IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah ■ Výběry prvků bez opakování ■ permutace a faktoriál ■ variace ■ kombinace a kombinační čísla ■ Výběry prvků s opakováním ■ permutace ■ variace ■ kombinace ■ Obecné principy počítání složených výběrů ■ princip nezávislých výběrů ■ princip dvojího počítání ■ Kombinatorická pravděpodobnost ■ konečný pravděpodobnostní prostor ■ nezávislost jevů a podmíněná pravděpodobnost ■ střední hodnota IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez opakování IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 3/57 Permutace bez opakování Definice (Permutace bez opakování) Nechť M je konečná množina o n prvcích. Permutace množiny M je uspořádaná posloupnost všech prvků z M. Příklad ■ Vypište všechny permutace množiny {a, b, c, d}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 4/57 Permutace bez opakování Definice (Permutace bez opakování) Nechť M je konečná množina o n prvcích. Permutace množiny M je uspořádaná posloupnost všech prvků z M. Příklad ■ Vypište všechny permutace množiny {a, b, c, d}. {a,b,c,d) (b,a,c,d) (c,a,b,d) (d,a,b,c) (a,b,d,c) {b,a,d,c) {c,a,d,b) {d,a,c,b) (a,c,b,d) (b,c,a,d) (c,b,a,d) (d,b,a,c) (a,c,d,b) (b,c,d,a) (c,b,d,a) (d,b,c,a) (a,d,b,c) {b,d,a,c) {c,d,a,b) {d,c,a,b) (a,d,c,b) (b,d,c,a) (c,d,b,a) (d,c,b,a) IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 5/57 Permutace bez opakování Věta Počet všech permutací n-prvkové množiny je n\ = n- {n- 1) • (n-2) •... - 2-1. ■ Funkce n\ se nazývá faktoriál. Klademe 0! = 1. Příklad ■ Kolika způsoby lze v ruce uspořádat 7 karet? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 6/57 Permutace bez opakování Počet všech permutací n-prvkové množiny je n\ = n- {n- 1) • (n-2) •... - 2-1. ■ Funkce n\ se nazývá faktoriál. Klademe 0! = 1. Příklad ■ Kolika způsoby lze v ruce uspořádat 7 karet? ■ Odpověď je 7! = 5 040. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 7/57 Variace bez opakování Definice (Variace bez opakování) Nechť M je konečná množina o n prvcích ak > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou variací na množině M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvků z M tak, že se v n í každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové variace na množině {a, b, c, d}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 8/57 Variace bez opakování Nechť M je konečná množina o n prvcích ak > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou variací na množině M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvků z M tak, že se v n í každý prvek vyskytuje nejvýše jednou. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové variace na množině {a, b, c, d}. (a, b) (a, c) (a, d) (b, a) (b, c) (b, d) (c, a) (c, b) (c, d) (d, a) (d, b) (d, c) IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 9/57 Variace bez opakování Věta Počet všech k-prvkových variací na množině s n prvky je ^i^í = n.(n-1).(n-2).....(n-/f + 1). ■ Permutace množiny s n prvky je totéž jako /i-prvková variace. ■ Na množině s n prvky je vždy stejně /i-prvkových variací jako (n - 1 )-prvkových variací. (Proč?) Příklad ■ Kolik trojciferných čísel lze sestavit z číslic 1,2,..., 9, jestliže se žádné číslice neopakují? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 10/57 Variace bez opakování Věta Počet všech k-prvkových variací na množině s n prvky je ^i^í = n.(n-1).(n-2).....(n-/f + 1). ■ Permutace množiny s n prvky je totéž jako /i-prvková variace. ■ Na množině s n prvky je vždy stejně /i-prvkových variací jako (n - 1 )-prvkových variací. (Proč?) Příklad ■ Kolik trojciferných čísel lze sestavit z číslic 1,2,..., 9, jestliže se žádné číslice neopakují? gi ■ Odpověď je — = 504. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 11/57 Kombinace bez opakování Definice (Kombinace bez opakování) Nechť M je konečná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou kombinací na množině M rozumíme k-prvkovou podmnožinu množiny M. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace na množině {a, b, c, d, e}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 12/57 Kombinace bez opakování Nechť M je konečná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené číslo splňující k < n. k-prvkovou kombinací na množině M rozumíme k-prvkovou podmnožinu množiny M. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace na množině {a, b, c, d, e}. {a,b} {a, c} {a, cl} {a, e} {b,c} {b,d} {b,e} {c,d} {c, e} {d,e} IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 13/57 Kombinace bez opakování Počet všech k-prvkových kombinací na množině s n prvky je (n\ _ n\ _ n- {n- 1) • (n-2) •... • {n-k+ 1) \k) ~ (n-k)\ k\ ~ k\ ■ Čísla (nk) se nazývají kombinační čísla nebo binomické koeficienty. m /c-prvková kombinace se někdy popisuje jako neuspořádaný výběr k prvků. Příklad ■ Kolika způsoby může dopadnout tah Sportky (6 čísel z 49)? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 14/57 Kombinace bez opakování Počet všech k-prvkových kombinací na množině s n prvky je (n\ _ n\ _ n- {n- 1) • (n-2) •... • {n-k+ 1) \k) ~ (n-k)\ k\ ~ k\ ■ Čísla (nk) se nazývají kombinační čísla nebo binomické koeficienty. m /c-prvková kombinace se někdy popisuje jako neuspořádaný výběr k prvků. Příklad ■ Kolika způsoby může dopadnout tah Sportky (6 čísel z 49)? ■ Odpověď je = 13 983816. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 15/57 Výběry prvků s opakováním IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Permutace s opakováním Definice (Permutace s opakováním) Nechť M je konečná množina. Permutace s opakováním je uspořádaná posloupnost prvků z M, v níž se každý prvek i e M vyskytuje k j-krát, kde k, j předem dané. Příklad ■ Vypište všechny permutace s opakováním množiny {a, b} pro ka = 2 a kb = 3. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 17/57 Permutace s opakováním Definice (Permutace s opakováním) Nechť M je konečná množina. Permutace s opakováním je uspořádaná posloupnost prvků z M, v níž se každý prvek i e M vyskytuje k j-krát, kde k, j předem dané. Příklad ■ Vypište všechny permutace ka = 2 a kb = 3. (a, a, b, b, b) (a, b, a, b, b) (a, b, b, a, b) (a, b, b, b, a) (b, a, a, b, b) opakováním množiny {a, b} pro {b, a, b, a, b) (b, a, b, b, a) (b, b, a, a, b) (b, b, a, b, a) (b, b, b, a, a) IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 18/57 Permutace s opakováním Věta Počet permutací množiny {1,2,... , n} pro dané počty opakování ki,k2,...,kn> Oje (kA + k2 + . .. + kn)\ kA\ k2\ ■ ...■kn\ ■ Příklad ■ Kolika způsoby lze navléct na provázek 30 červených, 10 modrých a 3 žluté korále? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 19/57 Permutace s opakováním Věta Počet permutací množiny {1,2,..., n} pro dané počty opakování ki,k2,...,kn> Oje +k2 + ... + kn)\ ki\-k2\-...-kn\ ' Příklad ■ Kolika způsoby lze navléct na provázek 30 červených, 10 modrých a 3 žluté korále? (30 + 10 + 3)! ■ Odpověď je \n, 0 je přirozené číslo, k-prvkovou variací s opakováním na množině M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvků z M tak, že se v n í každý prvek vyskytuje nejvýše k-krát. Příklad ■ Vypište všechny 4-prvkové variace s opakováním na množině {a, b}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 21/57 Variace s opakováním Definice (Variace s opakováním) Nechť M je konečná množina o n prvcích ak > 0 je přirozené číslo, k-prvkovou variací s opakováním na množině M rozumíme uspořádanou k-tici sestavenou z prvků z M tak, že se v n í každý prvek vyskytuje nejvýše k-krát. Příklad ■ Vypište všechny 4-prvkové variace s opakováním na množině {a, b}. {a, a, a, a) {a, b, a, a) {b, a, a, a) {b, b, a, a) {a, a, a, b) {a, b, a, b) {b, a, a, b) {b, b, a, b) {a, a, b, a) {a, b, b, a) {b, a, b, a) {b, b, b, a) {a, a, b, b) {a, b, b, b) {b, a, b, b) {b, b, b, b) IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 22/57 Variace s opakováním Počet všech k-prvkových variací s opakováním na množině s n prvky je Příklad ■ Kolik podmnožin má množina {1,2,3,..., 10}? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 23/57 Variace s opakováním Počet všech k-prvkových variací s opakováním na množině s n prvky je Příklad ■ Kolik podmnožin má množina {1,2,3,..., 10}? ■ Odpověď je 210 = 1 024. ■ Podmnožinu lze kódovat jako uspořádanou 10-tici nul a jedniček (jedničky značí, které prvky jsou v podmnožině): {2,5,6} odpovídá (0,1,0,0,1,1,0,0,0,0) ■ Hledáme tedy všechny 10-prvkové variace s opakováním na množině {0,1}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 24/57 Kombinace s opakováním Definice (Kombinace s opakováním) Nechť M je konečná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené číslo, k-prvkovou kombinací s opakováním na množině M rozumíme neuspořádanou k-tici prvků z M, kde se každý prvek vyskytuje libovolněkrát. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace s opakováním na množině {a, b, c, d, e}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 25/57 Kombinace s opakováním Definice (Kombinace s opakováním) Nechť M je konečná množina o n prvcích a k > 0 je přirozené číslo, k-prvkovou kombinací s opakováním na množině M rozumíme neuspořádanou k-tici prvků z M, kde se každý prvek vyskytuje libovolněkrát. Příklad ■ Vypište všechny 2-prvkové kombinace s opakováním na množině {a, b, c, d, e}. {a, a} {b,b} {c,c} {d,d} {e,e} {a,b} {b,c} {c,d} {d,e} {a, c} {b, d} {c, e} {a,d} {b,e} {a, e} IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 26/57 Kombinace s opakováním Rěta^^^^^^^^^^" Počet všech k-prvkových kombinací na množině s n prvky je ■ /c-prvkovou kombinaci na množině {1,2,..., n} lze zakódovat do posloupnosti délky n + k tak, že prvky množiny napíšeme do řady a za každý prvek vložíme tolik znaků □, kolikrát je prvek obsažen v kombinaci. Např. kombinace {2,2,3} na množině {1,2,3,4} odpovídá posloupnosti 1 2 □ □ 3 □ 4. ■ Posloupnost je přesně určená umístěním znaků □. ■ Znak □ se nesmí vyskytnout na prvním místě. ■ k znaků □ se tedy vyskytuje na některých z n + k - 1 míst. ■ Posloupností (a tedy i kombinací) je celkem (n+£~1)- IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 27/57 Kombinace s opakováním Příklad ■ Kolika způsoby může dopadnout hod třemi hracími kostkami? (Zajímá nás, co kolikrát padne: např. dvě trojky a jedna pětka). IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 28/57 Kombinace s opakováním Příklad ■ Kolika způsoby může dopadnout hod třemi hracími kostkami? (Zajímá nás, co kolikrát padne: např. dvě trojky a jedna pětka). (6 ~\~ 3 1 \ 3 J = 56. ■ Jedná se o 3-prvkové kombinace s opakováním nad množinou {1,2,3,4,5,6}. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 29/57 Obecné principy počítání složených výběrů IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 30/57 Princip nezávislých výběrů Princip nezávislých výběrů neboli princip součinu Pokud se výběr skládá z dvou či více vzájemně nezávislých podvýběrů, pak je celkový počet výběrů roven součinu počtů jednotlivých podvýběrů. Příklad ■ Hokejový trenér má k dispozici 13 útočníků, 9 obránců a 2 brankáře. Kolik kombinací hokejistů se může objevit na ledě, aby tam byli 3 útočníci, 2 obránci a jeden brankář? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 31/57 Princip nezávislých výběrů Princip nezávislých výběrů neboli princip součinu Pokud se výběr skládá z dvou či více vzájemně nezávislých podvýběrů, pak je celkový počet výběrů roven součinu počtů jednotlivých podvýběrů. Příklad ■ Hokejový trenér má k dispozici 13 útočníků, 9 obránců a 2 brankáře. Kolik kombinací hokejistů se může objevit na ledě, aby tam byli 3 útočníci, 2 obránci a jeden brankář? ■ Výběr útočníků: (133) = 286 ■ Výběr obránců: = 36 ■ Výběr brankářů: (^) = 2 ■ Odpověď je 286 • 36 • 2 = 20 592. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 32/57 Princip dvojího počítání Princip dvojího počítání Nechť lze každý výběr dále zjemnit na stejný počet / zjemněných výběrů. Dále nechť existuje celkem m různých zjemněných výběrů. Potom počet všech původních výběrů je —. Příklad ■ Výběr šestic hokejistů na ledě z minulého příkladu chceme zjemnit tím, že budeme uvažovat i pořadí útočníků a obránců. ■ Každou kombinaci na ledě lze tedy zjemnit v 3! • 2! = 12 různých výběrů. ■ Celkem těchto uspořádaných výběrů existuje (13-12-11)-(9-8)-2 = 247104. 247104 ■ Původních výberu je ——— = 20 592 (totéž vyšlo i minule). IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 33/57 Poznámky ■ Při řešení příkladů lze někdy použít i princip inkluze a exkluze. ■ Obecně je třeba používat selský rozum. Příklad ■ Máme k dispozici celkem 12 hráčů, z toho 5 dobrých útočníků. Kolik lze sestavit 4-členných týmů, které obsahují alespoň jednoho dobrého útočníka? ■ Celkem lze sestavit (142) = 495 týmů. ■ Týmů bez dobrého útočníka je C24 5) = 35. ■ Týmů s alespoň jedním dobrým útočníkem tedy je IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 34/57 Kombinatorická pravděpodobnost IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Kombinatorice pravděpodobnost ■ Teorie pravděpodobnosti zkoumá tzv. náhodné pokusy. Náhodným pokusem rozumíme opakovatelnou činnost prováděnou za stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě (zejména není určen počátečními podmínkami). ■ Kombinatorická (nebo také klasická) pravděpodobnost zkoumá situace, kdy náhodný pokus má jen konečně mnoho možných výsledků. ■ Pravděpodobnost daného výsledku pak udává míru jeho očekávatelnosti. ■ Motivace je např. v hazardních hrách. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 36/57 Konečný pravděpodobnostní prostor Definice (Konečný pravděpodobnostní prostor) Konečný pravděpodobnostní prostor je dvojice (fi, P),kde Q. je konečná množina elementárních jevů a P : V (Q.) [0,1 ] je funkce pravděpodobnosti, která podmnožinám Q přiřazuje reálné hodnoty z intervalu [0,1] a splňuje ■ P(0) = 0, P(ft) = 1 a ■ P(A uB) = P(A) + P(fí) kdykoliv A, B c Q jsou disjunktní. Libovolná podmnožina A c Q se nazývá jev a P (A) je pravděpodobnost tohoto jevu. Příklad ■ Definujte pravděpodobnostní prostor hodů (poctivou) kostkou. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 37/57 Příklady konečných pravděpodobnostní prostorů Příklad ■ Pravděpodobnostní prostor hodů kostkou je (fi, P), kde ■ elementární jevy jsou "co padne", tedy fi = {1,2,3,4,5,6}, ■ funkce pravděpodobnosti P(A) — ^ pro každou A c Q. m Co je jev "padne sudé číslo"? Množina {2,4,6}. ■ Pravděpodobnost tohoto jevu je P({2,4,6}) = | = \. ■ Pravděpodobnostní prostor hodů mincí je ({orel, panna}, P), Příklad kde P(0) = 0 P({orel, panna}) = 1 P({orel}) = \ P({panna}) = \ IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 38/57 Poznámky ■ Pravděpodobnost elementárního jevu aefi obvykle zapisujeme jako P(a) namísto P({a}). ■ Pravděpodobnostní prostor je plně určený množinou Q a pravděpodobnostmi elementárních jevů. Pro neelementární jev A = {a-i, a2,..., an} totiž podle definice musí platit P{A) = P{a,) + P{a2) + ... + P{an). ■ Jevy A, B jsou disjunktní, pokud nemohou nastat zároveň, tj. pokud A n B = 0. ■ Různé elementární jevy jsou vždy disjunktní. ■ Udejte příklady dvou různých jevů, které nejsou disjunktní. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 39/57 Uniformní pravděpodobnostní prostor Definice Konečný pravděpodobnostní prostor (Q, P) je uniformní, je-li každý elementární jev a e Q stejně pravděpodobný tj. P(a) = py. Pro každý jev A v uniformním prostoru platí P(A) = j^j. ■ Uvedené prostory hodů kostkou a hodů mincí jsou uniformní. Příklad ■ Namíchání 32 karet je také uniformní pravděpodobnostní prostor, kde elementární jevy jsou permutace karet (těch je 32!). ■ Pravděpodobnost každého elementárního jevu je 3^7. ■ Jaká je pravděpodobnost jevu, že první karta je eso? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 40/57 Příklad Definujte pravděpodobnostní prostor hodů dvěmi kostkami, kde zjišťujeme součet bodů. Jaká je pravděpodobnost, že padne 8? Řešení 1 ■ Elementární jevy jsou součty, tedy Q = {2,3,4,..., 12}. ■ Pravděpodobnost elementárních jevů se ale liší: ■ součet 2 lze získat pouze jako 1 +1, proto P(2) = ■ součet 3 lze získat jako 1 +2 nebo 2+1, proto P(2) = -1 = ±, ■ ostatní pravděpodobnosti spočítáme analogicky. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 41/57 Příklad Definujte pravděpodobnostní prostor hodů dvěmi kostkami, kde zjišťujeme součet bodů. Jaká je pravděpodobnost, že padne 8? Řešení 1 ■ Elementární jevy jsou součty, tedy fi = {2,3,4,..., 12}. ■ Pravděpodobnost elementárních jevů se ale liší: ■ součet 2 lze získat pouze jako 1 +1, proto P(2) = ■ součet 3 lze získat jako 1 +2 nebo 2+1, proto P(2) = -1 = ±, ■ ostatní pravděpodobnosti spočítáme analogicky. P(2) = ± P(5) = l P(8) = j| P(11) = A P(3) = ^ P(6) = í P(9) = l P(12) = šB ■ Jev "padne 8" je tedy elementární s pravděpodobností P(8) = ■ Pravděpodobnostní prostor není uniformní. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 42/57 Příklad Definujte pravděpodobnostní prostor hodů dvěmi kostkami, kde zjišťujeme součet bodů. Jaká je pravděpodobnost, že padne 8? Řešení 2 ■ Elementární jevy jsou dvojice hodnot na jednotlivých kostkách, tedy Q = {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5, 6}. ■ Pravděpodobnost každého elementárního jevu je gg. ■ Pravděpodobnostní prostor je uniformní. ■ Jak spočítáme pravděpodobnost, že padne 8? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 43/57 Příklad Definujte pravděpodobnostní prostor hodů dvěmi kostkami, kde zjišťujeme součet bodů. Jaká je pravděpodobnost, že padne 8? Řešení 2 ■ Elementární jevy jsou dvojice hodnot na jednotlivých kostkách, tedy Q = {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5, 6}. ■ Pravděpodobnost každého elementárního jevu je gg. ■ Pravděpodobnostní prostor je uniformní. ■ Jak spočítáme pravděpodobnost, že padne 8? ■ Jev "padne 8" je A = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} a jeho pravděpodobnost je P(A) = -0 = ^. ■ Toto řešení umožňuje odpovědět například na otázku, zda jsou disjunktní jevy "součet je 6" a "součin je 8". Jsou disjunktní? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 44/57 Nezávislé jevy ■ Nezávislost jevů intuitivně znamená, že pravděpodobnost toho, že nastane druhý z jevů není nijak ovlivněna tím, zda nastal či nenastal první jev. ■ Kupříkladu pokud hážeme dvěma kostkami, jsou jevy "na první kostce padne 6" a "na druhé kostce padne liché číslo" nezávislé. ■ Oproti tomu jevy "na první kostce padne 5" a "součet bude 8" nezávislé nejsou. Definice (Nezávislé jevy) Jevy A, B v prostoru (fi, P) jsou nezávislé, pokud platí P{AnB) = P(A)- P{B). IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 45/57 Příklad Ukážeme, že jevy "na první kostce padne 5" a "součet bude 8" jsou závislé. ■ Pravděpodobnostní prostor (fi, P) je tvaru Q = {1,2,3,4,5,6} x {1,2,3,4,5,6} a P(a) = ± pro každý elementární jev aefi (prostor je uniformní). ■ Jev "na první kostce padne 5" je A = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)} a P(A) = 1. ■ Jev "součet bude 8" je B = {(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)} a ■ Jevy A, B jsou závislé, neboť P(A n B) = P({5,3}) = gg a tedy PC»n8) = ^^^).P(B) = i.| = ^. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 46/57 Poznámky ■ Dva různé elementární jevy s nenulovou pravděpodobností jsou závislé, protože P({a} n {b}) = P(0) = 0 ^ P(a) • P(b). Navíc je jasné, že pokud nastane jeden elementární jev, nemůže nastat druhý. ■ Z analogickéhu důvodu platí, že dva různé disjunktní jevy s nenulovými pravděpodobnostmi jsou také závislé. Dotazy ■ Ze zamíchaných karet rozdáme dvěma hráčům po pěti kartách. Jsou výběry karet, které dostanou, nezávislé? ■ Hodíme dvěma kostkami. Je jev "na obou padne totéž" nezávislý s jevem "na první kostce padne 2"? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 47/57 Podmíněná pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost P{B\A) je pravděpodobnost jevu B za předpokladu, že nastal jev A a vypočítá se jako ■ Jevy A, B jsou nezávislé právě když P(B\A) = P(B). Příklad ■ Kolik je podmíněná pravděpodobnost jevu "při hodu dvěma kostkami padne součet aspoň 10" za předpokladu, že "na první kostce padlo 5"? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 48/57 Podmíněná pravděpodobnost Definice (Podmíněná pravděpodobnost) Podmíněná pravděpodobnost P{B\A) je pravděpodobnost jevu B za předpokladu, že nastal jev A a vypočítá se jako P(B\A) P{A n B) P(A) ■ ■ Jevy A, B jsou nezávislé právě když P(B\A) = P(B). Příklad ■ Kolik je podmíněná pravděpodobnost jevu "při hodu dvěma kostkami padne součet aspoň 10" za předpokladu, že "na první kostce padlo 5"? ■ Odpověď je 3-. ■ Pravděpodobnost "padne součet aspoň 10" je g (závislost jevů). IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 49/57 Střední hodnota ■ X je náhodná proměnná (nebo náhodná veličina), pokud je její hodnota jednoznačně určena výsledkem náhodného pokusu. ■ Formálně je náhodná proměnná libovolná funkce přiřazující elementárním jevům prostoru (fi, P) reálná čísla. Definice (Střední hodnota) Nechť náhodná proměnná X může nabýt hodnot h^,h2,...,hns pravděpodobností poradě p-i, p2,..., pn, kde p-i + p2 + ... + pn = 1 ■ Střední hodnotou proměnné X je číslo EX = p-i ■ h-\ + p2 ■ h2 + ... + Pn ■ hn. ■ Střední hodnota udává průměr získaných hodnot náhodné proměnné X při mnoha opakováních náhodného pokusu. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 50/57 Příklady Příklad ■ Jaká je střední hodnota čísel padlých na hrací kostce? IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 51/57 Příklady Příklad ■ Jaká je střední hodnota čísel padlých na hrací kostce? ■ Odpověď je IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 52/57 Příklad ■ Kolik je průměrně třeba hodů mincí, aby padlo 3x totéž? ■ 3x totéž padne nejdříve třetím a nejpozději pátým hodem. ■ Pravděpodobnostní postor je (0,0,0) {o,o,p,o) (o,o,p,p,o) (o,o,p,p,p) (p,p,p) {o,p,o,o) {o,p,o,p,o) {o,p,o,p,p) ■ Náhodná proměnná X je vždy rovna délce n-Wce. ■ Pravděpodobnost každé /i-tice je ^. m Celkem dostáváme, že průměrný počet potřebných hodů je (o,P, P,p) (p, o, o, o) (P, o, p,p) (P,P, o,p) (o,p,p, o, o) (p, o, o,p, o) (p, o,p, o, o) (p,p, o, o, o) (o,p,p, o, p) (p, o, o,p, p) (p, o,p, o, p) (p,p, o, o, p) EX = 3.(24) + 4.(6.il) + 5.(12.gL) = f+ § + f=4,125. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 53/57 Výpočet středních hodnot Věta ■ Střední hodnota konstanty c je Ec = c. ■ Střední hodnota součinu náhodné proměnné X a konstanty c je E{cX) = c-EX. ■ Střední hodnota součtu náhodných proměnných X, Y je E{X +Y) = EX + EY. Příklad ■ Jaká je střední hodnota součtu čísel padlých na dvou kostkách? ■ Odpověď je E{X + Y) = EX + EY = 3,5 + 3,5 = 7. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 54/57 Výpočet středních hodnot Věta Střední hodnota součinu nezávislých náhodných proměnných X, Y je E(X ■ Y) = EX ■ EY. Příklad ■ Jaká je střední hodnota součinu čísel padlých na dvou kostkách? ■ Odpověď je E{X ■ Y) = EX ■ EY = 3,5 • 3,5 = 12,25. IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 55/57 Poznámka ■ Vztah pro střední hodnotu součinu pro závislé náhodné proměnné neplatí. Příklad ■ Jaká je střední hodnota součinu čísel horní a spodní stěny hozené kostky? ■ Protože náhodné proměnné jsou závislé (součet protilehlých stěn kostky je vždy 7), nelze použít vztah E(X ■ Y) = EX ■ EY (tento vztah by nám dal hodnotu 12,25). IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 56/57 Poznámka ■ Vztah pro střední hodnotu součinu pro závislé náhodné proměnné neplatí. Příklad ■ Jaká je střední hodnota součinu čísel horní a spodní stěny hozené kostky? ■ Protože náhodné proměnné jsou závislé (součet protilehlých stěn kostky je vždy 7), nelze použít vztah E(X ■ Y) = EX ■ EY (tento vztah by nám dal hodnotu 12,25). ■ Z definice spočítáme střední hodnotu součinu jako ! .6.1 + 2-5-1 + 3-4-1+4-3-1+5-2-1+6-1 -1 = 9 + 1. 6 6 6 6 6 6 3 IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 57/57