujme nejmenší jevové pole B obsahující všechny /c-rozměrné intervaly. Množinám v B říkáme borelovské množiny (nebo také měřitelné množiny) na M.k. Speciálně pro k = 1 jde o množiny, které obdržíme z intervalů konečnými průniky a nejvýše spočetnými sjednoceními. Definice Náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q.,A, P) je taková funkce X : Q. —> M, že vzor X~1(B) patří do A pro každou Borelovskou množinu B G B na M (tj. X : Q. —> M je tzv. borelovsky měřitelná). Množinová funkce PX(B) = P(X-\B)) se nazývá rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny X. Náhodný vektor (Xi,... ,Xk) na (Q, A, P) je /c-tice náhodných veličin. Náhodné veličiny ooo#oooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Príklad Hodíme jedenkrát kostkou, množina elementárních jevů je Q = {ui, u)2, ía>3, W4, ÍJ5, u}q}. Jevovým polem nechť je „4 = {0, {cji, w2}, {w3, M dané předpisem a) X (u i) = i pro každé / G {1, 2, 3,4, 5, 6}, b) X(íji) = X(w2) = -2,X(w3) = X((j4) = X((j5) = X{uj6) = 3 je náhodnou veličinou vzhledem k A. Príklad Je dáno jevové pole (fi, A), kde Q. = {cji, l02, lo^, lo^, lo^} a A = {0, {cji, cj2}, {^3}, {^4, ^5}, {^i, ^2, ^3}, { M definovaná pro všechny x g M vztahem F(x) = P(X < x). Distribuční funkcí náhodného vektoru (Xi,... ,Xk) je funkce F : M.k —> M definovaná pro všechny (xi,... ,x/<) g MŔ vztahem F(x) = P(Xi < xi A • • • A Xk < xk). Náhodné veličiny ooooo»oooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Předpokládejme, že náhodná veličina X na pravděpodobnostním prostoru (Q, A, P) nabývá jen konečně mnoha hodnot xi,X2,..., x„ £ M. Pak existuje tzv. pravděpodobnostní funkce f (x) taková, že Takové náhodné veličině se říká diskrétní. Každá náhodná veličina definovaná pro klasickou pravděpodobnost je diskrétní. Obdobně lze definici pravděpodobnostní funkce rozšířit na veličiny se spočetně mnoha hodnotami (pracujeme pak s nekonečnými řadami) P(X = xf) pro x = x; 0 jinak. Evidentně Y11-i f{xi) 1. Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Spojité náhodné veličiny Náhodne veličiny OOOOOOÄOOO I když hodnoty náhodné veličiny X nejsou diskrétní, můžeme postupovat podobně s užitím diferenciálního a integrálního počtu. Intuitivně lze uvažovat takto: hustotu f(x) pravděpodobnosti pro X si představíme jako P{x < X < x + dx) = f(x)dx. To znamená, že chceme pro —oo < a < b < oo P(a < X < b) = Definice Náhodná veličina X, pro kterou existuje její hustota pravděpodobnosti splňující (*), se nazývá spojitá. Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Vlastnosti distribuční funkce Náhodne veličiny ooooooo»oo Věta Necht X je náhodná veličina, F(x) je její distribuční funkce. O F je neklesající. O F je zprava spojitá, lim^-oo F(x) = 0 a lirrix^oo F(x) = 1. 0 Je-li X diskrétní s hodnotami xi,..., x„, pak je F(x) po částech konstantní, F(x) = J2x- xn. Q Je-li X spojitá, pak je F(x) diferencovatelná a její derivace se rovná hustotě X, tj. platí F'(x) = f(x). Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Distribuční funkce - příklady Náhodne veličiny oooooooo«o Náhodné veličiny 000000000» Typy diskrétních náhodných veličin oooooooo Obdobně definujeme distribuční funkce a hustotu a pravděpodobnostní funkci pro spojité a diskrétní náhodné vektory. Hovoříme také o simultánních pravděpodobnostních funkcích a hustotách. Pro dvě proměnné (vektor (X, Y) náhodných veličin): (P(X =x, A Y =yí) x=x/Ay = y/ 1 O jinak, u diskrétních a pro všechny a, b G M pro spojité: P(-oo < X < a, -oo 1 (o jinak Binomické rozdělení Bi(n,p) odpovídá n-krát nezávisle opakovanému pokusu popsanému alternativním rozdělením, přičemž naše náhodná veličina měří počet zdarů. Je tedy '(?)př(l-p)"-ř t G {0,1,..., n} 0 jinak fx(t) Typy diskrétních náhodných veličin O0OOOOOO Binomické rozdělení Náhodne veličiny oooooooooo Na obrázku jsou pravděpodobnostní funkce pro Bi(50, 0.2), Bi(50, 0.5) a Bi(50,0.9). Rozdělení pravděpodobnosti dobře odpovídá intuici, že nejvíce výsledků bude blízko u hodnoty np: Náhodné veličiny Typy diskrétních náhodných veličin oooooooooo oo»ooooo Binomické rozdělení S binomickým rozdělením se potkáváme velice často v praktických úlohách. Jednou z nich je popis náhodné veličiny, která popisuje počet X předmětů v jedné zvolené přihrádce z n možných, do nichž jsme náhodně rozdělili r předmětů. Umístění kteréhokoliv předmětu do pevně zvolené přihrádky má pravděpodobnost 1/n (každá z nich je stejně pravděpodobná). Zjevně tedy bude pro jakýkoliv počet k = 0,..., r «*-^o(i)vr-(o^- jde proto o rozložení X typu Bi(r, 1/n). Náhodné veličiny oooooooooo Typy diskrétních náhodných veličin ooo»oooo Jestliže nám bude vzrůstat počet přihrádek n společně s počtem předmětů rn tak, že v průměru nám na každou přihrádku bude připadat (přibližně) stejný počet prvků A, můžeme dobře vyjádřit chování našeho rozdělení veličin Xn při limitním přechodu n —> oo. Takovéto chování popisuje např. fyzikální soustavy s velikým počtem molekul plynu. Standardní úpravy vedou při limn^oo rn/n = A k výsledku: lim p(X„ = k)= lim (rn\(n-1Yn~k .. r„(r„ - 1)... (r„ - k + 1) 1 lim —— {n-l)k k\ = — hm lH--°- = —e_A k\ n^oo y rn J k\ protože obecně funkce (1 + x/n)n konvergují stejnoměrně k funkci Typy diskrétních náhodných veličin Náhodné veličiny oooooooooo Typy diskrétních náhodných veličin ooooo»oo isson Poissonovo rozdělení popisuje náhodné veličiny s pravděpodobnostní funkcí fx(k) Jak jsme odvodili výše, toto diskrétní rozdělení (rozložené do nekonečně mnoha bodů) dobře aproximuje binomická rozdělení Bi(n, A) pro konstantní A > 0 a veliká n. Snadno ověříme k=Q k k Náhodné veličiny oooooooooo Typy diskrétních náhodných veličin oooooo»o isson Dobře modeluje výskyt jevů: • s očekávanou konstantní hustotou na jednotku objemu - např. bakterie ve vzorku (popis očekávaného výskytu k bakterií při rozdělení vzorku na n stejných částí) • rozdělení událostí, které se vyskytují náhodně v čase a bez závislosti na předchozí historii - v praxi jsou takové procesy často spojeny s poruchovostí strojů a zařízení ' Příklad o počet branek ve fotbalovém zápase (za 90 minut) • počet telefonních hovorů za minutu na call centru • počet aut přijíždějících na křižovatku • ... Geometrické rozdělení má náhodná veličina X ~ Ge(p), která udává celkový počet nezdarů, které v posloupnosti opakovaných pokusu předcházejí prvnímu zdaru, přičemž pravděpodobnost úspěchu v každém pokusu je rovna p . Hypergeometrické rozdělení. Mějme N předmětů, z nichž právě M má danou vlastnost. Z těchto N předmětů náhodně vybereme n předmětů bez vracení. Náhodná veličina X ~ Hg(/V, M,n) udává počet vybraných prvků s danou vlastností. Zřejmě tato náhodná velišina může nabývat pouze celočíselných hodnot z intervalu [max{0, M — N + n}, min{n, M}]. Pro t z tohoto intervalu pak