Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícíi ni funkcemi oooo oooooo ooooo Matematika IV - 8. týden Odvozování kombinatorických identit Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2014 Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Ql Vytvoř uj íc í fu n kce Qf (Formální) mocninné řady • Přehled mocninných řad Q Operace s vytvořujícími funkcemi Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícíi ni funkcei oooo oooooo ooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo • Jan Slovák, Martin Panák, Michal Bulant Matematika drsně a svižně, e-text na www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne. • Donald E. Knuth, The Art Of Computer Programming. • Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics, Addison-Wesley, 1994. Literatura Vytvořující funkce (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcemi oooo oooooo ooooo Plán přednášky Q Vytvořující funkce Q (Formální) mocninné řady • Přehled mocninných řad Q Operace s vytvořujícími funkcemi Vytvořující funkce •ooo (Formální) oooooo Operace s vytvořujícími funkcen ooooo Motto: spojité a diskrétní modely se vzájemně potřebují 3 doplňují. _ Literatura Vytvořující funkce •ooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Motto: spojité a diskrétní modely se vzájemně potřebují a doplňují. Příklad Máme v peněžence 4 korunové mince, 5 dvoukorunových a 3 pětikorunové. Z automatu, který nevrací, chceme minerálku za 22 Kč. Kolika způsoby to umíme, aniž bychom ztratili přeplatek? i Literatura Vytvořující funkce •ooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Motto: spojité a diskrétní modely se vzájemně potřebují a doplňují. Příklad Máme v peněžence 4 korunové mince, 5 dvoukorunových a 3 pětikorunové. Z automatu, který nevrací, chceme minerálku za 22 Kč. Kolika způsoby to umíme, aniž bychom ztratili přeplatek? Hledáme zjevně čísla /', j a k taková, že /+_/' + k = 22 a zároveň / G {0,1, 2, 3,4}, j G {0,2,4, 6, 8,10}, k e {0,5,10,15}. Uvažme součin polynomů (třeba nad reálnými čísly) (X0+Xl+X2+X3+X4)(x0+X2+X4+X6+X8+X10)(x0+X5+X10+Xl5)- Mělo by být zřejmé, že hledaný počet řešení je díky (Cauchyovskému) způsobu násobení polynomů právě koeficient u x22 ve výsledném polynomu. Literatura Vytvořující funkce •ooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Motto: spojité a diskrétní modely se vzájemně potřebují a doplňují. Příklad Máme v peněžence 4 korunové mince, 5 dvoukorunových a 3 pětikorunové. Z automatu, který nevrací, chceme minerálku za 22 Kč. Kolika způsoby to umíme, aniž bychom ztratili přeplatek? i Hledáme zjevně čísla /', j a k taková, že /+_/' + k = 22 a zároveň / G {0,1, 2, 3,4}, j G {0,2,4, 6, 8,10}, k G {0,5,10,15}. Uvažme součin polynomů (třeba nad reálnými čísly) (X0+Xl+X2+X3+X4)(x0+X2+X4+X6+X8+X10)(x0+X5+X10+Xl5)- Mělo by být zřejmé, že hledaný počet řešení je díky (Cauchyovskému) způsobu násobení polynomů právě koeficient u x22 ve výsledném polynomu. Skutečně tak dostáváme čtyři možnosti 3*5 + 3*2 + 1*1, 3*5 + 2*2 + 3*1, 2 * 5 + 5 * 2 + 2 * 1 a 2 * 5+ 4 * 2+ 4 * 1. <9> Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícíi ni funkcemi o»oo oooooo ooooo Předchozí příklad asi vypadal spíš jako složitý zápis jednoduchých „backtrackingových úvah". Následující příklad ukazuje, že tento postup lze ale s výhodou zobecnit. Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícíi ni funkcemi o»oo oooooo ooooo Předchozí příklad asi vypadal spíš jako složitý zápis jednoduchých „backtrackingových úvah". Následující příklad ukazuje, že tento postup lze ale s výhodou zobecnit. Nechť /, J jsou konečné množiny nezáporných celých čísel. Potom je pro dané r G N počet řešení (/,_/') rovnice /+_/' = r splňujících / G /,_/' G J roven koeficientu u xr v polynomu (J2iei x')E/e./x'/) Literatura Vytvořující funkce o»oo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Předchozí příklad asi vypadal spíš jako složitý zápis jednoduchých „backtrackingových úvah". Následující příklad ukazuje, že tento postup lze ale s výhodou zobecnit. Nechť /, J jsou konečné množiny nezáporných celých čísel. Potom je pro dané r G N počet řešení (/,_/') rovnice /+_/' = r splňujících / G /,_/' G J roven koeficientu u xr v polynomu (J2iei x')E/e./x'/) Příklad Kolika způsoby můžeme pomocí mincí (1, 2, 5, 10, 20 a 50 Kč) zaplatit platbu 100 Kč? Literatura Vytvořující funkce o»oo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Předchozí příklad asi vypadal spíš jako složitý zápis jednoduchých „backtrackingových úvah". Následující příklad ukazuje, že tento postup lze ale s výhodou zobecnit. Nechť /, J jsou konečné množiny nezáporných celých čísel. Potom je pro dané r G N počet řešení (/,_/') rovnice /+_/' = r splňujících / G /,_/' G J roven koeficientu u xr v polynomu (J2iei x')E/e./x'/) Příklad Kolika způsoby můžeme pomocí mincí (1, 2, 5, 10, 20 a 50 Kč) zaplatit platbu 100 Kč? Hledáme přirozená čísla a\, 32, 35, 3io, 320 a 350 taková, že 3/ je násobkem / pro všechna / £ {1,2,5,10,20,50} a zároveň 3l + 32 + 35 + 310 + 320 + ^50 = 100. Literatura Vytvořující funkce o»oo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Předchozí příklad asi vypadal spíš jako složitý zápis jednoduchých „backtrackingových úvah". Následující příklad ukazuje, že tento postup lze ale s výhodou zobecnit. Nechť /, J jsou konečné množiny nezáporných celých čísel. Potom je pro dané r G N počet řešení (/,_/') rovnice /+_/' = r splňujících / G /,_/' G J roven koeficientu u xr v polynomu (J2iei x')E/e./x'/) Příklad Kolika způsoby můžeme pomocí mincí (1, 2, 5, 10, 20 a 50 Kč) zaplatit platbu 100 Kč? ■ Hledáme přirozená čísla a\, 32, 35, 3io, 320 a 350 taková, že 3/ je násobkem / pro všechna / G {1,2,5,10,20,50} a zároveň 3i + 32 + 35 + 3io + 320 + a50 = 100- Podobně jako výše je vidět, že požadovaný počet lze získat jako koeficient u x100 v (l+x + x2 + ...)(l+x2+x4 + ...)(l+x5+x10 + ...) (1 +x10 +x20 + +x20 +x40 + _ )(1 +x50 +x100 + _ ) 1 je \an\ < Kn, pak řada a{x) = ^2 an*" n>0 konverguje pro každé x G (—^, -^). Součet této řady tedy definuje funkci na uvedeném intervalu, tuto funkci označujeme rovněž a(x). Vytvořující funkce (Formální) mocninné řady Operace s vytvořujícími funkcem oooo ooo»oo ooooo Dosazování do mocninných řad Následující větu znáte z matematické analýzy z loňského semestru: Věta Bud (sq, 3i, 32,...) posloupnost reálných čísel. Platí-li pro nějaké K G M, že pro všechna n > 1 je \an\ < Kn, pak řada a{x) = ^2 an*" n>0 konverguje pro každé x G Součet této řady tedy definuje funkci na uvedeném intervalu, tuto funkci označujeme rovněž a(x). Hodnotami funkce a(x) na libovolném okolí 0 je jednoznačně určena původní posloupnost, nebot má a(x) v 0 derivace všech řádů a platí _ a(")(0) Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícíi ni funkcei oooo oooo»o ooooo t^-B" n>0 1 - x ^ n n>l sin x cosx x" ^ n! n>0 x2n+l (2/j + l)! n>0 fc>0 v X Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady 00000» Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Poznámka • Poslední vzorec u+*>' = Eli k>0 je tzv. zobecněná binomická věta, kde pro r £ M. je binomický koeficient definován vztahem r(r- l)(r-2)---(r-/c + l) ~k\ ' Speciálně klademe (£) = 1. Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady 00000» Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Poznámka • Poslední vzorec u+*>' = Eli k>0 je tzv. zobecněná binomická věta, kde pro r G M je binomický koeficient definován vztahem r\ _ r(r- l)(r - 2) • • • (r - k + 1) k) ~ k\ ' Speciálně klademe (£) = 1. • Pro n G N z uvedeného vztahu snadno dostaneme 1 /o + i)-l\ fk + n-i\ (ľ^=( „-1 )+-+{ n-1 ]x + 3 -00.0 Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooooo Ql Vytvoř uj íc í fu n kce Q (Formální) mocninné řady • Přehled mocninných řad Q Operace s vytvořujícími funkcemi Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: • Sčítání (af- + b,) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: • Sčítání (af- + b,) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení (a • a,-) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: • Sčítání (af- + b,) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení (a • a,-) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. • Vynásobení vytvořující funkce a(x) monomem xk odpovídá posunutí posloupnosti doprava o k míst a její doplnění nulami. Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: • Sčítání (af- + b,) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení (a • a,-) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. • Vynásobení vytvořující funkce a(x) monomem xk odpovídá posunutí posloupnosti doprava o k míst a její doplnění nulami. • Pro posunutí posloupnosti doleva o k míst (tj. vynechání prvních k míst posloupnosti) nejprve od a(x) odečteme polynom bk(x) odpovídají posloupnosti (ao,..., a/c-i, 0,...) a poté podělíme vytvořující funkci xk. Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo •OOOO Některým jednoduchým operacím s posloupnostmi odpovídají jednoduché operace nad mocninnými řadami: • Sčítání (af- + b,) posloupností člen po členu odpovídá součet a(x) + b(x) příslušných vytvořujících funkcí. • Vynásobení (a • a,-) všech členů posloupnosti stejným skalárem a odpovídá vynásobení a • a(x) příslušné vytvořující funkce. • Vynásobení vytvořující funkce a(x) monomem xk odpovídá posunutí posloupnosti doprava o k míst a její doplnění nulami. • Pro posunutí posloupnosti doleva o k míst (tj. vynechání prvních k míst posloupnosti) nejprve od a(x) odečteme polynom bk(x) odpovídají posloupnosti (ao,..., a/c-i, 0,...) a poté podělíme vytvořující funkci xk. « Substitucí polynomu f(x) s nulovým absolutním členem za x vytvoříme specifické kombinace členů původní posloupnosti. Jednoduše je vyjádříme pro f(x) = ax, což odpovídá vynásobení /c-tého členu posloupnosti skalárem ak. Dosazení f(x) = x" nám do posloupnosti mezi každé dva členy vloží Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořujícír tií funkcemi oooo oooooo o»ooo Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: • Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (ai, 2a2, 333,...), člen s indexem k je (k + 1)3^+1 (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi o»ooo Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: • Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (si, 2a2, 333,...), člen s indexem k je (k + l)a/(+i (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). • Integrování: funkce f* a(t)dt vytvořuje posloupnost (0, 3o, \a\, ^32, \a-i-, ■ ■ ■), pro k > 1 je člen s indexem k roven \sk-\ (zřejmě je derivací příslušné mocninné řady člen po členu původní funkce s(x)). Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi o»ooo Dalšími důležitými operacemi, které se při práci s vytvořujícími funkcemi často objevují, jsou: • Derivování podle x: funkce a'(x) vytvořuje posloupnost (si, 2a2, 333,...), člen s indexem k je (k + l)ak+i (tj. mocninnou řadu derivujeme člen po členu). • Integrování: funkce f* a(t)dt vytvořuje posloupnost (0, 3o, \a\, ^32, \a-i-, ■ ■ ■), pro k > 1 je člen s indexem k roven \ak-\ (zřejmě je derivací příslušné mocninné řady člen po členu původní funkce s(x)). • Násobení řad: součin a{x)b{x) je vytvořující funkcí posloupnosti (cq, ci, C2,...), kde tj. členy v součinu až po ck jsou stejné jako v součinu (a0 + 3ix + s2x2 H-----h akxk)(b0 + byx + fa2x2 H----bkxk). Posloupnost (c„) bývá také nazývána konvolucí posloupností i+j=k Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořující tií funkcemi oooo oooooo oo»oo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad j^a(x) je v.f.p. (a0, a0 + ai, a0 + ax + a2,.. .)■ Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»oo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad jBa(x) je v.f.p. (a0, a0 + ai, a0 + ax + a2,.. .)■ Odtud např. dostáváme, že —-—In—-— je v.f.p. harmonických čísel Hn. 1 — x 1 — x 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * ^ -O^O Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»oo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad j^a(x) je v.f.p. (a0, a0 + ai, a0 + ax + a2,.. .)■ Odtud např. dostáváme, že —-—In—-— je v.f.p. harmonických čísel Hn. 1 — x 1 — x Příklad Protože = y^n>0x", dostáváme konvoluci posloupnosti (1,1,...) se sebou vztahy v ' n>0 Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oo»oo Ukažme si důležitý příklad využívající konvoluci posloupností: Příklad j^a(x) je v.f.p. (a0, a0 + ai, a0 + ax + a2,.. .)■ Odtud např. dostáváme, že 1 i„. 1 1 -x 1 -x je v.f.p. harmonických čísel Hn. Příklad Protože = y^n>0x". dostáváme konvoluci posloupnosti (1,1,...) se sebou vztahy (1 ' n>0 v ' n>0 n + 2 což již sice máme dokázáno z dřívějška (dokonce dvakrát - jednou díky zobecněné binomické větě a podruhé díky derivaci řady), ale další důkaz jistě nezaškodí © Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»o Příklad V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? 4Ľ3k4l3*4 = k4 = * -š -O^O Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»o Příklad V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? Řešení Hledaný počet je roven koeficientu u x 0 v součinu (l+x + x2 + ---+x30)(l+x + x2 + ---+x40)(l+x + x2 + ---+x50). 00.0 Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi ooo»o Příklad V krabici je 30 červených, 40 modrých a 50 bílých míčků, míčky stejné barvy přitom nelze rozeznat. Kolika způsoby je možné vybrat soubor 70 míčků? Řešení Hledaný počet je roven koeficientu u x 0 v součinu (l+x + x2 + ---+x30)(l+x + x2 + ---+x40)(l+x + x2 + ---+x50). Tento součin upravíme na tvar (1 — x)~3(l — x31)(l — x41)(l — x51), odkud pomocí zobecněné binomické věty dostaneme ( Q + Q x + Q x" + • • • ) í1 " " ~ + x72 + • • •) a tedy koeficientem u x70 je zřejmě (70+2) _ (70+2-31) _ (70+2-41) _ (70+2-51) = 1Q6L Literatura Vytvořující funkce (Formální) mo cninné řady Operace s vytvořující tií funkcemi oooo oooooo oooo» Příklad Dokažte, že n Y/Hk = {n + l){Hn+1-l). k=l Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooo» ' Příklad * Dokažte, že n Y/Hk = {n + l){Hn+1-l). k=l Řešení Potřebnou konvoluci získáme součinem řad a In Literatura Vytvořující funkce oooo (Formální) mocninné řady oooooo Operace s vytvořujícími funkcemi oooo» Příklad Dokažte, že n ^2 Hk = {n+ 1)^^-1). k=l Řešení Potřebnou konvoluci získáme součinem řad v^- a -r^- In 1—x 1—x 1—X Odtud M(TJx7lnT^ = Éi("+1-^)' k=l odkud již snadnou úpravou dostaneme požadované.