MB104, příklady k domácímu rozjímání jarní semestr 2015
Příklad Najděte nejmenší a největší celé číslo (pokud existuje), pro které platí, že součin jeho cifer je roven 18900.
Řešení. Jest 18900 — 22 • 33 • 52 • 7, číslo s daným cif. součinem musí tedy obsahovat cifry 5,5,7 a dále cifry dávající v součinu 22 • 33. Ty musí být alespoň tři. Pro právě tři cifry bude tedy jedna cifra jedno z prvočísel 2 či 3, druhé dvě rovny součinu zbylých prvočísel ze seznamu 2,2,3,3,3. Probráním několika málo možností dospějeme k nejmenšímu číslu 255679. Největší takové číslo neexistuje - můžeme přidávat cifru 1 □
Příklad Dokažte, že pro libovolné prvočíslo p > 2 je čitatel m zlomku
m 11 1
— = ! + - + -
n 2    3        p — 1
m, n G N, dělitelný p.
Řešení. V dané řadě sečteme sčítance po dvou: první s posledním, druhý s předposledním,..., pak získané zlomky tvaru nľco převedeme na společný jmenovatel (p — 1)!. Máme tedy zlomek tvaru (J^iy, ale (p ~ 1)! nedělí p, takže i po případném krácení zůstane v čitateli faktor p. □
1