MB104, příklady k domácímu rozjímání (řešení) jarní semestr 2015
Příklad Rozhodněte, zda existuje pravoúhlý trojúhelník, jehož odvěsny mají celočíselnou délku a přepona velikost V2006.
Řešení. Neexistuje. Sporem. Předpokládejme negaci daného tvrzení, tedy že takový trojúhelník existuje. Označme délky jeho odvěsen k, l. Potom podle Pythagora k2 + l2 — 2006. Druhé mocniny sudých čísel dávají po dělení čtyřmi zbytek 0 (sudá čísla), či jedna (čísla lichá). Případná řešení k, l rovnice musí být tedy čísla lichá, pišme k — 2a + 1, l — 2b + 1. Po dosazení do rovnice dostáváme 4(a(a + 1) + b(b + 1)) + 2 — 2006. Na levé straně však stojí číslo dávající zbytek 2 po dělení osmi, na pravé 2006 — 8 • 500 + 6, tedy dávající zbytek 6 po dělení osmi. Tyto se nemohou rovnat, rovnice tudíž nemá řešení, takový trojúhelník neexistuje. Úvahy o dělitelnosti stran rovnice malými čísly (2,3,4,5,8,...) se objevují poměrně často při řešení rovnic v celých číslech (uvidíme i později).
Další možností ukázat neřešitelnost rovnice je povšimnout si faktu, že jak k2, tak l2 musí být menší než 2006, tedy menší z nich může být maximálně \/1003. Stačí tedy probrat 31 možností. □
Příklad Najděte všechna celá kladná čísla, která mohou být největším společným dělitelem čísel 5n + 6 a 8n + 7 pro vhodné kladné celé n.
Řešení. Největší společný dělitel daných čísel musí dělit jejich libovolnou lineární kombinaci, tedy i 8(5n + 6) — 5(8n + 7) — 13. Největší společný dělitel tedy musí být kladným dělitelem čísla 13, tedy je to 13 či 1. Ze obě tato čísla skutečně největším společným dělitelem být mohou, ukazuje volba n — 1, (11,15) — 1, a n = 4, pro nějž (26, 39) = 13. □
1