IV120 Spojité a hybridní systémy
Uvod do problematiky a informace o kurzu
David Šafránek
Jiří Barnat Jana Fabriková
Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky.
■Hf^SlMI
NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
Obsah a cíle předmětu
• pochopení základních pojmů obecné teorie systémů
• pojem dynamického systému
• problematika lineárních a nelineárních spojitých systémů
• pojem hybridního systému » základní metody analýzy
o analytické metody
• simulace
• základní pojmy teorie řízení
• aplikace v systémové biologii
• elementární praktická znalost - cvičení
• Octave, SpaceEx, GNA
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 2/46
Co získám absolvováním?
• pochopení pojmů a problémů z oblasti dynamických systémů
• schopnost použít procvičované nástroje
• schopnost použít základní analytické techniky
• pochopení základního aparátu systémových věd
• schopnost formálně zapsat spojitý/hybridní systém
• rozšíření vědomostí v oblasti komplexních systémů
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 3/46
Co se zde nenaučím.
• podrobné formální odvození teoretických východisek
• podrobnou znalost nástrojů
• podrobnou znalost výpočetních algoritmů
• schopnost systémového myšlení o ...
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
Osnova
• Úvod do teorie systémů.
• Definice a vlastnosti dynamického systému.
• Lineárni spojité systémy a jejich analýza.
• Nelineárni spojité systémy a jejich analýza.
• Hybridní systémy a jejich analýza.
• Hybridní kvocienty nelineárních spojitých systémů.
• Parametrizace, neurčitost, identifikovatelnost.
• Srovnávání a robustnost chování; dekompozice.
• Úvod do teorie řízení.
• Aplikace v biologii.
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 5/46
Kontext v rámci ostatních předmětů
Zařazen do povinně volitelných předmětů magisterského programu Bioinformatika.
• PB050 Modelování a predikce v systémové biologii
• praktické seznámení s dynamickými modely v systémové biologii
• povrchní úroveň - důraz na intuitivní pochopení pojmů
• aplikační doplněk (předch. absolvování je výhodou)
• semestrální projekty
• PA052 Úvod do systémové biologie
» úvod do aplikační oblasti systémové biologie
• přehledový kurz
» PA054 Formální modely v systémové biologii
• alternativní možnosti sémantiky (operační pohled)
• formální metody pro biologické dynamické systémy
• semestrální projekty
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 6/46
Kontext v rámci ostatních předmětů
• IV109 Modelování a simulace (doc. R. Pelánek, Ph.D.)
• uchopení systémového přístupu
• mentální cvičení systémového myšlení
» modelování a simulace na obecné a přehledové úrovni
• IA158 Real time systems (RNDr. T. Brázdil, Ph.D.)
• návrh, implementace a verifikace systémů reálného času
• časové automaty » nástroj UPPAAL
» PA190 Digital Signál Processing
• diskrétní technické (lineární) systémy
• zpracování digitálních signálů
• přenos do frekvenčního spektra
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 7/46
Kontext v rámci ostatních předmětů
• DBLOK2 Formal Methods for Complex Systems (Dr. L. Bortolussi, Ph.D.)
• pokročilé formální metody
• stochastický hybridní model
• hybridní limity stochastických modelů
o
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 8/46
Literatura
Základní literatura:
» ŠTECHA, Jan a HAVLENA, Vladimír. Teorie dynamických systémů: přednášky. 2. vyd. Praha: Vydavatelství ČVUT, 2002.
• VRIES, Gerda de. A course in mathematical biology quantitative modeling with mathematical and computational methods. Philadelphia, Pa.: Society for Industrial and Applied Mathematics, 2006.
Doplňující literatura:
• J.H. van Schuppen. Control and System Theory of Positive Systems, CWI Lecture notes, 2007.
• P. Tabuada. Verification and Control of Hybrid Systems: A Symbolic Approach. Springer, 2009.
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 9/46
Hodnocení
• semestrální projekt - 50 bodů
• seznámení s konkrétním modelem
• provedení analýzy (stabilita, dosažitelnost)
• zkouška - 50 bodů
• na konci výukového období bude vydán seznam pojmů, které budou zkoušeny
• zkouška bude zahrnovat vysvětlení 2 pojmů
• kolokvium
o stačí získat 30 bodů (není nutno absolvovat ústní zkoušku)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 10/46
Sekce
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 11/46
Základní pojmy
Systémový přístup
» obecný pojem systému jako prostředníka porozumění složitých (komplexních) jevů
• myšlenku zavedl von Bertalanffy v 30. letech 20. stol.
• složitost vzniká silnou nezanedbatelnou interakcí uvnitř celku (mezi složkami) a vně (interakce s okolím)
• rozvoj v 50. a 60. letech (Kálmán a Mesarovič)
• podstatou je chápání jevů komplexně ve vnitřních i vnějších souvislostech (srovnej s mechanickým pohledem)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 12/46
Základní pojmy
Systémová věda
• samostatný teoretický vědní obor definující obecné paradigma
• předmětem je studium systémů definovaných na různých objektech
» systémové teorie
• teorie řízení, kybernetika (dříve)
• teorie systémů
• systémové aplikace
• systémová biologie
• systémová chemie
• systémové inženýrství
• systémová psychologie
• .. .
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 13/46
Základní pojmy
Pojem objektu
• předmětem zkoumání je vymezená oblast objektivní reality -objekt
• např. živá buňka, skákající míček, jaderná elektrárna, výrobní linka, el. obvod, . ..
• zbytek objektivní reality (doplněk objektu) nazýváme okolí
• hranice typicky není přesně vymezitelná (přírodní objekty)
• objekt je zkoumán prostřednictvím pozorovatelných/měřitelných veličin
• vztahy mezi veličinami jsou determinovány vlastnostmi objektu
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 14/46
Základní pojmy
Pojem systému
« systém je definován na objektu výběrem veličin a sledovaných vlastností (srovnej s pojmem systému v abstraktních vědách -veličiny i vztahy mezi nimy uvedeny explicitně)
• systém je určen:
• množinou veličin
• rozlišovací úrovní - přesnost pozorovaní (např. frekvence vzorkovaní)
• chovaním - vztahy mezi veličinami
• množina hodnot všech veličin sledovaných po danou dobu zkoumání popisuje aktivitu (běh) systému
• např. systém na objektu živé buňky - veličiny jsou koncentrace detekovatelných látek měřené s rozlišovací schopností použité technologie, aktivita takového systému vykazuje např. zvýšení koncentrace některých proteinů při odebrání určitého nutrientu, chováním je pak tento vztah proteinů a nutrientu
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 15/46
Základní pojmy
Pojem systému
• při zkoumání systému se snažíme dekomponovat chování
• rozložení každého komplexního vztahu na množinu jednodušších (dílčích) vztahů
• dílčí vztahy jsou asociovány se složkami systému (podsystémy, tzv. elementy)
• celkové chování systému je určeno:
• chováním jednotlivých elementů
• vzájemnými kompozicemi chování elementů
• elementy jsou spojeny sdílenými veličinami, tato spojení determinují vazby uvnitř systému
• toto členění určuje strukturu systému
» okamžitou hodnotu všech veličin nazýváme stavem systému
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 16/46
Základní pojmy
Pojem systému - příklad
Uvažujme systém definovaný na objektu populace živých buněk.
Veličiny
velikost populace, koncentrace nutrientů, teplota
Aktivita
vývoj populace, změna stavu prostředí
Chování
vztah mezi veličinami prostředí a velikostí populace
Elementy
proteiny a metabolity různých typů, DNA, RNA,
příslušné vnitřní veličiny (koncentrace),
vazby - transkripční aktivace/represe, katalýza, apod.
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 17/46
Základní pojmy
Možné definice systému
• Systém je dán množinou n veličin (tzv. proměnných)
S = {Xi, ...,X„},
kde každá z proměnných má definovánu množinu přípustných hodnot:
V/ G {1,n}.T>(Xj) = {x/i,x/2, ...,xin}
kde ry určuje velikost příslušné množiny (teoreticky mohou být definovány tyto množiny i jako spojité, prakticky se uvažují vždy diskrétní vzhledem k rozlišovací schopnosti pozorování).
Příklady
• populace živých buněk - fáze populace (exponenciální, stacionární), hmotnost populace měřená s určitou přesností
• systém počasí v dané lokaci - čas měření (ráno, večer), teplota vzduchu měřená s danou přesností, relativní vlhkost, .. .
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu str. 18/46
Základní pojmy
Možné definice systému
» Zdrojový systém lze doplnit daty popisujícími jeho aktivity. • S tímto rozšířením je systém definován jako uspořádaná množina dvojice proměnných a tzv. pole aktivit:
S = ({X,-,/ = l,2,...,n},[x,-ř])
kde
[x/,t],x/it G V{Xi) je matice (pole) aktivit, ř £ 7 značí čas měření v časové množině T.
Příklady
• populace živých buněk - fáze populace a hmotnost populace zachycená při experimentu trvajícím určitou dobu
• systém turbovrtulového motoru - časová řada hodnot veličin při provedeném letu (palivo, otáčky, nadmořská výška)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 19/46
Základní pojmy
Možné definice systému
• Zdrojový systém lze doplnit popisem vztahů mezi veličinami -generativním předpisem.
• Tímto rozšířením je zdrojový systém S = {Xi, ...,X„} rozšířen o relaci
U C P(Xi) x V(X2) x ... x V(Xn).
Relace může být určena např. diferenčními nebo diferenciálními rovnicemi.
o
Příklady	
• katalytická reakce (přeměna substrátu	na produkt)
d S VmaxS	dP VmaxS
dt       K + S	dt     K + S
• S ... koncentrace substrátu	
» P ... koncentrace produktu	
» K, k, Vmax ■■■ konstanty zachycující	vlastnosti enzymu a substrátu
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu str. 20/46
Základní pojmy
Možné definice systému
Další možnosti definice systému jsou:
(1) strukturální: pomocí elementu a vazeb mezi nimi
(2) stavově prechodová: systém určen množinou stavů a prechodu mezi nimi
Příklady
(1) systém udržování hladiny v nádrži - elementy: snímač výšky hladiny, čerpadlo, regulátor otáček čerpadla
(2) systém světelné křižovatky - stavy jsou jednotlivé konfigurace světel s jasně definovanými přechody
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 21/46
Základní pojmy
Kauzální vztahy v systémech
• nezávislé veličiny - veličiny produkované okolím, které jsou příčinou jevů v systému
» závislé veličiny - veličiny produkované systémem, odvozené z nezávislých veličin a chování systému
• časová orientace (tzv. směr kauzality) je dán uspořádáním množiny {příčina, následek}
• u fyzikálních systémů (konečná rychlost) příčina vždy předchází následek
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 22/46
Základní pojmy
Pojem řízeného systému
• jsou-li separovatelné veličiny produkované okolím od veličin produkovaných systémem, používame členění na vstupní a výstupní veličiny (zkráceně vstupy a výstupy systému)
• příkladem jsou technické systémy (např. el. obvody)
• jelikož vstupy ovlivňují chování (a aktivitu) systému, hovoříme o vstupních veličinách jako o řídících veličinách
• systémy s neprázdnou množinou řídících (vstupních) veličin nazýváme řízené systémy, v opačném případě hovoříme o neřízených systémech (někdy také volné nebo neutrální systémy)
• srovnej systémy např. v ekonomii nebo meteorologii se systémy v inženýrství
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 23/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů
• otevřenost - se separovatelností vstupů/výstupů souvisí charakter vztahu systému s okolím
• uzavřený systém — neřízený systém
• otevřený systém — řízený systém
• ohraničenost - ohraničený systém má konečnou množinu veličin (konečný řád)
o srovnej přírodní evoluční vývoj a technický systém » ohraničenost lze docílit určením časového horizontu (např. generace buňky)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 24/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů
• statické vs. dynamické systémy
• statický systém - bez paměti (hodnoty vnitřních a výstupních veličin určeny okamžitými hodnotami vstupu)
• dynamický systém - s pamětí (okamžitá hodnota vnitřních veličin závisí na okamžitých i minulých hodnotách vstupu)
• ancipativní systémy - dynamický systém s předvídáním, navíc závislost na budoucích hodnotách (fyzikálně nerealizovatelné; příkladem je evoluce, existují studie, které pokládají za ancipativní systém lidský mozek - Robert Rosen)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 25/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů
» spojité vs. diskrétni systémy
• dle povahy veličin - spojité/diskrétní v úrovni (ve stavech)
(discrete-state)
• teoretické modely spojité, číslicová reprezentace vždy diskrétni (vzorkování, kvantování)
• dle chápaní času - spojité/diskrétní v čase (discrete-time)
» spojitá nebo diskrétni časová množina
• např. systém vývoje populace uvažovaný po generacích vs. systém střídavého servomotoru
• kombinace spojitých a diskrétních veličin (nebo úseků času) -hybridní systém
• vzniká spojením aktivity ve spojitém čase s aktivitou v diskrétním čase
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 26/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů - příklady
• spojitý v čase i ve stavech - matematické kyvadlo, střídavý servomotor, ...
• diskrétní v čase, spojitý ve stavech - populace ovocných mušek v uzavřeném kontejneru (čas uvažován v generacích, velikost populace poměrem zaplněného prostoru vůči objemu kontejneru)
» výše uvedené typy systémů vykazují dynamické chování, které lze zachytit stavovými rovnicemi
• popis závislosti okamžitého stavu na paměti » použití diferenčních nebo diferenciálních rovnic (implicitní popis přechodové struktury)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 27/46
Základní pojmy
Základní atribúty systému - príklady - matematické kyvadlo
• pohyb určen vývojem úhlu odklonu 9 od vertikální (klidové) polohy
• určeno pohybovou (diferenciální) rovnicí
mls + dIŠ + mgsm(9) = 0
kde m ...hmotnost h.b., / ... délka závěsu, d ... faktor disipace
• určíme-li jako vnitřní veličiny x\ = 9 a X2 = 9, dostaneme soustavu:
xi = x2
f s/n(xi) - ^x2
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzi
str. 28/46
Základní pojmy
Základní atribúty systému - príklady - logistický rust
• model fluktuací populace ovocných mušek v nádobě při konstantním (limitovaném) přísunu potravy
• časovou jednotkou je generace
• vnitřní veličinou x je množství populace vyjádřené vzhledem objemu nádoby (předpokládáme 0 < x < 1)
• přechodová struktura vyjádřena implicitně diferenční rovnicí:
Xk+i = rxk(l - xk) = f(xk)
http://www.enm .bris.ac.uk/staff/hinke/courses/rtiath5337/ds/applets/iteration/Iteration.html IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
Základní pojmy
Základní atributy systémů - příklady
• diskrétní v čase, diskrétní ve stavech - výrobní linka se stavy { pohotovost, činnost, porucha }, přechody jako reakce na diskrétní události { zpracováno, porucha, opraveno }
a zásadním charakteristickým prvkem je diskrétní vstupní veličina charakterizující diskrétní události
• výskyt událostí uvažován v diskrétním čase
• odpovídá většině "human-made" systémů (SW, komunikační protokoly, .. .)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 30/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů - příklady - výrobní linka
• vnitřní veličina X charakterizující stav systému: V(X) = {I,W,D}
o / ... pohotovost, W ... činnost, D ... porucha
• vstupní veličina U charakterizující diskrétni udalosti: V(U) = {p,c,f, r}
• p ... požadavek, c ... zpracováno, f ... porucha, r ... oprava
• přechodová struktura určena schématem
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 31/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů - příklady
• spojitý v čase, diskrétní ve stavech - např. systém sledující počet diskrétních udalostí v určitém časovém intervalu
• úroveň zdrojového nebo datového systému (např. Poissonův proces), nelze vyjádřit přímo stavovými rovnicemi ani konečnou přechodovou strukturou, používají se statistické modely
• do této kategorie lze řadit systémy reálného času (např. semafor), používá se rozšířeného formalismu pro popis přechodové struktury (časové automaty)
» hybridní - termostat, skákající míček
• zobecnění předchozích kategorií
• spojení diskrétních událostí a spojité dynamiky
• nemusí nutně zahrnovat diskrétní veličinu - viz skákající míček
• klíčová charakteristika je výskyt diskrétních událostí, které porušují spojitost aktivit na jednotlivých veličinách
• rozšířený popis přechodové struktury - hybridní automat
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 32/46
Základní pojmy
Základní atributy systémů - příklady hybridních systémů
Základní pojmy
Spojitost vs. diskrétnost - poznámky
• typicky se označením spojitý/diskrétní systém rozumí způsob zachycení času (discrete-time vs. continuous-time dynamics)
• čas lze chápat jako jednu z veličin systému, popsanou jednoduchou stavovou rovnicí - konstantní diferenční nebo diferenciální rovnicí
• systém zadaný diferenciální rovnicí vykazuje spojité aktivity » hybridnost vzniká kombinací spojitých a diskrétních aktivit
• dosaženo kombinací spojité a diskrétní dynamiky na úrovni elementů systému (element teploty a element přepínače v termostatu)
• zavedením diskrétních vstupů (řízení) do spojité dynamiky (diskrétní událost odrazu míčku)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 34/46
Základní pojmy
Bouldingova klasifikace systému
Třída	Název třídy	Typ systému	Typické nové vlastnosti
1	statická, struktura.	strukturní vzorec látky	
2	mechanicky systém	hod Lnový stroj	dynamický deterministický pohyb
3	kyberneticky systém	regulační obvod	zpětná vazba, zpracování informace
4	otevřený systém	buňka	látková výmena j samorc produkce
5	genetický systém	rostlina	diferenciace částí
G	zoologický systém	zvíře	cílové chování, představy
7	systém lidského jedince	člověk	vedomí, vytváření symbolů
8	sociální systém	mésto	vytvářeni rolí, systém hodnot
9	transcendentní systém		ne p o znatelnost
• aparát pro systémy třídy 5 a vyšší není vyvinut!
• Kenneth Boulding (1956) - http: //www.panarchy.org/boulding/systems.1956.html
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 35/46
Základní pojmy
Vlastnosti systému - konečně-stavovost
• charakter množiny všech stavů systémů je klíčový pro rozhodnutelnost některých problémů analýzy
• spojité systémy v čase a netriviální hybridní systémy jsou vždy nekonečně-sta vové
• diskrétní systémy v čase mohou být rovněž nekonečně-stavové
• nekonečná množina stavů (např. neohraničená Petriho síť, logistický růst)
• nekonečná množina vstupních událostí (např. model SW)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 36/46
Základní pojmy
Vlastnosti systému - stabilita
• stav systému je rovnovážným stavem, pokud z něj systém nepřejde do jiného stavu bez působení vnějších vlivů (např. na vstupech)
• chování systému v okolí rovnovážného stavu může být stabilní
• malým vychýlením nedojde k výrazné změně chování
• systém se nadále pohybuje v blízkém okolí rovnovážného stavu
• nestabilní okolí znamená výraznou změnu chování vedoucí ke vzdálení od rovnovážného stavu
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 37/46
Základní pojmy
Vlastnosti systému
• systém je deterministický pokud pro daný výchozí stav a sledovaný časový úsek existuje právě jedna aktivita
• nedeterministický systém vykazuje různé aktivity z téhož vých. stavu
• deterministický systém vykazuje chaotické chování, pokud pro velmi blízké výchozí stavy generuje výrazně odlišné aktivity a obraz lib. otevřené množiny stavů v konečném čase inciduje s lib. jinou množinou stavů
• výzkum chaotických systémů vedl ke speciální oblasti teorie systémů - teorii chaosu
« chaos mohou vykazovat i zdánlivě jednoduché systémy
• způsobeno komplexností vazeb v systému (nelineární systémy) o nebo neohraničeností řádu (neohraničené systémy)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 38/46
Základní pojmy
Historie zkoumání chaotických systému
• otázka stability sluneční soustavy (Lapiace aplikuje teorii pravděpodobnosti a vede k popření deterministického modelu světa, přelom 18.-19.stol.)
• problém soustavy vzájemného gravitačního působení 3 a více těles
• Poincaré prokazuje možnost nestability (přelom 19.-20.stol)
• existují neperiodické aktivity, které nedivergují ani nekonvergují ke stabilnímu stavu
• pozorování kvalitativní změny stability při změnách parametrů systému (později základ tzv. teorie bifurkací)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 39/46
Základní pojmy
Historie zkoumání chaotických systému
» stabilitou systémů se dále zabývali Ljapunov (kritéria stability), Birkhoff (studium ergodicity) a Kolmogorov (eliptické pevné body)
• Lorenz roku 1961 při počítačové simulaci modelu pohybu vzduchu v atmosféře (12 veličin) objevil (náhodou) nestabilitu
• dále vytvořil malý model 3. řádu, který vykazuje velmi složité chaotické chování (tzv. motýlí efekt)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 40/46
Základní pojmy
Chaotické chovaní - příklady - Lorenzův atraktor
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 41/46
Chaotické chovaní - příklady
• prvním dokladem chaotického chování ve vesmíru je objev J. Wisdoma (výzkum drah planetek, 1983)
• problém tzv. Kirkwoodovy mezery
• prostor mezi planetkami, z něhož dochází chaoticky k přenosu materiálu do kritické blízkosti Země
• vypočítána maximální doba (200 tis. let) do níž se materiál z mezery dramaticky odchýlí ve své dráze pohybu
• dalším příkladem je rezonance oběžných dob dvou měsíců Saturnu (Hyperionu a Titanu)
• Hyperion nerotuje kolem sve osy, pohybuje se chaoticky (další příčinou chaosu je nepravidelný tvar Hyperionu)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 42/46
Základní pojmy
Chaotické chovaní - příklady - logistický růst
Xk+i = rxk(l - xk) = f(xk)
• diskrétní systém logistického růstu populace s nosnou kapacitou 1 (maximální množství populace udržitelné při daném konstantním množství zdrojů)
• systém je citlivý na nastavení parametrů a iniciální podmínky
• parametr r vyjadřuje rychlost růstu populace při absenci vnitřního soupeření
• pro 3 < r < 4 dochází ke komplexnímu chování (oscilace, chaos)
• důvodem je zpožděná zpětná vazba, díky níž může být překročen při diskrétním kroku rovnovážný stav (příklad nestability)
• viz cvičení
» chaotické chování není přítomno ve spojité formulaci (asymptotické chování)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 43/46
Základní pojmy
Chaotické chovaní - příklady - logistický růst
chování v dlouhočasovém horizontu (pro různá r)
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
Základní pojmy
Stabilní chování - příklady - logistický růst
• nelineární diferenciální rovnice
dx       ri      \ 2 rx(l — x) = rx — rx
dt
řešení:
x(0) + (1 - x(0))e-rt
Logistic growth time course for varying x(0)
Proč se zabývat dynamickými systémy?
• formální matematické uchopení komplexních procesů
• zdánlivě jednoduché systémy mohou vykazovat nepředvídatelné chování
• systémy využíváme jako modely reálných objektů
• za určitých okolností lze navrhnout řízení systémů
IV120 Úvod do problematiky a informace o kurzu
str. 46/46